3.2 棣美弗與正態曲線：從骰子與年金算出鐘形#

從胡格諾難民到皇家學會會員#

亞伯拉罕·棣美弗（Abraham de Moivre，1667–1754）的一生，就是十七世紀末歐洲宗教迫害史的縮影。他生於法國香檳區的新教（胡格諾）家庭。1685 年，路易十四廢止《南特敕令》，新教被禁，棣美弗因信仰入獄，獲釋後於十八歲隻身流亡倫敦，終身未再返法。

在倫敦，他以家教與賭博顧問為生。據載，他常在咖啡館（包括斯文咖啡館與格雷沙姆學院附近）為賭客計算勝算，甚至幫人計算年金價格。牛頓賞識其才，晚年有人向牛頓請教數學問題時，牛頓答道：「去問棣美弗吧，他比我知道得多。」1697 年他當選皇家學會會員，1735 年入選柏林科學院，卻始終未能獲得大學教職——身為外國人與新教徒，他一生都在英國學術體制的邊緣。他最著名的成就，反而是晚年據說在咖啡館下棋時向人描述的「正態曲線」。

二項機率的計算瓶頸#

棣美弗面對的是一個純計算難題。設單次試驗成功機率為 \(1/2\)，擲 \(n\) 次出現恰好 \(k\) 次成功的機率為二項分布：

當 \(n\) 很大時，\(\binom{n}{k}\) 是天文數字，連牛頓都要算到頭痛。棣美弗在 1733 年的一份拉丁文便箋（後收入 1738 年《機率學說》第二版）中證明：當 \(n\) 很大時，這些機率近似一條光滑曲線：

這就是正態曲線（normal curve），又稱誤差曲線、鐘形曲線。他還算出了我們今日稱為 \(C \approx 2.5066\) 的常數（即 \(\sqrt{2\pi}\)）。棣美弗自己評論道：雖然機率的定律是隨機的，「但機會造成的混亂，最終呈現出驚人的規則與秩序」。這句話可作為整個十八世紀機率論的墓誌銘。

誤差理論與「平均」的誕生#

正態曲線的歷史意義在於它把「誤差」變成研究對象。天文學家早就知道：重複觀測同一顆星，讀數總是散開的；但散開有沒有規律？棣美弗的曲線暗示：大量獨立的小擾動疊加，會形成鐘形分布——觀測誤差正是如此。這一思想日後由拉普拉斯（中央極限定理）與高斯（誤差理論、最小平方法）完成（見第 5 章），成為十九世紀「以平均取代單一觀測」的方法論基礎。沒有這條曲線，就不會有後來凱特勒把天文誤差套用到人類社會的「平均人」，也不會有整個現代統計推論。

年金、賭局與一個移民的一生#

棣美弗的職業生涯提醒我們十八世紀科學的經濟基礎：他不是大學教授，而是以市場為生的自由數學家。他為保險公司與私人客戶計算年金，1752 年出版《年金學說》，系統化了生命年金定價（包括今日仍用的「棣美弗壽命律」近似）；為賭客計算勝算，則逼出了正態近似。據說他晚年發現自己每天睡眠比前一日多十五分鐘，於是用等差數列推算出自己將在某日睡足二十四小時——而死亡果然如約而至（此說出自其訃聞軼事，未必盡實，卻恰如其分地描繪了這位一生與隨機性為友的數學家）。一個宗教迫害的難民，靠賭桌與年金養活自己，卻為統計學寫下了最基本的一條曲線。