3.2 1744年 變分法與《無窮分析引論》#
事件#
1744 年，歐拉出版《尋求具有某種極大或極小性質的曲線的技巧》（Methodus inveniendi），創立變分法；1748 年出版《無窮分析引論》（Introductio in analysin infinitorum），奠定現代分析的語言。
前因：最速降線問題（1696）#
1696 年約翰·伯努利提出「最速降線」挑戰：質點在重力下沿哪條曲線下滑最快？答案：擺線。牛頓、萊布尼茨、伯努利兄弟都解了。這類問題的共同結構是：
\[ \min_{y(x)} \; J[y] = \int_{a}^{b} F(x, y, y')\, dx \]
也就是要優化的對象是一個積分（函數的函數），而不是普通函數的極值。
歐拉的做法：從離散到連續#
歐拉把曲線切成 \(n\) 段折線，對有限個折點用普通微積分求極值，再令 \(n \to \infty\) 。他得到歐拉-拉格朗日方程的早期形式：
\[ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'} = 0 \]
後果：物理學被重寫#
flowchart TD
A[歐拉 1744 變分法] --> B[拉格朗日 1760s 嚴格化<br/>分析力學]
B --> C[哈密頓 1830s 哈密頓原理]
C --> D[最小作用量原理成為<br/>現代物理的核心範式]
D --> E[量子力學路徑積分<br/>與今日的機器學習損失函數]變分法讓「大自然取極值」從哲學直覺變成可計算的數學原理。今天優化神經網路的梯度下降，本質上仍在這條譜系上。
《無窮分析引論》：分析的《幾何原本》#
1748 年的《引論》做了兩件劃時代的事：
- 把函數放到分析的中心（此前數學以曲線為對象）。
- 系統化指數、對數、三角函數與級數，包括著名的歐拉公式（見 3.3）。
歐拉在書中寫道：分析學是「無窮量的代數」。這本書此後百年是全歐洲的標準教材，高斯、柯西、阿貝爾都讀它長大。