第 3 章　阿蘭·圖靈與「炸彈機（Bombe）」：二戰密碼戰中的解密演算法絕殺#

本章導言#

二戰是人類第一場「演算法戰爭」：密碼與破譯的軍備競賽由數學家執行。本章三節：3.1 Enigma 的排列組合；3.2 炸彈機；3.3 布萊切利園的戰果與保密史。

3.1 德軍 Enigma 密碼機的恐怖排列組合：每天數百億種組合、讓盟軍情報部門束手無策的加密堡壘#

3.1.1 Enigma 的機械原理#

Enigma（謝爾比烏斯 1918 年專利，1930s 德軍全面列裝）由轉子（3 只，可換位）、接線板（plugboard，10 對）、反射器構成：

• 每按一鍵，轉子步進改變電路路徑——同一字母重複加密結果不同（多表代替密碼的機械化）；
• 排列組合量級：三轉子選位 \(60\) 種、初始位置 \(17{,}576\) 種、接線板約 \(1.5\times 10^{14}\) 種，總體積約 \(10^{20}\) 量級（每日設定下仍達 \(1.59\times 10^{20}\) 的組合空間，教科書常引「約 158 億億」）；
• 弱點：反射器使字母永不自映射、轉子步進的週期性、以及操作規程（每日密鑰、消息鑰）——機器無懈可擊，協議有縫。

3.1.2 波蘭人的先手（1932–39）#

波蘭密碼局（Biuro Szyfrów）的 Rejewski、Różycki、Zygalski 三位數學家早在 1932 年利用法國情報提供的德國密鑰表格，數學化重建 Enigma 內部接線，造出「炸彈（bomba）」與 Zygalski 打孔片自動搜尋鑰匙。1939 年 7 月 25 日波蘭在 Pyry 森林會議把全部成果移交英法——這是破譯戰的真正起點，也說明：演算法戰爭的主角是數學，不是運氣。

3.1.3 日常作戰的密碼學邏輯#

德國的加密協議存在可預測性：每日密鑰＋天氣報告（位置固定「WETTER」）、長官方慣用語（Heil Hitler 結尾）、操作員偷懶（使用女友姓名等弱鑰）——現代密碼學稱為「已知明文攻擊」的供給源。Bombe 的全部聰明，正是把這些「縫」數學化為可搜索的約束條件。

3.1.4 前因後果#

• 前因：無線電時代的軍事通信＋機械化密碼機＋德軍對自身體系的自信。
• 事件：1932 波蘭破譯、1939 移交。
• 後果：英國布萊切利園在波蘭地基上建立起規模化破譯（3.2），密碼學自此從語言學技藝變成數學—工程學科。

下一節：3.2 炸彈機