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第三篇 · 第5章

第5.1節 1730–1750 年代：萊昂哈德·歐拉將微積分推向函數與極限的現代形式#

一、從「曲線的學問」到「函數的學問」#

牛頓與萊布尼茨發明微積分時，數學的對象仍然是幾何曲線：切線是曲線上的一根線，積分是曲線下的面積。而到了 1730–1750 年代，萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler, 1707–1783）做了一件影響深遠的事：他把微積分的對象從曲線轉移到函數（function）——一種由解析式子或數值關係定義的量之間的依賴關係。

1748 年，歐拉在聖彼得堡出版《無窮分析引論》（Introductio in analysin infinitorum），開篇第一句便宣告：分析的全體，皆是「函數的理論」。這本書系統地定義了初等函數、指數函數、對數函數與三角函數，把 \(\sin x\)、\(\cos x\) 從幾何線段變成解析的函數，甚至大膽地用無窮級數來定義它們。現代中學生熟悉的 \(f(x)\)、\(\pi\)、\(e\)、\(\Sigma\)、\(i\) 等符號，大多是歐拉在此時期確立或推廣的。

歐拉對極限的理解也遠超同代人。他在《引論》中以 \(e = 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \cdots \approx 2.71828\ldots\) 定義自然指數的底，並給出數學史上最優美的公式之一：

\[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\]

取 \(\theta = \pi\)，即得 \(e^{i\pi} + 1 = 0\)，將分析學五個最重要的常數熔於一爐。這個公式不只是符號的戲法：它把指數增長（複利、人口、放射性衰變）與圓周運動（振動、波、行星軌道）在數學上連為一體，為後世的振動力學、電磁學與量子力學提供了統一的語言。

二、科學院制度：君主贊助下的數學工廠#

歐拉的成就並非孤軍奮戰的奇蹟，而是 18 世紀科學院制度的產物。當時歐洲大學偏重神學與古典教育，數學研究的前沿幾乎全部發生在王室贊助的科學院中：

機構 君主 特點
聖彼得堡科學院（1724） 俄國凱瑟琳一世、伊麗莎白、凱瑟琳大帝 高薪聘請外國學者，歐拉兩度任職共三十餘年
柏林科學院（1700） 普魯士腓特烈大帝 歐拉 1741–1766 年任數學部主任
巴黎科學院 法國國王 有年金與職位，研究與國家工程結合

這是一種典型的君主贊助經濟：專制君主以科學院的榮耀妝點宮廷、以數學解決砲彈彈道、曆法、水力工程等實際問題；數學家則換取穩定薪水與出版補助。歐拉在柏林為腓特烈大帝計算火砲仰角與水利，在聖彼得堡為俄國繪製地圖、校正曆法。他的產量驚人——一生發表八百多篇論文，占當時數學、物理總產出的近三分之一，即使晚年雙目失明，仍靠心算與口述繼續寫作。這種「數學生產線」的前提，正是科學院提供了免去教學負擔的專職研究職位。

三、前因後果#

  • 經濟：君主贊助讓數學成為一種職業。歐拉在聖彼得堡的薪水足以養活十三個子女；科學院之間的懸賞徵答（如巴黎科學院的年度獎題）驅動了大量問題導向的研究。
  • 制度：科學院刊物流通全歐，形成跨國的「論文—評審—引用」體系，取代了以往私人通信為主的知識傳播。
  • 政治：普魯士腓特烈大帝與俄國凱瑟琳大帝都以「開明專制」自我標榜，延攬啟蒙學者是國家形象的工程。歐拉的遷徙軌跡（巴塞爾—聖彼得堡—柏林—聖彼得堡）正是 18 世紀學術勞動力市場的縮影。
  • 思想：歐拉的函數觀念使「自然律是方程」取代「自然律是幾何比例」成為主流信念，直接鋪路給拉格朗日與拉普拉斯的分析力學。
  • 教育：歐拉的教科書《代數指南》《微積分原理》成為全歐標準教材，培養了整整兩代分析學家。

四、因果鏈#

延伸思考#

  1. 若沒有君主科學院的贊助經濟，數學研究會以什麼形態存在？今日的國家科研補助與 18 世紀宮廷贊助有何異同？
  2. \(e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\) 說明「增長」與「旋轉」是同一件事的兩面。這種統一性對 20 世紀量子力學的波函數有何預示？
  3. 歐拉把函數視為「解析式」而非任意對應關係，直到 19 世紀狄利克雷才現代化。概念定義的鬆緊，如何影響一門學科的發展速度？