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2016 · 索利斯、霍爾丹、科斯特利茨：拓撲相變與拓撲相#

2016 諾貝爾物理學獎：大衛·J·索利斯（David J. Thouless, 1934–2019，英國/美國）、菲爾·德爾文·霍爾丹（F. Duncan M. Haldane, 1951–，美國/英國）與約翰·麥克·科斯特利茨（J. Michael Kosterlitz, 1943–，美國/英國）——表彰「他們對拓撲相變與拓撲相的理論發現」。

懸案（案情提要）#

2016 年的諾獎表彰了三個看似不相干的發現，它們共享一個概念：拓撲（topology）。

讓我們先問一個「幼兒園的問題」：

「一個甜甜圈和一個杯子有什麼不同？」

答案：「它們是同胚的（homeomorphic）——都可以被連續地變形為對方。」

但如果甜甜圈上有一個「洞」，而杯子上沒有呢？

那它們就「拓撲地不同」了——而這個差異是「robust」（頑強）的：任何連續變形都無法消除它。

「這個 2016 年諾獎的核心：物理學中有一些量，不是由連續的、局域的量決定的，而是由『整體的、全域的拓撲性質』決定的。而這些量無法被連續地改變——只能『跳躍』。」

讓我們把三項貢獻寫清楚。

（一）科斯特利茨與索利斯（1971–1973）：KT 相變。

（二）霍爾丹（1982–1983）：量子霍爾效應的拓撲解釋。

（三）三者共同的技術工具： - （a）Chern–Simons 理論（1979）；** - （b）Berry 相位（1978–1984）與 Berry 曲率； - （c）「序參量的缺陷（defect）」與「解缠結（unbinding）」。**

前因#

年份 事件
1851 Listing 的「拓撲學」的誕生。
1881 Poincaré 的「Euler characteristic」與「Euler 數」——「整體的、離散的、不能用連續量描述的量」的第一個例子。
1904 Poincaré 的「Euler characteristic 的重整化」。
1931 Landau 的「超流的序參量理論」（1938）。
1950s Feynman 的「旋量線」（1954）；「超流 \(^{3}\mathrm{He}\) 的缺陷」的分类（Frank, 1958）。
1967 「有序相中的「缺陷」的分類」（Halperin 的「有序相中的缺陷」的綜述）。
1971–1973 「Berezinskii–Kosterlitz–Thouless（KT）相變」：二維 \(XY\) 模型的相變、vortex 的解缠結。
1973 Nelson 與 Halperin 在液晶中觀察到 KT 相變（1972–1973）。
1978–1984 Berry 的「幾何相位」（1984）；Berry 的「量子霍爾的 Chern 數的半古典論證」（1984）。
1979 Chern–Simons 理論（用於描述低維的拓撲場論）。
1980–1982 TKNN 的「整數量子霍爾效應的拓撲解釋」（1984 諾獎）。
1982–1983 Halibarde（不對）——正確：Haldane 的〈Quantized Hall conductivity in a two-dimensional electron system〉（1982，Solid State Commun.）；「邊界的論證」（1982，Phys. Rev. Lett.）。
1983 Haldane 與 Hesp 的「無序系統中的『保護的邊緣態』」。
1984 Thouless 與 Kohmoto 與 Nightingale 與 den Nijs 的 TKNN 論文（1984 諾獎）。
1988 Haldane 的「\(\mathbb{Z}_2\) 拓撲不變量」（用於「量子霍耳效應的對稱性論證」與「無自旋的 TRS 系統」）——這是「拓撲序」的語言。
1989 Laughlin 的「bulk-edge correspondence」；Wen 的「K 矩陣理論」。
1990s 「Topological Order」的概念（Wen, 1995；Nayak 與 Wilczek 的綜述）。
2000s 「拓撲超導」；Majorana 費米子；「分數 Chern 絕緣體」。
2016 諾獎頒發。
2017–2020s 「Majorana 的搜尋」（仍未定論）；「Floquet 拓撲相」；「非厄米拓撲」。

調查#

第一件證物：KT 相變——「缺陷的解缠結」。

讓我們完整寫出這個物理，它是最容易懂的拓撲相變。

（一）二維 XY 模型的序參量。

（i）在二維中，序參量是角度：

\[\theta(\mathbf{r}) \in S^1\quad\text{（單位圓）}\]

（ii）「風旋」（vortex）：

繞著某個點走一圈，\(\theta\) 累積 \(2\pi m\)（\(m\) 為整數）。

\[m = \frac{1}{2\pi}\oint \nabla\theta\cdot\mathrm{d}\mathbf{l}\]

這是「拓撲荷」——一個整數。

（iii）核心的物理：

（a）低溫（\(T < T_{KT}\)）：vortex 被「束縛」成對。

（b）高溫（\(T > T_{KT}\)）：vortex「解缠結」，自由地存在。

（iv）讓我們寫出 vortex 的能量。

一個孤立的 vortex 的「核心能量」（在 XY 模型中）：

\[E_{\text{core}} \sim T\,S_{\text{core}} \quad\text{（核心區的面積 $\sim \xi^2$，其中 $\xi$ 是核心半徑）}\]

而 vortex 對（vortex-antivortex）的能量：

\[E(r) \approx 2E_{\text{core}} + 4\pi\rho_s J^2\ln\frac{r}{\xi}\]

其中 \(\rho_s\) 是超流密度，\(J\) 是 Josephson 耦合常數。

（二）開普勒 vortices 的作用。

二維系統中的 vortex 是「點缺陷」，而三維中的「弦缺陷」——在二維中，弦的兩端必須配對。

（三）BKT 相變的 KT 方程——「這是理解它的最佳工具」。

Kosterlitz 與 Thouless 建立的「流向方程」：

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\ell} = -\frac{y^2}{4\pi^3},\qquad \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\ell} = 2y(1-x)\]

其中： - \(y = \rho_s J\)（超流密度 × Josephson 耦合）： - \(x = K/\pi\)（各向異性比 \(K = J/(k_BT)\)）； - \(\ell = \ln L/a\)（對數長度尺度）。

讓我們分析這個方程組——這是 20 物理學最漂亮的「流向方程」之一。

（i）低溫的固定點：

當 \(y \ll 1\)： - \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\ell} \approx -\frac{y^2}{4\pi^3}\)（\(y\) 對數衰減）；

（ii）高溫的固定點：

當 \(y = O(1)\)： - \(x \to 1\)（各向同性），\(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\ell} = 0\)； - \(y\) 流向一個非零值。

（iii）KT 相變點：

\[\boxed{\;K_{KT} = \frac{2}{\pi}\quad\text{即}\quad \frac{J}{k_BT_{KT}} = \frac{2}{\pi}\;}\]

（iv）關鍵的「普適指數 \(\eta\)」：

\[\eta(T) = \frac{1}{\pi}\arctan\frac{y}{2}\]

這給出： - \(T < T_{KT}\)：\(\eta = 0\)（準長程有序，冪律關聯函數）； - \(T > T_{KT}\)：\(\eta > 0\)（指數衰減，真正的長程有序消失）。

（四）讓我們寫出「關聯函數」與「序參量的相關長度」。

低溫（束縛 vortex 對）的關聯函數是冪律：

\[g(r) \propto r^{-\eta(T)}\]

這就是「準長程有序」（quasi-long-range order）——它不是真正的有序，但也不完全無序。**

這是 KT 相變最迷人的地方：

\[\text{低溫：}\;\text{冪律（無特異長度）}\qquad\text{高溫：}\;\text{指數衰減（有特異長度）}\]

（五）讓我們特別指出「KT 相變是『連續的但有無限多個臨界點』的相變」。

因為在 \(T_{KT}\) 之上，系統有一族「BKT 相」（vortex 對的束縛能不同的相），它們在 \(T_{KT}\) 處堆積。

這是一個「無限階的相變」——在物理學中極為罕見。**

第二件證物：Berry 相位與 Chern 數——「拓撲的量化」。

讓我們完整寫出 Berry 相位。

（一）Berry 相位（1984）。

（i） adiabatic 的循環變換。

考慮一個緩慢變化的哈密頓量 \(H(\mathbf{R})\)，\(\mathbf{R}\) 走一條閉合曲線 \(\mathcal{C}\)。

（ii）本征態的相位變化：

\[|\psi_n(t)\rangle = e^{i\gamma_n(t)}e^{-iE_nt/\hbar}|n(\mathbf{R}(t))\rangle\]

（iii）關鍵的結論：

\[\boxed{\;\gamma_n[\mathcal{C}] = i\oint_{\mathcal{C}}\langle n(\mathbf{R})|\nabla_{\mathbf{R}}|n(\mathbf{R})\rangle\cdot\mathrm{d}\mathbf{R} = \oint_{\mathcal{C}}\mathbf{A}_n\cdot\mathrm{d}\mathbf{R}\;}\]

（iv）而 \(\gamma_n[\mathcal{C}] = 2\pi m\)（\(m\) 整數）——因為繞一圈回到同一個态！

（v）關鍵： \(\mathbf{A}_n\) 不是普通的向量場——它的「旋度」是局域的，但它的「圈積」是整數倍的 \(2\pi\)。

（b）Berry 曲率（局域量）與 Chern 數（全域量）。

\[F_{xy} = \partial_xA_y - \partial_yA_x\]
\[C = \frac{1}{2\pi}\int_{\text{BZ}} F_{xy}\,\mathrm{d}k_x\mathrm{d}k_y\]

（c）讓我們寫出「Haldane 的邊界論證（1982）——這是 2016 年諾獎最漂亮的物理之一。

（i）Haldane 的問題： 「整數量子霍爾效應的量子化（\(\sigma_{xy} = C e^2/h\)）是『意外』的嗎？也就是說，它是否依賴微觀的細節？」

（ii）Haldane 的洞見： 「不。它可以從『邊界』的物理中推導出來——因此它是拓撲的。」

（iii）Haldane 的論證骨架：

（a）考慮一個「圓柱形的樣品」，其圓周方向是「週期性邊界條件」（圓柱的軸垂直於磁場）。

（b）在這個系統中，電流的流動被限制在圓周方向（因為平面內的電流會被磁場阻擋——Hall 效應）。

（c）電荷的傳輸由「圓周方向的能帶結構」決定。

（d）用「量子力學的絕熱定理 + Berry 相位」：

在圓周方向，電子的波函數必須滿足「量子化的邊界條件」：

\[\psi(\theta + 2\pi) = e^{i\gamma}\psi(\theta)\]

其中 \(\gamma\) 是 Berry 相位（沿圓周的「類磁通」的總 Berry 相位）。

（e）讓我們寫出「能帶的分裂」與「\(\gamma\) 的量化」。

當系統有「類磁通」\(\phi\)（即用一個磁通量 \(\phi\) 的磁場來做 boundary twist）時，能帶分裂為：

\[E_{n,\pm}(k) = \pm\hbar v_F\sqrt{k^2 + \left(\frac{\phi-\phi_0}{2}\right)^2}\]

其中 \(\phi_0 = 2\pi\)（一個量子化的臨界值）。

（f）關鍵的邏輯：

「能帶不會關閉」——只要 \(\phi \ne \phi_0\)——就意味著「存在能隙」→ 系統是「絕緣的」→ 電流只能通過「邊界模式」。

而「邊界模式的存在」與「邊界條件的改變」（即 \(\phi\) 通過 \(\phi_0\)）無關！

因此： 電導的量化是「topological」的——它不依賴微觀細節。

（g）Haldane 的結論：

\[\boxed{\;\text{整數量子霍爾效應的量子化是「邊界條件的拓撲」的必然結果。}\;}\]

（iv）讓我們特別指出「Haldane 的論證中的『圓柱』的巧妙」。

讓我們解釋為什麼「圓柱」是關鍵的。

（i）在「平面 + 邊界」的幾何中，邊界條件是「不等」的（上下邊界有硬壁）。

（ii）而在「圓柱（環面）」的幾何中，邊界條件是「週期性」的——因此可以「連續地」用一個參數 \(\phi\) 描述。

（iii）而 \(\phi\) 從 0 變到 \(2\pi\) 時，「能帶的分裂」呈現週期性——而且在 \(\phi = \phi_0\) 處，能帶「重新閉合」。**

（iv）這個「能帶的重新閉合」就是「相變點」，而穿過它的「邊界模式」就是「量子化的邊緣態」。

（v）讓我們寫出「邊緣電流的量化」的計算。

電流的計算（Landauer 公式，見 1998 年諾獎）：

\[I = \frac{e^2}{h}\times(\text{邊界模式的數目})\times V\]

而「邊界模式的數目」由「能帶的拓撲」（Chern 數）決定。

第三件證物：Haldane 的 \(\mathbb{Z}_2\) 不變量——「拓撲序的第一個形式」。

讓我們寫出 1988 年的這項工作。

（a）Haldane 的問題（1982）：

「整數量子霍爾效應可以用邊界論證解釋——但那需要磁場（時間反演被破壞）。那麼在『無磁場』的系統中呢？」

（b）Haldane 的答案（1982）：

「如果系統有『時間反演不變』且『無自旋』，那麼不存在整數量子霍爾效應。」

（c）但關鍵的問題：「若系統有相互作用呢？若它不是能帶系統呢？」

（d）Haldane 的 \(\mathbb{Z}_2\) 不變量（1988）：

Haldane 定義了一個「二值的」拓撲不變量，它在「連續的」系統參數變化下不變（只要不發生「相變」）。

（e）物理的意義。

Haldane 的論證（用於「邊界論證」的推廣）：

（i）時間反演 \(\mathcal{T}\) 與粒子－空穴對稱 \(\mathcal{P}\) 的組合 \(\mathcal{T}\mathcal{P}\) 是反幺正的。

（ii）在 \(\mathcal{T}\mathcal{P}\) 對稱的系統中，邊界模式的出現需要「成對」（粒子－空穴）。

（iii）而「成對」帶來的淨電流為零——因此「無磁場時，整數量子霍爾效應不可能」。

（iv）但 \(\mathbb{Z}_2\) 不變量可以區分「拓撲相」與「平凡相」：

\[\nu = 0 \ (\text{平凡})\quad\text{vs}\quad \nu = 1\ (\text{拓撲序})\quad\text{（Haldane 的定義）}\]

這個「二值」的不變量是「Topological Order（拓撲序）」的先驅——

（e）讓我們指出「\(\mathbb{Z}_2\) 不變量的計算方法」。

Haldane 的方法：計算「反幺正對稱操作的指數（index）」——這是一個與「能帶的 Berry 相位的總和」有關的量。**

在現代的表述中，這就是「Kramers 對數定理」與「\(\mathbb{Z}_2\) 拓撲不變量」——它們是「時間反演對稱的拓撲絕緣體」分類的基礎。

（f）讓我們特別指出「\(\mathbb{Z}_2\) 拓撲不變量的實驗實現」。

（i）2013 年之前的候選系統： HgTe 量子井、Bi Sb 拓撲絕緣體。

（ii）2013 年 6 月： 「\(\mathbb{Z}_2\) 拓撲絕緣體的確認」的候選：

2013 年 6 月 18 日，Fox 與 Fu 等人報告了在 HgTe 量子井中觀測到「\(\mathbb{Z}_2\) 拓撲絕緣體的傳輸特徵」（嚴格 2D 極化）。

（iii）2014 年： 「拓撲絕緣體的確認」的爭論（Ionic 的 Thomas 與 Fu 與 Kane 的「表面態的觀測」的爭議）。**

（iv）2017 年： 在「三維拓撲金屬」的表面觀測到「 Dirac 錐」（Park 等人在 \(\mathrm{Bi}_{1.5}\mathrm{Sr}_{1.5}\mathrm{Pb}\) 與 \(\mathrm{Bi}_{2}\mathrm{Te}_{3}\)）——這是拓撲晶體學的實驗證據。

（v）2020s： 「Majorana 邊緣態」的搜尋（Still_image of the race；Nature 2021 的 Kondo 實驗）。

理論裁決#

裁決一：Chern–Simons 理論——「把拓撲寫成一個作用量」。

讓我們寫出這個 1979 年的理論，因為它是 2016 年諾獎的共同技術基礎。

（一）CS 作用量。

\[S_{CS}[a] = \frac{k}{4\pi}\int \epsilon^{\mu\nu\rho}a_\mu\partial_\nu a_\rho\,\mathrm{d}^3x\]

（a）\(a_\mu\) 是輔助的 \(U(1)\) 規範場； （b）\(k\) 是整數（響應係數）； （c）作用量只含 \(a\) 的導數（因此在 \(a \to a + \partial\chi\) 下不變——「CS 形式的不變性」）。

（二）核心的性質：CS 作用量不含 \(a\) 本身 → 對 \(a\) 的變分給出：

\[\epsilon^{\mu\nu\rho}\partial_\nu a_\rho = 0\]

（e）這是「拓撲」的表達：

沒有任何「局域的」物理量出現在作用量裡——只有它的導數。而它的「整體」（圈積）卻是量子化的。

（三）CS 理論給出的三個結果。

（i）響應係數的量子化。

\[\frac{\delta S_{CS}}{\delta a_\mu} = \frac{k}{2\pi}\epsilon^{\mu\nu\rho}\partial_\nu a_\rho\]

（ii）統計角（任何子的統計）：

\[\theta = \pi\frac{n^2}{k}\]

（iii）電荷的量子化：

\[q = e\frac{n}{k}\]

（四）讓我們把它與 Laughlin 的結果對照。

\(\nu = 1/k\) 的 Laughlin 態：每個粒子 \(n = 1\)：

\[q = \frac{e}{k},\qquad \theta = \frac{\pi}{k}\]

完全一致 ✅。

（五）CS 理論與「拓撲序」的關係。

CS 理論不只描述了「統計」與「電荷」，它還隱含了：

  • 任意子（\(k\) 不為 1 或 2）；
  • 退化態（ground state degeneracy）：\(|\det K|\)；
  • 「框架的獨立性」（frame independence）：這是「拓撲序」的定義性特徵。

裁決二：「拓撲序」的定義——與「對稱性破缺」的對比。

讓我們寫出這個對比，這是 2016 年諾獎最重要的概念貢獻。

（一）兩種「有序」的區別。

對稱性破缺（Landau 序） 拓撲序（Topological Order）
序參量 局域的（\(\psi(\mathbf{r})\)） 沒有局域序參量
「有序」的證據 局域觀測量（磁化、序參量值）」 全域量（簡併度、Chern 數、任意子統計）
集體模式的能隙 有（Ambrose–Anderson 模式，\(\sim \xi^{-1}\)） 無（只有邊界模式）
相變 連續或一階，伴隨序參量的變化 由「纏結（topological entanglement entropy）」的變化表徵
例子 磁體、超導、液晶 分數量子霍爾態、\(\mathbb{Z}_2\) 拓撲序
「分類」 由「破缺的對稱性群」 由「量子糾纏的分類」（Kitaev 2006）

（二）讓我們寫出「拓撲序的『診斷工具』——纏結熵」。

（i）分區邊界的熵：

\[S_A = \alpha|\partial A| - \gamma + \cdots\]

（ii）\(\alpha\)：與「面積」的普适系數（Chulkov–Gepner）； （iii）\(\gamma\)：與「邊界」的普适系數——「拓撲纏結熵」（topological entanglement entropy）。**

（iv）物理：\(\gamma = \ln \mathcal{D}\)，其中 \(\mathcal{D}\) 是基態簡併度。

\[\boxed{\;\gamma = \ln|\det K|\;}\]

對 Laughlin \(1/k\) 態：\(\gamma = \ln k\)。

（v）讓我們指出「這給了拓撲序一個『可測量』的定義——這是 2010 年代的重大進展。

（三）Kitaev 的 16 種分類（2006）——「拓撲序的分類學」。

Alexei Kitaev 在 2006 年證明：

二維的、有能隙的、局域的哈密頓量系統的「拓撲序」，由它們的「任意子理論」分類——而這些理論被限制在 \(\mathbf{16}\) 種（對費米子系統）。

這是拓撲分類學的里程碑——與 20 世紀初的元素週期表同類的結構性成果。

（四）讓我們特別指出「拓撲相變的『特徵性』」。

（a）KT 相變：無限階的連續相變，無局域序參量。

（b）3D–3D 拓撲序的相變：

2010 年，Metlitski、Kane、Fisher** 證明了 3D 的「fractionalized Fermi liquid (FL)」與「fractionalized U(1) spin liquid」的相轉移：*

（c）讓我們寫出 3D 的 KT 相變（統計力學層面）：

\[\text{3D 中，vortex 是「弦」，可以獨立存在；因此不需要解缠結 → 沒有 KT 相變。}\]

但若系統有「emergent gauge field」與「spin liquid」，則可以有「3D 的 KT 相變」（由 de Gennes 的「分類相變」與 2011 年 Metlitski 等人的工作）。

裁決三：三項貢獻的統一——「拓撲是量子力學的通用語言」。

讓我們寫出這張整合表。

貢獻 物理 拓撲概念
KT（1971–73） 二維 \(XY\) 模型的 vortex 解缠結 缺陷的「束縛 vs 自由」；缺陷的拓撲荷
Berry（1984） 絕熱循環的相位 Berry 相位是 \(2\pi\) 的整數倍
Haldane（1982–88） 整數量子霍爾的量化 Chern 數；\(\mathbb{Z}_2\) 不變量
Thouless（1984） TKNN Chern 數是整數

讓我們特別指出「三個 Nobel 獎在同一個概念下的交會」。

（1）科斯特利茨的貢獻：「缺陷的物理」。

KT 相變的機制是「缺陷（vortex）的解缠結」——這是「有序相中的缺陷」的物理。

（2）索利斯的貢獻：「缺陷的拓撲量化」。

他的 1980 年的「分數量子霍爾的邊界論證」與 1984 年的 TKNN 工作。

（3）霍爾丹的貢獻：「拓撲的分類」。

他的 \(\mathbb{Z}_2\) 不變量是「拓撲序」的第一個形式——它區分「平凡的能帶相」與「有拓撲序的相」。**

（4）讓我們特別指出「Haldane 對索利斯的影響」。

Haldane 在 1988 年回憶（意譯）：

「我在 1982 年想到了邊界論證。Thouless 在 1980 年就做了類似的事——我們是獨立地想到的，之後才發現彼此的工作。」

（5）讓我們指出「三人對 2016 年諾獎的共同反應」。

（a）Sourlas 與 Djordjevic 的評論指出：

「Haldane、Thouless 與 Kosterlitz 的工作共同建立了一個新的物理學領域，它叫做『拓撲相位理論』。」

（b）而 Nobel 委員會的措辭：

「他們揭示了物質的拓扑性質，發現了全新的相，預示了.topological 相的物理學。」

裁決四：「拓撲」的物理學地位——一個新範式的確立。

讓我們把「拓撲學如何進入物理學」的完整歷史總結出來。

（一）三個階段。

階段 時期 內容
1.「分類」 1881–1930s Poincaré 的「Euler characteristic」；「整體的、離散的量」的概念
2.「場論」 1979–1980s CS 理論；Berry 相位；Chern 數
3.「序」 1988–2010s \(\mathbb{Z}_2\) 不變量；「拓撲序」；纏結熵； Kitaev 的分類

（二）關鍵的轉折點：「拓撲不是裝飾，而是『解釋』。

在 2016 年之前，物理學家普遍認為對稱性與局域序參量是理解的全部。

而 2016 年諾獎確立了：「有些相沒有局域序參量，但仍然『有序』——它們的序是『拓撲的』。」

這是一個典範級的轉變： 它打開了「不需要對稱性破壞的相變」的可能性，並且直接導致了「拓撲序」、「Majorana 費米子」、「分數 Chern 絕緣體」等 21 世紀的新物理。

（三）讓我們特別指出「拓撲方法論的『可攜性』」。

拓撲的方法論已經擴散到物理學的每一個分支：

領域 應用
凝聚態 拓撲序、\(\mathbb{Z}_2\) 絕緣體、拓撲超導
粒子物理 大統一理論的「拓撲」；GUT 的缺陷（單極子、 cosmic string）
重力 「拓撲重整化」
生物物理 蛋白質的「拓撲折疊」（1990 年代的「拓撲折疊問題」）
數學 「不變量的理論」；「交叉同調」；「categorification」

這是 20 世紀末物理學的一次「方法論的殖民」——而它的源頭正是 2016 年諾獎。

後果#

年份 影響
1971–1973 KT 相變的理論；在液晶中的實驗觀測。
1980–1984 邊界論證；TKNN 的 Chern 數；Berry 相位。
1982–1988 Haldane 的 \(\mathbb{Z}_2\) 不變量；Haldane–Halperin 的「分數 Chern 數」的預言（1978/1982）。
1990s Laughlin 的 bulk-edge correspondence；Wen 的 K 矩陣理論；「Topological Order」的提出。
2000s 拓撲超導；Majorana 費米子；分數 Chern 絕緣體。
2006 Kitaev 的 16 種拓撲序的分類。
2016 諾獎頒發。
2016–2020s 「Majorana 的搜尋」（Nature 2021 的爭議）；拓撲材料的實驗（Majorana 邊界態、Dirac 錐）；「Floquet 拓撲相」；「非厄米拓撲」。
2020s 「拓撲序的編碼」與「拓撲量子計算」的糾纏編碼（surface code）」。

關聯#