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6.1 GALOIS 對應#

本章導言#

前兩章我們分別積累了兩套工具：群論（第 2–3 章）與體論（第 4–5 章）。現在把它們焊接起來。Galois 的核心洞察是：一個體擴張 \(E/F\) ，其全部秘密編碼在一個群裡——自同構群 \(\mathrm{Gal}(E/F)\) 。更驚人的是，這個群的子群與擴張的中間體之間存在一個完美的、反序的雙射。這個對應把「解方程」問題轉化為「群論」問題，是數學史上最重要的一次問題翻譯。1832 年 Galois 在決鬥前夜寫下的信中，這個對應是核心骨架；1846 年 Liouville 整理發表；今日它已成為整個現代代數的心臟。

歷史前因：從 Lagrange 的預感#

Galois 對應不是憑空出現。Lagrange 在 1770–71 年的長篇回憶錄中，用根的置換函數重新審視二次、三次、四次方程的解法，發現一個模式：每次降次都依賴於一個在部分置換下不變的輔助函數。他已經說出：五次方程的失敗原因將在「置換論」中。但 Lagrange 缺少兩樣工具：（1）把體 \(E\) 本身當作研究對象（而不只是根的算式），（2）群的抽象概念。Galois（受 Cauchy 1820 年代置換群工作影響）補上了兩者。鏈條是：

Lagrange 的置換函數 → Cauchy 的置換群 → Galois 的自同構群 → Artin 的公理化對應（1930s–40s）。

Emil Artin 在 1930 年代末講義中給出今日教科書的標準形式：以體為原點、以不動點定義對應，比我們想像的還晚。

定義：GALOIS 擴張與 GALOIS 群#

定義 6.1.1：設 \(E/F\) 為體擴張。Galois 群 \(\mathrm{Gal}(E/F)\) 是所有保持 \(F\) 每個元素不動的自同構 \(\sigma: E \to E\) 全體，運算為合成：

\[ \mathrm{Gal}(E/F) = \{\sigma \in \mathrm{Aut}(E) \mid \sigma(a) = a,\ \forall a \in F\}. \]

定義 6.1.2： \([E:F]\) 有限時，若 \(|\mathrm{Gal}(E/F)| = [E:F]\) ，稱 \(E/F\) 為 Galois 擴張。特徵 0 時，這等價於 \(E\) 是某個多項式在 \(F\) 上的分裂體（所有根都在 \(E\) 中）。

直覺：Galois 擴張是「根到齊」的擴張——對稱性不被「丟根」截斷。若分裂體中缺了根，某些置換就無法定義為自同構，群會小於次數。

主定理：反序雙射#

定理 6.1.3（Galois 對應）：設 \(E/F\) 為有限 Galois 擴張。則

\[ \{\text{中間體 } K: F \subseteq K \subseteq E\} \;\longleftrightarrow\; \{\text{子群 } H \le \mathrm{Gal}(E/F)\} \]

由

\[ K \longmapsto \mathrm{Gal}(E/K), \qquad H \longmapsto E^H = \{x \in E \mid \sigma(x) = x,\ \forall \sigma \in H\} \]

給出，是雙射且反序： \(K_1 \subseteq K_2 \iff \mathrm{Gal}(E/K_2) \subseteq \mathrm{Gal}(E/K_1)\) ，且

\[ [E:K] = |\mathrm{Gal}(E/K)|, \qquad [K:F] = [\mathrm{Gal}(E/F) : \mathrm{Gal}(E/K)]. \]

進一步： \(E/K\) 總是 Galois 擴張；而 \(K/F\) 是 Galois 擴張，當且僅當 \(\mathrm{Gal}(E/K)\) 是 \(\mathrm{Gal}(E/F)\) 的正規子群，且此時

\[ \mathrm{Gal}(K/F) \cong \mathrm{Gal}(E/F) / \mathrm{Gal}(E/K). \]

證明思想：核心是 Artin 的關鍵引理——一組有限自同構的不動體，其上的次數恰等於自同構個數（證法：對自同構個數歸納，用線性無關性論證）。由不動體結構得 \(E^{H} \mapsto \mathrm{Gal}(E/E^H) = H\) ， \(K \mapsto E^{\mathrm{Gal}(E/K)} = K\) ，兩個方向的雙射建立。正規子群那一段用共軛： \(\sigma H \sigma^{-1}\) 的不動體是 \(\sigma(K)\) ，故 \(H\) 正規 \(\iff\) \(K\) 被全群固定 \(\iff\) \(K/F\) 的自同構都可延拓，即 \(K/F\) Galois；商群自然等同於 \(K\) 的自同構群。 \(\blacksquare\)

整個定理的哲學：體層次的「包含」被反轉為群層次的「包含」；體的擴張次數對應群的階。體論問題從此可以搬去群論立案審理。

圖示對應#

以 \(E/F\) 的 Galois 群 \(G\) 與子域塔為例（子域在上、子群在下，反序）：

具體例題： \(\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\) 的完整解剖#

例題 6.1.1：設 \(E = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})\) 。求 Galois 群、全部中間體，並驗證對應與商群公式。

解：

第一步： \(E\) 是 \((x^2-2)(x^2-3)\) 的分裂體，故為 Galois 擴張。每個自同構由 \(\sqrt{2} \mapsto \pm\sqrt{2}\) 、 \(\sqrt{3} \mapsto \pm\sqrt{3}\) 決定，共 \(2 \times 2 = 4\) 個，故

\[ \mathrm{Gal}(E/\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/2 \times \mathbb{Z}/2 \cong V_4 \quad\text{（Klein 四元群，回顧 3.2 節）}, \]

\([E:\mathbb{Q}] = 4 = |\mathrm{Gal}|\) ，對應成立。

第二步： \(V_4\) 的非平凡子群恰有 3 個，各由一個元素生成：

\[ H_1 = \langle \sigma_1 \rangle,\ \sigma_1: \sqrt2 \mapsto -\sqrt2,\ \sqrt3 \mapsto \sqrt3; $$ $$ H_2 = \langle \sigma_2 \rangle,\ \sigma_2: \sqrt2 \mapsto \sqrt2,\ \sqrt3 \mapsto -\sqrt3; $$ $$ H_3 = \langle \sigma_1\sigma_2 \rangle,\ \text{兩者同時反號}. \]

第三步：算不動體。 \(H_1\) 固定 \(\sqrt{3}\) ， \(E^{H_1} = \mathbb{Q}(\sqrt{3})\) ；同理 \(E^{H_2} = \mathbb{Q}(\sqrt{2})\) ； \(H_3\) 固定 \(\sqrt{2}\sqrt{3} = \sqrt{6}\) ， \(E^{H_3} = \mathbb{Q}(\sqrt{6})\) 。加上兩端，中間體共 5 個：

\[ \mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2}),\ \mathbb{Q}(\sqrt{3}),\ \mathbb{Q}(\sqrt{6}) \subset E. \]

第四步：驗證次數公式。 \([E:\mathbb{Q}(\sqrt2)] = 2 = |H_2|\) ， \([\mathbb{Q}(\sqrt2):\mathbb{Q}] = 2 = [V_4 : H_2]\) 。✓

第五步： \(V_4\) 是交換群，所有子群正規，故所有中間體都是 \(\mathbb{Q}\) 的 Galois 擴張——確實，每個 \(\mathbb{Q}(\sqrt{d})\) 都是 \(x^2 - d\) 的分裂體。商群公式給出 \(\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt2)/\mathbb{Q}) \cong V_4/H_2 \cong \mathbb{Z}/2\) ，即「共軛 \(\sqrt2 \mapsto -\sqrt2\) 」，完全吻合。 \(\blacksquare\)

對應的另一面：為什麼「正規」如此要緊#

注意定理中最微妙的一句：** \(K/F\) Galois \(\iff\) \(\mathrm{Gal}(E/K) \trianglelefteq G\) **。這不是巧合，而是兩個世界使用同一語言的證據：

  • 在體的世界，正規擴張意味「共軛根不外逃」；
  • 在群的世界，正規子群意味「共軛不外逃」。

「共軛」在兩個世界竟是同一件事（ \(\sigma H \sigma^{-1}\) 作用在 \(\sigma(K)\) 上）。這種跨世界的詞彙共振，正是結構數學追求的目標——也是 9.2 節範疇論將把它推廣到極致的對象。

與其他領域的關聯#

  • 往 5.2： \(\mathrm{Gal}(\mathbb{F}_{p^n}/\mathbb{F}_p) \cong \mathbb{Z}/n\) 是本對應的最小完整實例： \(\mathbb{Z}/n\) 的子群（由 \(d \mid n\) 標定）對應中間體 \(\mathbb{F}_{p^d}\) 。可動手驗證對應的反序性。
  • 往 6.2、6.3：「方程可否根式求解」將被翻譯為「Galois 群可否被拆成逐步的循環塔」，即群的可解性。
  • 往 5.3：Gauss 的正十七邊形塔 \(\mathbb{Q} \subset \cdots \subset \mathbb{Q}(\zeta_{17})\) 正是 \(\mathbb{Z}/16\) 子群鏈的對應鏈——Gauss 無意間用了 Galois 對應。
  • 往第 3 章：商群 \(\mathrm{Gal}(E/F)/\mathrm{Gal}(E/K) \cong \mathrm{Gal}(K/F)\) 說明商群構造（3.2）在體論中有直接語義。
  • 往 9.2：Galois 對應是「反變函子」最早的深刻例子之一，範疇論將把此模式命名並推廣。

結語#

Galois 對應是一座雙向翻譯橋：體論問題（這個多項式的根有何關係？）與群論問題（這個群有什麼子群結構？）可以互譯。翻譯的價值在於：群論的機器（Sylow 定理、循環群分類、交換群結構定理）遠比 1832 年的體論工具發達。下一節，我們立刻兌現這座橋的第一筆紅利——用 \(A_5\) 的單性，判死五次方程的根式解。