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第二篇 · 第3章

第3.3節 牛頓的萬有引力定律：如何用微積分與幾何證明行星軌道必為橢圓？平方反比定律 \(\frac{F}{m}=\frac{GM}{r^2}\)、球殼定理的積分、哈雷資助出版的故事#

一、從開普勒到牛頓：一條平方反比的鏈條#

開普勒已由第谷的觀測歸納出三大行星定律：橢圓軌道、等面積速率、週期平方正比半長軸立方。但它們只是「天上的幾何描述」——為什麼是橢圓？1684 年，天文學家哈雷（Edmond Halley, 1656–1742）在倫敦與胡克、雷恩打賭討論：若太陽引力按距離平方反比減弱，軌道會是什麼形狀？三人皆無法證明。哈雷於是前往劍橋問牛頓。牛頓答：「是橢圓，我算過了。」手稿卻一時找不到——數月後牛頓寄來一篇九頁短文《論運動》，並在哈雷的催促與資助下，擴寫成《自然哲學的數學原理》。

二、平方反比定律#

牛頓的萬有引力定律：任意兩質點間的引力與質量乘積成正比、與距離平方成反比：

\[F = \frac{GMm}{r^2} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{F}{m}=\frac{GM}{r^2}\]

平方反比可由開普勒第三定律結合離心（向心）力公式 \(F \propto r/T^2\) 推出：\(T^2\propto r^3\) 代入即得 \(F\propto 1/r^2\)。而 \(G\) 與 \(M\) 的合併，則靠著名的「月球檢驗」：月亮的向心加速度恰為地面落體加速度的 \(1/3600\)，正是 \((60)^2\) 之比——天上與地下的引力是同一種力。

三、軌道必為橢圓：證明輪廓#

在平方反比力場中，軌道方程可由極座標下的牛頓第二定律導出。利用角動量守恆 \(r^2\dot{\theta}=h\)（等面積定律），徑向方程

\[\ddot{r}-r\dot{\theta}^2 = -\frac{GM}{r^2}\]

經變數代換 \(u = 1/r\) 化為線性方程

\[\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{h^2}\]

其通解為

\[u(\theta)=\frac{GM}{h^2}\big(1+e\cos(\theta-\theta_0)\big)\]

正是極座標下的圓錐曲線：\(0<e<1\) 為橢圓，\(e=0\) 圓，\(e=1\) 拋物線，\(e>1\) 雙曲線。橢圓不再是觀測經驗，而是平方反比力的邏輯必然；反過來，由橢圓也可逆推力必為平方反比——牛頓兩個方向都證了。

四、球殼定理：微積分的勝利#

但行星不是質點，地球是個大球。積分證明「球殼定理」：考慮半徑 \(R\)、總質量 \(M\) 的均勻球殼，把球殼切成無數細環，對距球心 \(r\) 的質點，寬 \(dz\) 的環對其引力的貢獻

\[dF = \frac{Gm\,\sigma\, (2\pi R\sin\phi)(R\,d\phi)}{s^2}\cos\alpha,\qquad s^2 = R^2+r^2-2Rr\cos\phi\]

沿整個球殼積分（利用 \(s\,ds = Rr\sin\phi\,d\phi\)），結果

\[F_{\text{殼}} = \frac{GmM}{r^2}\]

——球殼對外部的引力，等效於全部質量集中於球心。厚球體即為同心球殼之和。若無微積分，此結果幾乎不可求；它是平方反比律特有的優美性質（數學上與三維空間的調和函數性質相連）。對內部點，積分結果為零，重力在地球深處隨深度遞減，這是牛頓留給後世的可檢驗預言。

五、哈雷：航海、商業與資本#

《原理》的出版史是資本與知識合作的範例：皇家學會財政枯竭，無錢出書；哈雷身兼天文學家、航海測量與地磁研究（《世界磁變圖》的作者），深知精確天體力學對航海經度的商業價值，於是自費印刷《原理》，並親自校對。哈雷後來以彗星週期的預測留名——他證明 1682 年的彗星即 1531、1607 年者，預言其 1758 年回歸（果然應驗）。這正是牛頓範式的勝利：數學不僅解釋過去，還預言未來。

六、小結#

萬有引力定律是人類第一個「普適定律」：同一條數學式，管蘋果、管月亮、管彗星。微積分在此不是工具，而是世界觀——自然用微分方程寫成。

延伸思考#

  1. 球殼定理只在 \(1/r^2\) 與 \(r\)（虎克式彈簧力）兩種力下成立，這種「數學巧合」是否暗示空間三維性與力的形式有深層關聯？
  2. 哈雷自費出版《原理》：若當代基礎科學全靠市場資助，還會有《原理》嗎？
  3. 牛頓用幾何而非流數術呈現證明，但球殼定理的積分本質是微積分——科學的「公開形式」與「真實方法」可以不同嗎？