1970 James Wilkinson —— 數值穩定性的偵探#
「同一道公式，兩個程式算出的答案差了十萬八千里。誰是兇手？ 不是運氣，是『捨入誤差』這位連環殺手。」
案件檔案#
| 項目 | 內容 |
|---|---|
| 得主 | James H. Wilkinson (1919–1986) |
| 得獎理由 | 數值分析的研究，特別是線性計算中的向後誤差分析 |
| 關鍵詞 | 向後誤差分析、QR 分解、條件數 |
前因#
二戰後英國 ACE 電腦專案中，Wilkinson 負責彈道計算。當時的謎團： 手算時用同一公式都沒問題，為何電腦上結果會崩壞？
兩個嫌疑人浮現：
- 捨入誤差（每次運算捨去尾數）
- 公式本身的「病態」（ill-conditioning）
線索與推理#
條件數：案件的現場測量#
問題本身的敏感度由條件數 κ 描述：
\[\kappa(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\|\]
- κ 小 → 問題良態，誤差不放大
- κ ≈ 10^k → 大約失去 k 位有效數字（與機器精度 ε 相乘）
這是問題的固有屬性，與用什麼演算法無關。
向後誤差分析：逆轉偵查方向#
Wilkinson 的天才手法：不問「算出來的解離真解多遠」（向前誤差）， 而問「算出的解，是不是某個微擾問題的精確解？」
若 Ax = b 的演算法結果 x̂ 滿足
(A + ΔA) x̂ = b + Δb, 且 ‖ΔA‖/‖A‖ ≤ c·ε
則演算法「向後穩定」。
配合條件數即可界定真正誤差：
\[\frac{\|\hat{x}-x\|}{\|x\|} \lesssim \kappa(A) \cdot c \cdot \varepsilon\]
殺人公式現形#
經典案例：解 \(x^2 - 10^8 x + 1 = 0\) 用求根公式時， \((-b+\sqrt{b^2-4ac})\) 發生災難性相消（catastrophic cancellation）： 兩個相近大數相減，有效數字全滅。解法是改寫為 \(x_1 = \frac{1}{2a(-b-\sqrt{b^2-4ac})}\)——同一數學答案，不同的 數值命運。這證明：數學等價 ≠ 數值等價。
此外他將高斯消去改寫為QR 分解（Householder 變換），其向後 誤差界不含平方項條件，穩定性遠優於 LU。
後果#
- LAPACK、NumPy、MATLAB 的線性代數核心全是 Wilkinson 學派的 穩定演算法。
- 他的兩卷《The Algebraic Eigenvalue Problem》至今是該領域聖經。
- 浮點運算標準（IEEE 754, Kahan 1989 案）的哲學基礎——「誤差必須 可分析、可預測」——正是向後誤差分析的延伸。
關聯案件#
→ 1989-William-Kahan與IEEE754浮點標準、1979-Kenneth-Iverson與APL符號程式語言