自序：變化的語言#

宇宙中沒有一樣東西是靜止的。行星在移動，河水在流動，人口在增長，熱在擴散，神經元在放電，股價在波動。人類認識世界的最大躍進，不是測量出這些東西「在哪裡」，而是學會了描述它們「如何變化」——並且，用一條寫下來的方程，去推算它們的未來。

這種語言叫微分方程。

本書想講的，不是教科書裡那套「先定義、再求解」的技術流程，而是這門數學背後的故事：它如何在瘟疫隔離的鄉間被牛頓起草，如何在萊布尼茨與伯努利家族的通信競賽中變成可操作的演算法；一根琴弦的振動如何引發關於「函數是什麼」的百年爭論；法國的天體力學傳統如何孕育出拉普拉斯方程；俄國的數學沙皇李雅普諾夫如何教會我們思考「穩定」；龐加萊如何在為國王發獎金的三體問題中，意外撞見混沌；二戰的砲彈彈道如何逼出了人類第一台電子計算機；一位在戰壕裡幻想「用六萬四千人算天氣」的英國人，他的夢想如何被 ENIAC 實現；以及，當洛倫茲在 1963 年截短了一個小數點，預報的極限從此被寫進了數學。

讀者會發現，微分方程從來不是孤懸在黑板上的智力遊戲。它是航海經度獎金下的擺鐘，是帝國炮兵的射表，是法國大革命前後整合知識體系的工程，是蘇聯計畫經濟與控制論的底層語言，是 2020 年各國政府封城決策的依據，也是今天深度學習框架裡悄悄運行的數值積分器。科技的需求、經濟的誘因、制度的組織、文化的傳播、政治的角力、思想的解放、教育的傳承，一次又一次地驅動著這門數學的演進；而這門數學的每一次演進，又反過來重塑了人類社會的樣貌。

本書採用五章結構：誕生、爭論、定性、計算、現在。每章兩到三節，每節自成一個故事，串起來則是一條三百年的主線——人類從「解出公式」的夢想，走向「理解結構」的智慧，再走向「交給機器」的力量，最終回到「謙卑面對不可預測」的清醒。

書中的數學均為真實，配上少量 LaTeX 公式與圖示；不需要任何超出高中數學的預備知識，也能讀懂每一個故事的來龍去脈。

願你讀完之後，看見雨滴落下、琴弦振動、疫情曲線起伏時，能聽見那些方程在低聲說話。

是為序。