2.1 三次方程決鬥：塔爾塔利亞、卡爾達諾與一場公開的背叛#

數學怎麼變成了競技運動#

十五世紀的義大利沒有大學數學系，卻有一種奇特的職業生態：算學家（maestri d'abbaco）在商業城市開設算盤學校，教商人子弟複利、合夥分帳、匯兌折算。生源就是收入，而招生的最好辦法是打敗同城對手——公開解題挑戰賽（disfida）應運而生。雙方各出若干題，限時交卷，賭金與名聲都押在上面。

這個制度直接影響了數學的內容：只有「能出成考題」的方程才有價值。三次方程正是當時的頂級考題——商業上的複利與體積問題偶爾會撞上它，而兩千年來無人能解。

1535 年：布里西亞之戰#

1535 年 2 月，威尼斯的菲奧里向布列斯亞的口語教師塔爾塔利亞（Niccolò Tartaglia，「口吃者」，童年法國傭兵入侵時刀傷所致）下戰帖，各出三十題。菲奧里手握一張王牌：他的老師費羅（Scipione del Ferro，波隆那大學教授）生前解出了形如 \(x^3 + px = q\) 的三次方程，並將秘方傳給了他。

決鬥前夜，塔爾塔利亞自己找到了同型方程的解法。比賽結果一邊倒：八天內他解出菲奧里的全部三十題，對手一題未解。三次方程的祕密從此在他腦中。

卡爾達諾的誓言#

米蘭的學者兼賭徒卡爾達諾（Gerolamo Cardano）正為即將出版的《大術》（Ars Magna）尋找壓軸內容。他軟磨硬泡，終於在 1539 年以「以紳士之名發誓、永不發表」為條件，從塔爾塔利亞那裡換得一首藏有解法的十四行詩。

1543 年，卡爾達諾與學生費拉里前往波隆那，查閱費羅的遺稿——發現費羅早於塔爾塔利亞就解出了三次方程。據此他認定誓言所保的「原創」已不成立，於是 1545 年在《大術》中公開了三次解法，並附上費拉里更進一步的四次方程解法，同時注明了兩個來源。

塔爾塔利亞的憤怒可想而知。兩人互相攻訐、對簿公堂式的筆戰持續數年，以費拉里代表卡爾達諾方在米蘭公開辯論、塔爾塔利亞敗走告終，他次年窮困而死。這場糾紛被後世稱為數學史上最著名的優先權之爭。

藏在詩裡的數學#

對 \(x^3 + px = q\)，設 \(x = u + v\)，利用 \(u^3 + v^3 = q\)、\(3uv = -p\)，化成二次方程解出：

卡爾達諾以幾何（立方體切割）方式給出證明——文藝復興數學家仍要對歐幾里得的權威交代。

但這個公式裡埋著一顆炸彈。取 \(x^3 = 15x + 4\)，此方程顯然有根 \(x = 4\)；代入公式卻得到：

負數開平方，出現在「已經知道正確答案」的題目裡。卡爾達諾稱之為「心靈的折磨」，選擇繞道而行。這顆炸彈，將在下一節由邦貝利拆除——並意外引爆出一個全新的數系。