3.1 黎曼積分與傅立葉級數#

1853：就職論文第一擊#

為取得授課資格（Habilitation），黎曼提交論文《用三角級數表示函數的可能性》。為嚴格討論傅立葉級數，他重新定義了積分——黎曼積分：把區間分割、取樣、求和取極限：

今天全世界微積分課本裡的積分定義，就是它（勒貝格積分 1902 年才將其推廣）。

條件的銳利#

他給出了傅立葉級數收斂的精細條件，並構造了處處連續、處處不可微函數的早期例子（後由魏爾斯特拉斯完善）——病態函數進入了分析的殿堂，動搖了「連續即光滑」的直覺。

一年三擊的第一擊#

1852–54 年間，黎曼連發三彈：就職論文（分析）、博士後的物理研究（電動力學）、就職演講（幾何）。每一彈都開闢一個領域——科學史上罕見的密度。

flowchart TD
    A[1853 就職論文] --> B[黎曼積分定義]
    B --> C[全球微積分課本沿用至今]
    A --> D[傅立葉收斂精細條件]
    D --> E[病態函數:連續≠光滑]

因果：黎曼積分是「熱身」——它證明了黎曼重建基礎的能力。而真正的決戰（幾何基礎）將在一年後的演講中打響。