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第四篇 第九章 第二節：Black–Scholes 與選擇權定價——數學如何為風險「精準標價」#

1973 年 5–6 月，《政治經濟學雜誌》（JPE）與《金融學雜誌》（Journal of Finance）相隔數週發表了兩篇關於「什麼時候應該為一個『買入的權利』支付多少錢」的論文：布萊克–斯科爾斯（Black–Scholes）與默頓（Robert Merton）的擴展。它們的答案是一個可以用五個輸入計算的封閉式公式。於 1973 年 4 月開業——公式與交易所同時誕生；1977 年德州儀器的手持計算器即能求解該公式，交易大廳幾週內幾乎人手一機。

一、前因：選擇權定價的百年難題#

  1. 1900 巴舍利耶（Louis Bachelier）：史上第一次以布朗運動建模股價（《投機理論》——數學上走在愛因斯坦同期之前）——但無法處理利息與條件約束；
  2. 1960s 的半成品：斯普林克（Sprenkle）、索普（Edward Thorp《擊敗市場》1967）等人的模型仍需「預期報酬率」輸入——而預期報酬率根本不可觀測；
  3. 布萊克與斯科爾斯的革命：構造動態複製組合（不斷調整持有的股票量去抵消選擇權風險）——在無套利條件下，預期報酬率被消掉：價格只取決於波動率，與人的風險偏好無關。

二、公式（標準形）#

\[ C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2), \qquad d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \tfrac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}} \]

五個輸入：現價 \(S_0\)、行權價 \(K\)、無風險利率 \(r\)、到期時間 \(T\)、波動率 \(\sigma\)。默頓的貢獻：隨利率與跳躍修正、以連續時間方式證明解的唯一性（1997 共同獲諾獎；布萊克 1995 年去世未及獲獎）。

三、市場的「改寫」與模型的「軟肋」#

  1. 「delta 對沖 + 投資組合保險（portfolio insurance）」（Leland-O'Brien 的 1980s 產品）在 1987 年 10 月 19 日（黑色星期一）的自動賣出螺旋中被指為加速器——模型把市場推下懸崖（一天 22% 跌幅，未有任何基本面事件）；
  2. 「隱含波動率微笑（volatility smile）」：1987 後，同一標的不同行權價的隱含波動率不再相等——BSM 的核心假設（常數波動率、無跳躍）與市場否定——量化金融從此以「模型的錯誤」為經常性職業；
  3. 思想遺產：「無套利定價」成為現代金融的共同公理——CDO／信貸衍生品（10 章）與去中心化金融（12 章）的「完美組合」思維均由 BSM 直接傳承。

下一節：對沖基金——參見 9.3 對沖基金