第 1 章　歐幾里得與花拉子密：古代幾何邏輯與「演算法」詞彙的誕生#

1.3 從算盤到阿拉伯數字：早期人類如何將繁複的手工計算步驟化繁為簡？#

1.3.1 計算基礎設施的三次升級#

人類手工計算的三代基礎設施：

關鍵洞見：算盤極快（熟手可勝早期計算機），但「程序」依附在人的肌肉記憶裏，無法書面傳承與機械化。位值記數則把程序「寫下來」——這是演算法得以脫離人體的第一步。

1.3.2 零的哲學革命#

零不只是「沒有」：它是一個佔位的運算元。7 世紀婆羅摩笈多首次給出零的運算規則（含除零的爭議嘗試）；位值系統＋零，使「乘法豎式」「長除法」這類可書寫的演算法成立。歐洲接受過程漫長而戲劇化——1299 年佛羅倫薩一度禁用阿拉伯數字於商業文書（防偽造之慮），數百年後位值記數才全面勝出。

1.3.3 商業、航海與計算的手冊化#

• 中世紀義大利的「算術學校」（scuole d'abaco）培養「算師」（maestri d'abaco），斐波那契即出身其中；複式簿記（1494 年帕喬利《算術、幾何、比與比例概要》）把商業記錄本身變成一種演算法；
• 大航海時代，緯度測算、太陽月亮距離法（經度）依賴標準化的數表與查表程序——「數表」是演算法的預印刷形態；
• 18 世紀法國 Gaspard de Prony 的經度表工程：以分工作業（類似現代流水線的計算工廠）生產對數表——這正是巴貝奇（2.1）立志機械化數表生產的直接刺激。

1.3.4 前因後果#

• 前因：商業擴張＋紙張傳播＋天文曆法的國家需求。
• 事件：位值記數普及、算術手冊化、de Prony 計算分工（1790s）。
• 後果：計算步驟可寫、可印、可外包——只剩最後一步：交給機器。第 2 章的巴貝奇正為此而來。

下一章：第 2 章　巴貝奇與洛夫萊斯