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3.2 正規子群與商群#

本章導言#

Lagrange 定理（3.1 節）告訴我們群可以被子群的陪集「鋪滿」，但鋪好的瓷磚未必能繼承群運算——除非子群夠「對稱」地坐在群中央。這樣的子群稱為正規子群，其陪集構成的新群稱為商群。商群是 Galois「真分解」思想的現代形式，也是整個代數學的核心構造：把不要的資訊約掉，把想要的結構留下。本節建立正規性、商群與同態基本定理，這是全書使用頻率最高的一組工具。

為什麼陪集可能「乘不動」#

設 \(H \le G\) ，我們想定義陪集的乘積 \((aH)(bH) = abH\) 。但有陷阱：陪集表示不唯一（ \(aH = a'H\) 時 \(a' = ah_0\) ）。檢查良定性：

\[ (a'h_0)H \cdot bH = a' h_0 b H \quad\text{vs. 需要等於}\quad a'bH. \]

除非 \(h_0 b H = b H\) （即 \(b^{-1} h_0 b \in H\) 對所有 \(h_0 \in H\) 、 \(b \in G\) 成立），否則乘積依表示法而異——陪集乘法不是定義，而是賭博。這個失敗恰好逼出正確定義。

正規子群#

定義： \(H \le G\) 稱為正規子群（記 \(H \trianglelefteq G\) ），若 \(g^{-1}Hg = H\) 對所有 \(g \in G\) 成立（等價地： \(gH = Hg\) 對所有 \(g\) 成立，左陪集集＝右陪集集）。

直觀：正規子群在「從任何角度看」都一樣——它位於群的對稱中心，不因座標選擇（共軛）而變形。

例子：

  • 交換群的任何子群都正規（ \(g^{-1}Hg = H\) 自動成立）。
  • \(A_n \trianglelefteq S_n\) （奇偶性在共軛下不變）。
  • \(\{e\}\) 與 \(G\) 自身（平凡正規子群）；只有這兩個正規子群的群稱單群（simple group）。
  • 反例： \(\{e, (12)\} \le S_3\) 不正規（ \((13)^{-1}(12)(13) = (23) \notin H\) ）。
  • \(V_4 \trianglelefteq A_4\) ，但 \(A_4\) 的三個二階子群都不正規—— \(A_4\) 正是 3.1 節那個「沒有 6 階子群」的麻煩製造者。

為什麼 Galois 需要 正規性：方程的群 \(G\) 中，子群 \(H\) 對應「已添加部分根式」的中間體；Galois 發現只有當 \(H\) 正規時，中間方程才能繼續用單一根式解出（6.1 節）。正規性不是技術巧合，而是「層層開方」的代數條件。

商群#

定理 3.2.1：若 \(N \trianglelefteq G\) ，則陪集全體 \(G/N = \{aN : a \in G\}\) 在運算 \((aN)(bN) = abN\) 下成群，稱為商群；陪集 \(N\) 是單位元， \((aN)^{-1} = a^{-1}N\) ；且 \(|G/N| = [G:N]\) 。 （證明即上面的良定性檢查，正規性使它從賭博變成定義。）

三個心像：

  1. 約分： \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) 是 \(\mathbb{Z}\) 對 \(12\mathbb{Z}\) 的商——「相差 12 的整數視為同一」；時鐘是 \(\mathbb{Z}\) 的商群實物。
  2. 投影：把群沿 \(N\) 方向「壓扁」，每個陪集壓成一點。
  3. 忘卻：商群是「故意忘掉 \(N\) 的內部差異」後剩下的資訊。忘掉得越多，商越小。

例： \(S_3 / A_3 \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) ——忘掉置換的具體循環，只剩奇偶。 \(\mathbb{R}^3 / \mathbb{R}^2\) （加法） \(\cong \mathbb{R}\) ——忘掉平面內位置，只剩高度。商群的元素是「差異的等價類」。

同態、核與同態基本定理#

定義： \(\varphi : G \to H\) 為同態，其核 \(\ker \varphi = \{g \in G : \varphi(g) = e_H\}\) 。

定理 3.2.2： \(\ker \varphi \trianglelefteq G\) ；且 \(G/\ker\varphi \cong \mathrm{Im}\,\varphi \le H\) （第一同構定理）。 證：核正規性： \(g^{-1}kg\) 映為 \(\varphi(g)^{-1} e \varphi(g) = e\) 。同構：定義 \(\bar\varphi(g\ker\varphi) = \varphi(g)\) ，良定義性恰是 \(g^{-1}g' \in \ker\varphi \iff \varphi(g) = \varphi(g')\) 。 \(\blacksquare\)

這是全代數學最重要的定理之一。它的含義：每個同態都本質上是「對某個正規子群取商」。商構造不是發明的技巧，而是同態的普遍形態。兩個推論同樣重要：

  • \(\varphi\) 單射 \(\iff \ker \varphi = \{e\}\) （核是「單性缺陷」的度量）。
  • 正規子群與「映到別處的同態」互相生成：給正規子群得商群（得同態），給同態得核（得正規子群）——正規性與同態是同一枚硬幣的兩面。

第二、三同構定理（敘述從略，見練習）完成這套「同態代數」的完整性；van der Waerden 稱之為「群論中的勾股定理」——基礎、無所不在、一切上層建築的承重牆。

正規子群列與可解性#

定義： \(G = G_0 \trianglerighteq G_1 \trianglerighteq \cdots \trianglerighteq G_k = \{e\}\) （每步正規）稱為正規列；若每個商 \(G_i / G_{i+1}\) 是素數階循環群，稱 \(G\) 可解。

例： \(S_4 \trianglerighteq A_4 \trianglerighteq V_4 \trianglerighteq \{e\}\) ：商依次為 \(\mathbb{Z}/2\) 、 \(\mathbb{Z}/3\) 、 \(\mathbb{Z}/2\) —— \(S_4\) 可解，對應四次方程可根式解（1.3 節）。而 \(S_5 \trianglerighteq A_5 \trianglerighteq \{e\}\) 走到 \(A_5\) 就死了： \(A_5\) 是單群且非素數階（60 階），** \(S_5\) 不可解**——五次方程之牆的群論判決（6.3 節完整證明）。

可解性的直觀：可解群可以被「一層層剝開」，每層剝出的商都是循環（= 可開方）的。方程可解性被完整翻譯為群內部的一列正規子群——Galois 1832 年遺囑的核心內容，在現代記號下不過五行定義。

一個具體例題#

例題 3.2.1：證明 \(S_3/A_3 \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) ，並寫出商群的完整運算表。

解： \(A_3 = \{e, (123), (132)\} \trianglelefteq S_3\) （階 3 的正規子群，因 \([S_3 : A_3] = 2\) ，指標 2 的子群必正規——見練習 3）。商群有兩個元素： \(A_3\) （偶置換類）與 \(T = (12)A_3 = \{(12), (13), (23)\}\) （奇置換類）。

運算表：

\(\cdot\) \(A_3\) \(T\)
\(A_3\) \(A_3\) \(T\)
\(T\) \(T\) \(A_3\)

這正是 \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) 的加法表。同構映射：偶 \(\mapsto 0\) 、奇 \(\mapsto 1\) ——這就是奇偶性函數 \(\mathrm{sgn}\) 誘導的同構 \(S_3/A_3 \xrightarrow{\ \cong\ } \{\pm 1\}\) ，核恰為 \(A_3\) ，與第一同構定理完全吻合。

更深的視角： \(S_3\) 有列 \(S_3 \trianglerighteq A_3 \trianglerighteq \{e\}\) ，商為 \(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/3\) ，皆素數階—— \(S_3\) 可解，這正是 1.2 節三次方程有根式公式的 Galois 式解釋。兩個世紀的「公式」與一夜遺書的「群」，在這張小小的運算表上完成對接。

歷史啟示#

  • 失敗的乘法逼出正確的定義：陪集乘法「賭不動」的直接原因是逆元在錯誤位置——正規性定義不是先驗的靈感，而是使構造可行的最小條件。定義常是失敗分析的產物。
  • 商是代數的「忘卻藝術」：科學的進步常靠「該忘的忘掉」：時鐘忘掉日期、模算術忘掉商數、商群忘掉陪集內部。知道忘什麼，比知道記什麼更接近結構思維。
  • 可解性＝剝洋蔥：Galois 把「解方程」化為「群的剝層條件」，使 300 年的計算問題變成 5 行的結構判準。轉譯（從公式到群）比計算更有力。

與其他章節及領域的關聯#

  • 3.1 節：商群繼承 Lagrange 定理： \(|G/N| = [G:N]\) 。
  • 3.3 節：群作用給出「共軛商」「正規化子商」等商群家族。
  • 4.2 節：環論中理想對應正規子群、商環對應商群——同一構造在更高維重演。
  • 5.1、6.1 節：Galois 對應把子群列翻譯為體擴張塔，「正規」的體論版本是「Galois 擴張」。
  • 6.2、6.3 節：可解性判準是 Abel–Galois 定理的正式語言。
  • 7.1 節：模的同態像與商模延續第一同構定理的模板。
  • 拓撲學：基本群 \(\pi_1\) 的商、覆疊空間與 Galois 對應的拓撲版本共享同一套「正規—商—對應」語法。

練習#

  1. 證明：指標為 2 的子群必正規（提示： \(aH\) 與 \(H\) 是僅有的兩個左陪集，也是僅有的兩個右陪集）。
  2. 列出 \(S_3\) 的全部子群，標明哪些正規；對每個正規子群寫出商群。
  3. 證明 \(V_4 \trianglelefteq A_4\) 且 \(A_4/V_4 \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\) ，並解釋這個商如何對應 3.1 節「 \(A_4\) 無 6 階子群」的現象。
  4. 求同態 \(\varphi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\) 、 \(n \mapsto 2n \bmod 6\) 的核與像，並驗證第一同構定理。
  5. 思考題：若刪去正規性、允許任意子群 \(H\) 的陪集帶運算 \((aH)(bH) = abH\) ，用 \(S_3\) 的子群 \(\{e,(12)\}\) 舉出具體反例，說明哪一步計算出錯。

進階研讀：商構造的四個深化場景#

場景一：從商群看「子群為何要正規」的深層理由。Galois 理論中，體擴張 \(K \subset L\) 的中間體 \(M\) 對應子群 \(H\) ； \(M/K\) 本身是 Galois 擴張 \(\iff H\) 正規（6.1 節）。「中間層的對稱性可繼承」正是正規性的體論含義。可見正規子群不是代數家的潔癖，而是層次結構能否自我複製的條件——這一思想在李代數的根鏈（8.2 節）與譜序列的濾鏈（9.3 節）中反覆出現。

場景二：單群與「素數的群論化身」。整數有素數作為乘法原子；群的可解剝層走到最後必是非交换单群或素數階循環群。有限單群分類（CFSG，1983 宣告完成，約 10000 頁、上百位作者）證明原子只有四族：素數階循環群、 \(A_n\) （ \(n \ge 5\) ）、Lie 型群（如 \(PSL(2,7)\) ）、以及 26 個零星群（最大的是 Monster 群，階約 \(8 \times 10^{53}\) ）。 Monster 與模形式的神秘關聯（moonshine，1978 由 McKay 提出、1992 由 Borcherds 證明，獲 1998 Fields 獎）顯示：原子清單的完成反而打開了跨領域的門。

場景三：可解群與現代演算法。「可解」一詞雖源於根式可解，但可解群本身是活躍的計算對象：有限可解群的 Sylow 子群可在多項式時間內計算（Kantor–Taylor 演算法），而一般有限群的同構測試難度未定。圖論中，可解群的圖（Cayley 圖）具有特別的正則性；密碼學中，基於非交換群（如 braid 群）的方案刻意避開可解性以抵禦攻擊——歷史概念「可解」在新戰場上變成了需要防禦的性質。

場景四：正規性的失敗美學——半直積。 \(S_3\) 不是 \(A_3\) 與 \(\mathbb{Z}/2\) 的直積（因 \(\mathbb{Z}/2\) 子群不正規），而是半直積 \(A_3 \rtimes \mathbb{Z}/2\) ：一個子群正規、另一個不正規，後者以前者為「底座」做共軛扭曲。半直積構造生成大量非交換群：二面體群 \(D_n = \mathbb{Z}/n \rtimes \mathbb{Z}/2\) 、 \(S_3\) 、Lorentz 群 \(\mathbb{R}^{1,3} \rtimes SO(1,3)\) （10.2 節）。「幾乎分裂」的群比完全分裂的直積更豐富——完美對稱的破缺，正是結構的來源（物理學家的口頭禪，在此獲得群論注腳）。

補充：Galois 如何「看見」正規性#

Galois 原文沒有「正規子群」一詞，他說的是群的「真分解」（propre décomposition）：把置換群分解為兩個「共軛系統」（即陪集）。他證明了：這種分解存在且使每個陪集在同樣意義下封閉，當且僅當中間方程可「用一個根式」解出。Jordan 在 1870 年《置換論》中將其命名為「 permutable」（可交換的子群），Hölder 1889 年改稱「normal」，Dedekind 的體論工作使術語定型。一個概念的命名史，就是其重要性被逐代確認的歷史。

名詞速查表（本節出現的核心術語）#

  • 正規子群： \(g^{-1}Ng = N\) 對一切 \(g\) 成立的子群。
  • 商群：正規子群的陪集構成的群。
  • 核與像： \(\ker\varphi\) 、 \(\mathrm{Im}\,\varphi\) ；第一同構定理 \(G/\ker\varphi \cong \mathrm{Im}\,\varphi\) 。
  • 單群：僅有平凡正規子群的群。
  • 正規列 / 可解群：逐層正規的子群鏈 / 商皆素數階循環的群。
  • 半直積：一因子正規、另一因子扭曲作用的積構造。
  • 指標 2 的子群：必正規的最常見正規子群來源。

年表速查（本節涉及的關鍵年份）#

  • 1832：Galois 遺囑提出「真分解」與可解性判準。
  • 1846：Liouville 刊出遺稿。
  • 1870：Jordan《置換論》命名並系統化正規子群。
  • 1889：Hölder 完成商群與同構定理的現代敘述。
  • 1893：Weber 的公理化體論使商構造遍及群環體。
  • 1930：van der Waerden《近世代數》使商群成為標準教材內容。
  • 1963：Feit–Thompson 定理（奇階群皆可解，255 頁）——可解性的深水區。
  • 1983：有限單群分類宣告完成（Gorenstein）。

深化問答三則#

問：商群「除以」正規子群，為什麼用「除」這個字？ 答：因為它與整數除法同構地行為： \(12 = 3 \times 4\) 對應 \(12\mathbb{Z} \subset 4\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}\) ，商 \(\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}\) 有子商 \(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} / 12\mathbb{Z}/12\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\) ——「商的子群是子群的商」（對應定理）。除法的三律（分配、結合、單位）在子群格中都有鏡像。稱「商」是比喻的正確使用，不是巧合。

問：第一同構定理為什麼被稱為「最重要的定理」？ 答：因為它是代數學的翻譯機：把任何「保持結構的映射」自動翻譯為「商構造」。證明「某商群等於某群」往往是困難問題的唯一路徑；而一旦問題化為同構定理的應用，證明變成查表。從群、環、模、向量空間到拓撲空間的基本群，每一章「同態＋核＋商」的敘事都是同一定理的變奏——學會它一次，等於學會整本書的骨架。

問：可解群這個名字還「誠實」嗎？它今天解的是什麼？ 答：誠實，但解的對象換了。今天它標記的是「可被逐層循環商分解」的結構性質，用於：有限群的計算演算法分類、Galois 表示的像的控制（數論）、以及李型群的拋物子群理論。名字保留了出生證明（根式可解），用途已完全遷移——這是數學術語的常態：詞義死於原問題、活於新結構。

（本節完）