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第 6 章　里維斯特、薩莫爾與阿德曼：RSA 密碼學的數學魔術#

本章導言#

兩千年來，加密的罩門是「鑰匙如何交到對方手上」。RSA 用純數論的單向性，讓密鑰可以公開——密碼學的革命。本章三節：6.1 密鑰分發難題；6.2 RSA 的誕生；6.3 商業化與電子商務。

6.1 密碼學的世紀難題：如何在公開網路（不安全通道）上安全地交換密鑰而不被竊聽？#

6.1.1 對稱密碼的先天困境#

從愷撒密碼到 DES（1977 標準化），加密與解密共用同一把鑰匙。戰略後果：每對通信者都需要一條「安全信道」先送鑰匙——冷戰中美蘇的外交信使袋、二戰中密碼本分發，本質都在為「鑰匙配送」買單。網際網路時代這不可能：你無法為與每個陌生人通信都先跑一趟信使。

6.1.2 政府壟斷與學術破冰#

1970 年代前，現代密碼學幾乎是國安機構（NSA、GCHQ）的專屬學問。兩個「外部突破」：

  1. 1974 年 UC Berkeley 的 Ralph Merkle 提出「公鑰分配」學生項目構想（Merkle 謎題，1978 發表）；
  2. 1976 年 Stanford 的 Whitfield Diffie 與 Martin Hellman 發表《New Directions in Cryptography》，提出公鑰／私鑰模型與 Diffie–Hellman 密鑰交換（以離散對數為難題）。

英國 GCHQ 內部，James Ellis（1969 構想）、Clifford Cocks（1973，等同 RSA）、Malcolm Williamson（1974，等同 DH）早已祕密發明同類方案——但因機密而不能發表，直至 1997 年解密。這段雙重歷史成為「保密與開放的科學社會學」經典案例。

6.1.3 Diffie–Hellman 的數學#

\[ (g^{a} \bmod p,\; g^{b} \bmod p) \Rightarrow g^{ab} \bmod p \]

竊聽者只見 \(g^a, g^b\)，求 \(g^{ab}\)（離散對數）被認為計算不可行。「單向函數」——正向易、逆向難——自此成為公鑰密碼學的基石概念。

6.1.4 前因後果#

  • 前因：計算機網路興起＋密碼學走出情報機構＋數論的基礎積累。
  • 事件：1976 Diffie–Hellman 論文。
  • 後果：公鑰時代開幕；MIT 的三位研究員將把單向函數從離散對數換成更實用的「因數分解」（6.2）。

下一節：6.2 RSA 誕生