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5.3 歐拉恆等式與複分析#

事件#

\(e^{i\pi} + 1 = 0\) 被無數數學家與物理學家票選為「最美公式」：五個最重要的常數（ \(e\) 、 \(i\) 、 \(\pi\) 、 \(1\) 、 \(0\) ）與三種運算（加法、乘法、指數）在一次等式中相遇。

它統一了什麼？#

推導速覽#

歐拉的原始思路：三個級數並排——

\[ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \]

實部聚合為 \(\cos x\) ，虛部聚合為 \(\sin x\) 。取 \(x=\pi\) ： \(\cos\pi=-1,\ \sin\pi=0\) ，故 \(e^{i\pi}=-1\) 。

（嚴格性上，歐拉對級數的處理在前柯西時代是「不嚴格但正確」的典範；柯西與魏爾斯特拉斯後來補上了收斂理論。）

\(\zeta\) 函數：通往黎曼假說的橋#

歐拉的質數乘積公式把分析與質數連接：

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}} \]
  • 1737 歐拉用它證明質數無窮多的新證明。
  • 1859 黎曼把 \(s\) 擴張到複數平面，研究 \(\zeta(s)\) 的零點——黎曼假說至今是數學第一未解問題。
  • 歐拉公式（ \(e^{ix}\) ）正是黎曼能在複平面上做解析延拓的工具。

一條清晰的主線：歐拉的記號與公式 → 複分析 → \(\zeta\) 函數 → 現代解析數論。歐拉播種，黎曼收割，後世仍在耕作。