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4.2 1859：論素數個數#

8 頁紙的奇蹟#

1859 年，為慶祝當選柏林科學院通訊院士，黎曼提交 8 頁論文《論小於給定數值的素數個數》——解析數論的開山之作，也是他一生唯一的數論論文。

zeta 函數的解析延拓#

歐拉研究過 \(\zeta(s)=\sum n^{-s}\) （實 \(s>1\) ），黎曼把它解析延拓到整個複平面（除 \(s=1\) 的極點），並證明函數方程：

\[\zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\frac{\pi s}{2}\,\Gamma(1-s)\,\zeta(1-s)\]

素數的顯式公式#

他給出 \(\pi(x)\) （小於 \(x\) 的素數個數）與 zeta 零點的顯式關係：

\[\pi(x) = \mathrm{Li}(x) - \sum_{\rho}\mathrm{Li}(x^{\rho}) + \cdots\]

——素數的分佈，完全由 zeta 零點 \(\rho\) 的位置編碼。這是人類第一次「看見」素數背後的譜。

因果：一篇 8 頁的「應景之作」，開闢了解析數論，並留下數學史上最著名的懸案——下一節，那個猜想。