4.2 三大運動定律與萬有引力#

《原理》第一卷開宗明義提出三大運動定律：慣性定律、加速度與作用力成正比、作用與反作用定律。以現代符號可寫為 \(F=ma\) ，其中 \(F\) 為作用力， \(m\) 為慣性質量， \(a\) 為加速度。牛頓以幾何形式而非流數符號表述證明，是刻意選擇：幾何證明在當時被視為嚴謹，而流數術仍被懷疑有無窮小的邏輯漏洞。

第二卷討論流體阻力中的運動，批判笛卡兒的渦旋宇宙論，證明渦旋無法維持開普勒式行星運動。第三卷《論世界體系》則把數學應用於天文實測，提出萬有引力定律：宇宙間任意兩質點以連線方向相互吸引，其大小與質量乘積成正比，與距離平方成反比：

牛頓以月球檢驗支持此式：月球繞地向心加速度約為地表重力加速度的 \(1/3600\) ，恰等於地月距離約為地球半徑六十倍的平方反比， \(60^2 = 3600\) 。他更證明均勻球殼對外部質點的引力等效於質量集中於球心，從而嚴格解決了十八年前蘋果估算遺留的難題。潮汐、彗星軌道、歲差都在同一框架下得到解釋，天地至此歸於一律。

flowchart LR
    A[三大運動定律 F=ma] --> B[平方反比力假設]
    B --> C[球殼定理證明]
    C --> D[月球檢驗 1/3600吻合]
    D --> E[開普勒三定律皆可推導]
    E --> F[潮汐彗星歲差統一解釋]

因果分析#

《原理》的結構本身就是因果鏈的示範：運動定律為因，數學推導為中介，開普勒定律與潮汐彗星為果，萬有引力則是貫穿全書的總因。牛頓先證明若開普勒定律成立則力必為平方反比，再證明若力為平方反比則軌道必為圓錐曲線，雙向互推使論證閉合。這種寫法既是科學上的勝利，也是策略上的防禦：幾何化的嚴謹形式堵住了虎克等人質疑其數學的缺口。理論的完備性反過來驅動了它的權威地位，使後人百年內只能在其框架內工作。