3.1 定義公設與公理#

《幾何原本》開篇即給出二十三個定義、五條公設與五條公理，立下全書的出發點。點是沒有部分的，線是沒有寬度的長，這些定義試圖以最簡語言固定基本概念。五條公設則規定了允許的作圖操作：過兩點可作直線、有限直線可延長、任一點為圓心可作圓，以及直角皆相等。

前四條簡潔明瞭，第五條卻顯得冗長，即平行公設。它斷言兩直線被第三線所截，若同側內角和小於兩直角，則兩線在該側相交。這種不對稱本身就暗示了體系的張力，成為後世兩千年爭論的源頭。

歐幾里德的深刻之處在於自覺地限制起點。寧可起點稀薄，也要保證此後每一步都有據可查。這種節制使數學從經驗描述變為演繹科學。

因果分析#

起點的極簡是因，全書的可信是果。公設越少，需要無條件接受的東西就越少，證明的力量就越大。歐幾里德選擇把豐富的幾何現象壓縮到最少的假設之上，正是為了讓結論的必然性最大化。然而第五公設的複雜破壞了這種簡潔，引發後人懷疑它能否被證明。這份懷疑驅動了整個非歐幾何史，可見起點設計直接決定了學科的命運。