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3.3 1748年 \(e^{i\pi}\) 與公式革命#

事件#

在 1748 年《無窮分析引論》中，歐拉發表了歐拉公式：

\[ e^{ix} = \cos x + i\sin x \]

取 \(x = \pi\) ，即得歐拉恆等式：

\[ e^{i\pi} + 1 = 0 \]

前因：三個常數的三段歷史#

常數 誰先遇到它 歐拉做了什麼
\(e\) 1683 伯努利研究複利 \(\lim(1+1/n)^n\) 1727-1736 命名為 \(e\) ，建立 \(e^x\) 理論
\(\pi\) 古代 1736 推廣記號並嚴格化其用法
\(i\) 1545 卡爾達諾的「詭異量」 1777 引入記號 \(i\)

為什麼這是革命？#

歐拉的推導（用現代語言）：把 \(e^x\) 、 \(\cos x\) 、 \(\sin x\) 都展開成級數：

\[ e^{ix} = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \cdots \]

按實部虛部整理，實部恰好是 \(\cos x\) 的級數、虛部恰好是 \(\sin x\) 。於是指數函數與三角函數是同一件事：

  • 指數 = 旋轉： \(e^{i\theta}\) 代表複平面上轉 \(\theta\) 角。這把「週期現象」與「增長現象」統一起來。
  • 傅立葉變換（1807）、麥克斯韋方程的複數形式、量子力學波函數 \(e^{i\omega t}\) ——全部立在這個公式上。

費馬大定理的遠親： \(\zeta\) 函數的起點#

歐拉 1737 年定義（後稱黎曼 \(\zeta\) 函數）：

\[ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} \]

這個級數-質數乘積等式是 122 年後黎曼假說的直接起點。