跳轉到

第一篇 · 第2章

第2.3節 1655 年：沃利斯（John Wallis）的《無窮算術》與無窮大符號 \(\infty\) 的誕生#

一、歷史背景：清教徒革命中的密碼學家與數學家#

1655 年，英格蘭正處於護國公克倫威爾統治下的清教徒共和國時期：內戰（1642–1651）剛剛落幕，國王查理一世已被處決，舊的宮廷贊助體系瓦解，牛津與劍橋大學被議會清洗重組。就在這樣的動盪中，約翰·沃利斯（John Wallis, 1616–1703）——神學訓練出身、從未正式學過大學數學——出版了《無窮算術》（Arithmetica Infinitorum），並在書中首次使用 \(\infty\) 符號表示無窮大。

沃利斯的生涯是那個時代英國知識階層的縮影。他就讀劍橋的伊曼紐爾學院（清教徒的大本營），成為神職人員；內戰期間，他在倫敦以密碼學家身分為議會效勞——據傳一場晚宴中，他與同伴破解了被俘保王黨信件的密碼，從此被委以解密重任，成了「議會的眼睛」。這份為新政权服務的經歷，在王政復辟（1660）後竟未致命：查理二世不計前嫌，任命他為皇家牧師與皇家學會創始成員，並保住他的牛津 Savilian 幾何教授職位——沃利斯早於 1649 年就被清教徒當局任命為該職，頂替被清洗的保王黨教授。密碼學訓練不只供養了他的政治生涯，也磨利了他處理符號與歸納模式的心智——這正是《無窮算術》的核心技藝。

另一個重要制度背景是倫敦的「看不見學院」：內戰與復辟之間，一群自然哲學家（波義耳、雷恩、胡克等）定期聚會，1660 年正式成立皇家學會，1662 年獲皇家特許狀。以培根「知識就是力量」為綱領，皇家學會把實驗、實用與數學計算結合起來——沃利斯的無窮算術，正為這個新共同體提供了計算武器。

二、數學原理：以插值與級數「算出」面積#

沃利斯的方法赤裸而大膽：不做嚴格證明，直接觀察數值模式並歸納推廣。他首先計算冪函數下的面積。對 \(y=x^k\)，考慮把區間 \([0,1]\) 分成 \(n\) 份，取右端點值的和：

\[\frac{0^k+1^k+2^k+\cdots+n^k}{n^{k+1}} \to \int_0^1 x^k\,dx = \frac{1}{k+1}\]

他（沿用卡瓦列里的結果）驗證了 \(\int_0^1 x^2\,dx=\frac{1}{3}\)、\(\int_0^1 x^3\,dx=\frac{1}{4}\)，並以「連續性原則」推廣到任意整數 \(k\)。

接著是本書最著名的一步：插值。他先求 \(\int_0^1 x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}\)（透過 \(\sum\sqrt{i}\) 與 \(\sum i\) 之比），再問：圓的面積如何用同樣的算術程序求出？他研究半圓 \(y=\sqrt{1-x^2}\) 在 \(x=1\) 附近的行為，構造出一連串「上下夾逼」的數列，最終歸納出著名的沃利斯乘積：

\[\frac{\pi}{2} = \frac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\cdot\frac{4\cdot 4}{3\cdot 5}\cdot\frac{6\cdot 6}{5\cdot 7}\cdots = \prod_{n=1}^{\infty}\frac{2n\cdot 2n}{(2n-1)(2n+1)}\]

——用純粹的整數運算（無幾何、無三角）表示出 \(\pi\)。這是人類第一次把圓周率寫成無窮算術表達式。他還引入負指數與分數指數的記號（早於牛頓的推廣），把 \(x^{-1}\)、\(x^{1/2}\) 正式納入代數運算，這使得冪函數族在指數上「連續」起來，為二項式定理的推廣鋪路。

年輕的牛頓在 1664–1666 年間閱讀《無窮算術》，深受刺激：他覺得沃利斯的插值法太靠運氣，於是發展出自己的廣義二項式定理，對分數指數 \((1+x)^{1/2}\) 直接展開無窮級數，逐項積分即得圓面積——牛頓流數術的誕生點正是對沃利斯不滿的回應。萊布尼茨也研讀過此書，其級數 \(\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots\)（1674）同屬這一無窮算術傳統。

三、前因後果：內戰、大學清洗與新科學制度#

  • 政治清洗與職位更替：議會清洗大學，把 Savilian 講座交給沃利斯這個「外行」——若非內戰，一位神學家幾乎不可能取得幾何教授職位。革命的制度裂縫，意外讓非正統人才上位，帶來了非正統方法（不嚴格但高產的歸納法）。
  • 密碼學與模式歸納：為議會破譯密碼的工作，訓練沃利斯從大量數據中辨識規律—— \(\sum i^k\) 表格中的模式、上下夾逼的數列，都是「密碼破譯式」的歸納推理。戰爭經濟資助了這種計算技能。
  • 清教倫理與實用主義：清教文化強調有用知識、反對經院虛文。沃利斯公然承認自己的方法「只是算術、不夠幾何嚴格」，正是這種實用主義的宣言。皇家學會的座右銘 Nullius in verba（不盲從任何人的話），與他的歸納精神一脈相承。
  • 出版與知識流通：1655 年的牛津由議會派掌控，出版相對自由；《無窮算術》以拉丁文刊行，迅速流入法國、荷蘭（惠更斯、費馬皆有回應——費馬對其不嚴格性多有批評，卻也承認其結果正確）。復辟後，皇家學會把這本書變成英國數學派的奠基文本，牛頓即其最傑出的學生。

《無窮算術》把「無窮」從形上學禁忌轉變為日常計算物件：\(\infty\) 符號的誕生，象徵著數學家開始把無窮大當作可以寫下、可以運算的量。這種「無窮算術化」直接孕育了牛頓的級數方法與萊布尼茨的無窮小運算——1670 年代微積分的兩位發明者，都站在沃利斯這本「不嚴格卻威力驚人」的書上。微積分的最後一哩路——把插值、級數、面積統一為求導與求積的互逆運算——需要的正是這種敢於與無窮共舞的算術勇氣。

延伸思考#

  1. 沃利斯的方法明顯「不夠嚴格」，卻比任何嚴格方法走得更遠。什麼時候該容忍不嚴格？「啟發式與嚴格性的分工」在今日數學與機器學習中如何體現？
  2. 若無內戰清洗，牛津幾何講座會繼續由傳統幾何學家把持嗎？政治動盪對科學的「創造性破壞」效應是普遍規律還是偶然？
  3. 沃利斯用純整數乘積逼近 \(\pi\)，完全繞開幾何。這種「算術化的勝利」預示了 19 世紀分析的算術化（魏爾斯特拉斯）——直覺與符號，哪個才是數學可靠性的根基？