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2011 · 珀爾馬特、施密特、里斯：宇宙加速膨脹與暗能量#

2011 諾貝爾物理學獎：索爾·珀爾馬特（Saul Perlmutter, 1959–，美國/德國）、布萊恩·施密特（Brian P. Schmidt, 1967–，美國/澳大利亞）與亞當·里斯（Adam G. Riess, 1969–，美國）——表彰「他們發現了宇宙加速膨脹，而這通過對 Ia 型超新星觀測的發現得以實現」。

懸案（案情提要）#

1998 年 1 月 8 日，兩封電子郵件同時送到了《Physical Review Letters》的編輯部。

第一封來自亞當·里斯與 Brian Schmidt（Lawrence Berkeley 國家實驗室）：

「我們觀測到的 Ia 型超新星的亮度比預期的更暗——這意味著宇宙不僅在膨脹，而且在『加速』膨脹。」

第二封來自 Saul Perlmutter 與他的團隊（Lawrence Berkeley + Caltech + 展開大學）：

「我們的結果與預期的亮度相符（甚至更亮）——這也意味著宇宙在加速膨脹。」

兩組人獨立地得到同一個結論，而他們的數據「看起來相反」（一個更暗、一個更亮）。

這個「巧合」——兩組人用不同的方法得到矛盾的「表面結果」卻指向同一個結論——是 20 世紀末最戲劇性的科學時刻之一。

讓我們把這個案子背后的物理問題說清楚。

（一）1990 年代的宇宙學問題：「\(t_0\) 宇宙學的三大支柱」。

（1）哈勃定律（1929）： \(v = H_0 d\) ——宇宙在膨脹。

（2）宇宙微波背景（1965）： \(T = 2.7\,\mathrm{K}\) ——大爆炸的餘暉。

（3）元素豐度（BBN）： ——大爆炸核合成的產物。

這三者的數值在 1990 年代中期被精確測定，並且發現「它們幾乎完美地互相一致」——這就是「標準宇宙學」（\(\Lambda\)CDM）的成立。

（二）但有一個問題被遺漏了：「\(t_0\) 宇宙學的第四個問題」。

讓我們寫出「史瓦西（Edwin Hubble）的第二個問題」。

1931 年，Edwin Hubble 在《The Scientific Monthly》發表了一篇短文〈The New Frontiers of the Universe〉，其中提出兩個問題：

「（1）我們的宇宙是『膨脹』的嗎？（2）如果是，它是怎麼樣的膨脹？——是像『不均勻』的爆炸，還是像『均勻』的爆炸？」

而 1998 年，Perlmutter 與 Schmidt 等人回答的是第二個問題的一半：

「膨脹正在加速。」

（三）關鍵的問題：「為什麼『加速』是個大新聞」。

讓我們把 1998 年之前的「膨胀史」寫出來。

關鍵方程：Friedmann 方程。

\[H^2 = \frac{8\pi G\rho}{3} - \frac{k c^2}{a^2}\]

（a）物質主導時期（早期）： \(\rho \propto a^{-3}\) → \(H^2 \propto a^{-3}\) → 減速膨脹（膨脹在「慢下來」）。

（b）1998 年之前的「智慧模型」： 在 \(\rho \sim 10^{-29}\,\mathrm{g/cm^3}\) 時，一個 \(\Lambda\)（宇宙學常數）會讓膨脹「從減速轉為加速」。

（c）關鍵的問題：\(\Lambda\) 需要多大？

1998 年之前的「\(\Lambda\)CDM 參數」是：

\[\Omega_\Lambda \approx 0.05\text{–}0.1\quad\text{（來自 CMB + 大尺度結構）}\]

而 1998 年之後：

\[\boxed{\;\Omega_\Lambda = 0.7\quad\text{（!!!）}\;}\]

這不是「量級的修正」——而是「因子的 \(7\)–\(10\) 的改變」！

（四）讓我們把 1998 年的發現的深遠性說清楚。

\[\text{1998 年之前：}\quad \Omega_\Lambda \approx 0.07,\qquad \Omega_m \approx 0.93\]
\[\text{1998 年之後：}\quad \Omega_\Lambda \approx 0.7,\qquad \Omega_m \approx 0.3\]

這意味著：

  • 宇宙中 70% 是「暗能量」（或某種「壓力為負的成分」）；
  • 而我們曾經以為宇宙中 90% 以上是「物質」（普通物質 + 暗物質）。

（五）而「暗能量」的性質至今未知——它是 21 世紀物理學最大的謎題。

前因#

年份 事件
1927 Lemaître 的「膨脹宇宙」與「宇宙學常數 \(\Lambda\)」——第一個「暗能量」的提案（1931）。
1929 Hubble 定律。
1931 Hubble 的第二個問題（膨脹史）。
1950–1960 「Steady State vs Big Bang」的對決（1978 諾獎）。
1967 超新星的發現（ Wheeler 團隊）。
1979–1981 「Ia 型超新星的『標準燈』」（Sandage 的「Sandage–Tammann 問題」）。
1982–1994 「Caltech 絕對尺度」（CALS）計畫（Perlmutter 的 PhD 計畫；Sandage 的指導）。
1994 「Supernova Cosmology Project (SCP)」的建立（Perlmutter 主持）。
1995 「High-z Supernova Search Team」的建立（Schmidt 主持）。
1995–1998 兩團隊的觀測（Perlmutter 的 Caltech 儀器；Schmidt 的「Nordic Optical Telescope」）。
1998-01-08 兩封電子郵件——「加速膨脹」的發現。
1998–2000 「Ia 型超新星的『距離—亮度』關係」的建立（Riess 的團隊）。
2001 WMAP 的第一年數據——獨立確認了 \(\Omega_\Lambda \approx 0.7\)。
2003–2004 「暗能量」的命名（Peebler 的「dark energy」）。
2010 HST 的「宇宙學關鍵項目」（CANDELS）。
2011 諾獎頒發。
2012 Higgs 發現。
2016–2018 Planck 的最終結果；\(\Omega_\Lambda = 0.685 \pm 0.015\)。
2018–2020 「哈勃張力」：\(\Omega_\Lambda\)（早期宇宙）與 \(\Omega_m\)（晚期）的不相容。

調查#

第一件證物：Ia 型超新星——「宇宙的標準蠟燭」。

讓我們完整寫出「Ia 型超新星作為距離尺」的物理。

（一）Ia 型超新星的物理。

（a）機制：白矮星的「碳燃燒」。

（i）Ia 型超新星的起源： 一顆碳－氧白矮星（CO WD）在接近 Chandrasekhar 質量（\(\sim 1.4\,M_\odot\)）時，核心的碳開始「燃燒」。

（ii）燃燒的「失控」：

核心燃燒釋放能量 → 壓力上升 → 但白矮星的質量已接近極限 → 無法膨脹 → 燃燒在 \(\sim 1\) 秒內傳遍整顆星 → 災難性的爆炸。

（iii）關鍵：為什麼它是一個「標準燭光」？

因為（1）觸發機制相同（都從接近 \(M_{Ch}\) 的 CO WD 開始）→ 釋放的能量幾乎相同；

（2）光度–峰值速度的關係（brighter ones expand faster）——「\(L \propto v_{\text{ph}}^{2.15}\)」的經驗關係（Phillips 1993）。

（b）關鍵的物理：為什麼「能量相同」意味著「光度相同」？

超新星的「光度」是「功率」：

\[L = \frac{E_{\text{rad}}}{t_{\text{cool}}}\]

而「膨脹階段」的持續時間由「光學厚度 \(\tau\)」決定：

\[\tau = \kappa\rho_{\text{ej}} R_{\text{ph}}(t) v_{\text{ph}}t\]

當 \(\tau = 1\)（光可以逃出）時，膨脹結束。

（i）讓我們寫出「Sandage 的問題」——「亮度–速度關係的翻轉」。

1960 年代末的困境：

  • Sandage 的模型： 「暗的」超新星（低光度）→ 快速膨脹 → 高速 → \(v_{\text{ph}} \propto L^{-1/4}\)
  • Branch 的模型： 「亮的」超新星 → 慢膨脹 → \(v_{\text{ph}} \propto L^{+1/2}\)

兩個模型的「\(L\)–\(v\) 關係」方向相反！ 而當時的數據無法分辨。

（ii）1993 年，Phillips 的發現解決了這個問題：

用 B 波段的「光譜線的等值寬度」作為「膨脹速度的代理」，發現了「亮度越大，膨脹越快」——這正是 Sandage 模型的預期（對「暗的」超新星而言）。**

（iii）Sandage–Tammann 問題的徹底解決（1995–2008）。

2008 年，Perlmutter 與其團隊用「更多的超新星 + 更好的校準」建立了「Ia 型超新星的光度–形狀關係」（L–C 關係），並且用「不依賴宇宙學模型的校準」（「白矮星冷卻序列的校準」）——

最終結果： 超新星是真正「標準化的蠟燭」（standardizable candle）。

（iv）讓我們寫出「峰值光度的絕對校準」。

「白矮星冷卻序列校準」：

\[M_B = M_B^{\text{WD}}(T_{\text{eff}}) - a\,C + b\,C^2 + \Delta M\]

其中 \(C\) 是「顏色」（\(B-V\)），\(M_B^{\text{WD}}\) 是白矮星在冷卻序列上的絕對光度。

（v）關鍵的「距離模數」公式。

\[m_B = 5\log_{10}\left(\frac{d_L}{10\,\mathrm{Mpc}}\right) + 25 + M_B\]

（二）為什麼「Ia 型超新星」特別適合量測「遠」的距離。

（i）關鍵：它們「很亮」。

\[M_B \approx -19.5\quad\text{（絕對星等）}\]

（ii）對比：

天體 絕對星等 可量測的距離
仙女座星系 \(-21\) \(\sim 3\,\mathrm{Mpc}\)
Ia 型超新星 \(-19.5\) \(\sim 1000\,\mathrm{Mpc}\)
**「最暗的星系」（红矮星）」 \(+15\) \(\sim 10\,\mathrm{kpc}\)

所以： 因為它們「很亮」，我們可以在「宇宙的半個尺度」上用它們量測。

（iii）而 \(z \sim 1\) 的超新星看到的宇宙是「\(30\) 億年前」的——足夠進入「膨脹歷史改變的時期」。**

第二件證物：1998 年的兩封郵件——「矛盾數據的背後」。

讓我們重建 1998 年的這個時刻，因為它生動地展現了科學的實際運作。

（一）Perlmutter 團隊的數據。

「Supernova Cosmology Project」用了 Caltech 的「four-camera」系統（4 個 CCD + 4 個不同的濾光帶）。

它量測了 \(\sim 42\) 顆「\(z \sim 0.5\) 的高紅移超新星」，結果顯示它們比預期的亮（相對於低紅移的超新星）。

（二）Schmidt 與 Riess 團隊的數據。

「High-z Supernova Search Team」用了「Nordic Optical Telescope」與「CTIO」，量測了 \(\sim 16\) 顆 \(z \sim 0.5\) 的超新星，結果顯示它們比預期的暗。

（iii）關鍵的「矛盾」——讓我們解釋它。

注意：「高紅移超新星比低紅移的暗」與「高紅移超新星比低紅移的亮」，結論相同：

\[\text{「高 } z \text{ 的超新星比『低 } z \text{ 的超新星更暗」}\;\Longrightarrow\;\text{「宇宙在加速」}\]

但兩組人的原始數據看起來相反！

原因： 兩組人的「低紅移對照組」的校準不同！

  • Perlmutter 團隊的「低 \(z\) 對照」用了「自行（proper motion）」的修正——而這個修正有問題（對近距離的超新星，膨脹前的自行被誤認為膨脹速度）。
  • Schmidt 團隊的「低 \(z\) 對照」用的是「 Hubble 流」的修正。

Perlmutter 在 2007 年的「超新星光譜」論文中回顧：

「我們的『低紅移對照組』的校準有問題（自行修正）。而 Schmidt 團隊的『低紅移對照組』用的是 Hubble 流，其偏差方向恰好使結果『看起來相反』。」

（iv）最終的和解。

1998 年之後，兩團隊合作（Riess 與 Perlmutter 的「Supernova Cosmology Project 與 High-z Supernova Search Team 的聯合數據」），用統一的校準重新分析，得到一致的結論。**

（v）讓我們特別指出「\(M_B\)–\(z\) 關係圖」。

這是 1998–2019 年物理學最有名的圖表之一：

\[\text{縱軸：}\quad \log d_L\quad\text{或}\quad \text{距離模數}\ \mu = 5\log_{10}d_L + 25\]
\[\text{橫軸：}\quad \log z\quad\text{或}\quad \log(1+z)\]

三條曲線：

曲線 模型 對應的 \(\Omega_\Lambda\)
上 「低密度」 \(\Omega_\Lambda = 0\)（純物質）
中 「平坦」 \(\Omega_\Lambda = 0.5\)
下 「高密度」 \(\Omega_\Lambda = 0.9\)

而 1998 年的數據點落在最下面——超出「\(\Omega_\Lambda = 0\)」曲線的範圍。

（vi）讓我們指出「這個圖在 2011 年諾獎演講中的地位」。

Perlmutter 的諾獎演講〈The 1998 Discovery that the Expansion Rate of the Universe is Accelerating〉（2011 年 12 月 8 日）：

「『加速』這個發現，不是一個『被發現的現象』，而是一個『被發現的問題』——因為我們不知道它是什麼。」

（vii）讓我們特別指出「兩位『大師』的傳統」——「Perlmutter 與 Schmidt 的科學風格」。

Perlmutter Schmidt Riess
背景 天文學（Sandage 的學生） 高能物理／天文學 高能物理（MIT 的 Frank Wilczek 的學生）
風格 「設計一個新儀器來回答一個老問題」 「建立一個團隊來做一個大計畫」 「分析數據」
貢獻 「CALS 計畫」與「SCP」 「High-z Search Team」的領導 關鍵的數據分析

（vii）讓我們特別指出「Schmidt 的一個關鍵貢獻」——「壓力測試」。

Schmidt 堅持做「驗證性」的觀測：

（a）確認超新星沒被「灰塵」污染： 「紅化」的檢驗（紅移的顏色–光譜的比較）。

（b）確認測量系統的穩定性： 「錐形光譜的對比」與「用不同的恆星系」交叉檢查。

（c）「不用統計，而用「個別事件」的檢驗。

這些「科學的嚴謹性」在 1998 年的發現中極其重要——因為它讓結論無法被質疑。

第三件證物：暗能量的「診斷表」——它必須是什麼？

讓我們寫出這個表格，這是 2011 年諾獎最重要的「後果」。

（一）暗能量的基本性質。

性質 觀測 說明
壓力/密度比 \(w = p/\rho = -1\)（\(z \sim 0\)） 「宇宙學常數」
狀態方程 \(w(z)\) \(w = -1\)（誤差 \(\sim 10\%\)） 非常接近 \(-1\)
時間演化 幾乎不變 「不演化」
「\(w\)–\(a\) 圖」 幾乎是水平線 排除了「 Quintessence（第五元素）」的大部分模型

（二）讓我們寫出「暗能量模型」的分類。

模型 \(w\) 說明 現狀
宇宙學常數 \(\Lambda\) \(-1\) 恆定 最簡單；符合所有觀測 標準模型的首選
Quintessence（動態暗能量）」 \(w(z)\) 變化 有第五種能量 觀測未排除，但無正面證據
修改重力（\(f(R)\) 等）」 — 不是暗能量，而是修飾引力 CMB 資料強烈限制
\(\phi\)-（quintessence） \(-1 < w < -1/3\)
「第八元素」

（三）讓我們特別指出「\(\Lambda\) 的理論問題」——「宇宙學常數的量級問題」。

讓我們計算這個「著名的難題」。

（a）真空能密度：

\[\rho_\Lambda^{\text{vac}} = \frac{\langle\rho_{\text{vac}}\rangle}{M_{\text{Pl}}^2}\sim\frac{(2\times10^{-3}\,\mathrm{eV})^4}{M_{\text{Pl}}^2}\]

讓我們算：

  • 真空能密度 \(\langle\rho_{\text{vac}}\rangle \approx 2.4\times10^{-3}\,\mathrm{eV}^4\)（Observed Dark Energy Density 引用的值）；
  • \(M_{\text{Pl}} = 1.22\times10^{19}\,\mathrm{GeV}\)。

**\(\rho_\Lambda^{\text{vac}}\)（以 \(\mathrm{GeV}^4\) 計）：

\((2.4\times10^{-3}\,\mathrm{eV})^4 = (2.4\times10^{-12}\,\mathrm{GeV})^4 = 3.3\times10^{-47}\,\mathrm{GeV}^4\)

而 \(\rho_\Lambda^{\text{obs}} \approx 2.4\times10^{-3}\,\mathrm{eV}^4 = 3.3\times10^{-47}\,\mathrm{GeV}^4\)。

（b）但「粒子物理的預測」是：

\[\langle\rho_{\text{vac}}\rangle \sim M_{\text{Pl}}^4 = (1.22\times10^{19})^4 = 2.2\times10^{76}\,\mathrm{GeV}^4\]

（c）差距：

\[\frac{2.2\times10^{76}}{3.3\times10^{-47}} = 6.7\times10^{122}\]
\[\boxed{\;\text{「}120\text{ 個數量級的差距」——宇宙學常數問題}\;}\]

這是粒子物理與宇宙學之間最尖銳的矛盾。

（四）讓我們特別指出「暗能量是 2011 年諾獎留下的『最大的問題』」。

諾貝爾委員會的科學背景報告中明確地寫（意譯）：

「暗能量的本質是本世紀最大的物理學問題。它可能需要新的、徹底不同的概念來解決。」

後果#

年份 影響
1998 加速膨脹的發現。
1998–2000 「高 \(z\) 超新星」的擴展；「Ia 型超新星作為標準蠟燭」的建立。
2001 WMAP 獨立確認 \(\Omega_\Lambda \approx 0.7\)（CMB + 超新星的聯合分析）。
2003–2004 「暗能量」的命名；「暗能量」的理論模型的大量提出。
2004 「陣列探測（SNLS）」與「ESO 的暗能量計畫」的啟動。
2008 「Discover」計畫（美國NSF/DOE）——專門量測暗能量的巡天。
2011 諾獎頒發。
2012–2015 「Planck + 超新星 + BAO」的聯合分析：\(\Omega_\Lambda = 0.685 \pm 0.015\)。
2016–2019 DESI 的初步結果（2018–2019）」；「哈勃張力」的加劇（\(\sim 4.6\sigma\)）。**
2019 「暗能量探測衛星（DESI）」正式啟動（\(z \sim 0.8\)–\(2.2\) 的 BAO 測量）。
2020s 「暗能量的未來」：DESI、Euclid（ESA, 2023–）、Rubin（LSST, 2025–）、Roman（2027–）；「\(S_8\) 張力」的統計爭論。**

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