7.2 群的表示論 FROBENIUS 1896#

本章導言#

群公理（第 2 章）給了我們對稱性的抽象骨架，但抽象群本身難以計算。表示論的戰略是：把抽象群映射為矩陣群——矩陣可以乘、可以算跡、可以對角化，一切線性代數的火力立即可用。Ferdinand Georg Frobenius 在 1896–97 年的一系列論文中創立了這門學科的現代形式，其起點樸素得驚人：Dedekind 請他研究行列式的乘法公式。從這個具體問題出發，Frobenius 發明了群行列式、特徵標，最終鋪出通往量子力學的道路——三十年後，物理學家 Weyl 與 Wigner 發現，原子的光譜規則早已被 Frobenius 的定理寫好。

歷史前因後果#

人物	年代	事件
Jordan	1870	《置換論》：線性代數方法進入群論
Dedekind	1880s	提出群行列式問題（未發表，寫信給 Frobenius）
Frobenius	1896	群行列式理論，特徵標誕生
Frobenius	1897	不可約表示、正交關係、 \(k[G]\) 分解
Burnside	1905	\((p^a q^b)\) 定理：用表示論證明群非單性
Schur	1900s	Schur 引理與表示的分類精修
Weyl / Wigner	1927–31	表示論進入量子力學

驅動關係值得品味：Dedekind 的問題來自數論（代數數域中的行列式恆等式），Frobenius 為解它發明特徵標，Burnside 為檢驗特徵標的力量證明有限群分類的定理，Wigner 為解釋原子光譜把整套理論搬進物理。一條從行列式公式到原子光譜的因果鏈，跨越了三十年與兩個學科。

定義：表示#

定義 7.2.1：群 \(G\) 在向量空間 \(V\) （域 \(k\) 上）上的表示（representation）是群同態

\[ \rho: G \to \mathrm{GL}(V), \]

即每個 \(g \in G\) 配一個可逆線性算子 \(\rho(g)\) ，滿足 \(\rho(gh) = \rho(g)\rho(h)\) 、 \(\rho(e) = I\) 。 \(V\) 有限維時， \(\dim V\) 稱為表示的次數。

用 7.1 節的語言：表示等價於 ** \(k[G]\) -模**，其中

\[ k[G] = \left\{ \sum_{g \in G} a_g g \;\middle|\; a_g \in k \right\} \]

是群代數（乘法由群乘法線性擴張）。兩種語言將來回切換。

例子先行：任一群都有兩個平凡表示—— \(\rho(g) = 1\) （平凡表示）與 \(\rho(g) = \det\) 型的一維表示（ \(S_n\) 的符號表示 \(g \mapsto \mathrm{sgn}(g)\) ，回顧 6.2 節 \(A_n\) 的定義就靠它）。有內容的表示從矩陣來：任何有限群 \(G\) 都有正則表示（ \(G\) 左乘作用在向量空間 \(k^G\) 上， \(\dim = |G|\) ）——Cayley 定理（3.1， \(G\) 同構於置換群的子群）的線性代數版本。

完全可約性與 MASCHKE 定理#

定理 7.2.2（Maschke，1898）：設 \(G\) 有限， \(k = \mathbb{C}\) 。則任何有限維表示都可分解為不可約表示的直和：

\[ V = V_1 \oplus V_2 \oplus \cdots \oplus V_r, \]

其中 \(V_i\) 沒有非平凡的不變子空間。

證明思想：設 \(W \subseteq V\) 是不變子空間。用內積取正交補 \(W^\perp\) ——但需讓全群保持正交性，故先把內積「平均化」：

\[ \langle u, v \rangle_G = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \langle \rho(g)u, \rho(g)v \rangle. \]

群有限，平均合法； \(G\) -不變性使 \(W^\perp\) （對新內積）仍是不變子空間，故 \(V = W \oplus W^\perp\) ，歸納到底。 \(\blacksquare\)

「平均化」是有限群表示論的標誌性技巧：有限性讓我們可以取平均，平均讓我們可以取正交補，正交補讓我們可以拆解。 \(G\) 無限（如 Lie 群，第 8 章）時需要 Haar 測度補救——這是後話。

群代數的分解#

Maschke 定理在模語言下的形式深得多：

定理 7.2.3（Frobenius 分解）： \(k = \mathbb{C}\) ， \(G\) 有限，則

\[ \mathbb{C}[G] \cong \bigoplus_{i=1}^{r} \mathrm{End}(V_i) \cong \bigoplus_{i=1}^{r} M_{d_i}(\mathbb{C}), \]

其中 \(V_1, \dots, V_r\) 是全部不可約表示， \(d_i = \dim V_i\) 。推論：不可約表示的個數 \(r\) 等於 \(G\) 的共軛類個數，且 \(\sum_i d_i^2 = |G|\) 。

這條定理把「群」這個乘法對象拆成「矩陣代數直和」——群論被完全線性化。Frobenius 的原路徑則是行列式：群行列式

\[ \Theta(G) = \det\left( \sum_{g} x_g g \right) \]

（以群元素為變元的矩陣的行列式）被他分解為不可約因式，每個不可約因式對應一個不可約表示——表示論從一個行列式的因式分解中誕生。

具體例題： \(S_3\) 的全部不可約表示#

例題 7.2.1：求 \(S_3\) 的全部不可約覆變表示。

解： \(S_3\) 有 3 個共軛類： \(\{e\}\) 、三次循環 \(\{(123), (132)\}\) 、對換 \(\{(12), (13), (23)\}\) （回顧 3.3 節共軛與循環型）。故不可約表示恰有 3 個，次數滿足

\[ d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 = 6. \]

解為 \((1, 1, 2)\) 。逐一構造：

平凡表示 \(V_1\) ： \(\rho(\sigma) = 1\) ， \(\dim = 1\) 。
符號表示 \(V_2\) ： \(\rho(\sigma) = \mathrm{sgn}(\sigma)\) ， \(\dim = 1\) 。
二維幾何表示 \(V_3\) ：把 \(S_3\) 實現為正三角形的對稱群（回顧 2.3 節 \(D_3 \cong S_3\) ）：三次旋轉映為

\[ \rho((123)) = \begin{pmatrix} -\frac12 & -\frac{\sqrt3}{2} \\ \frac{\sqrt3}{2} & -\frac12 \end{pmatrix} \quad \text{（旋轉 } 120°\text{）}, \]

對換映為對應的反射矩陣。驗證不可約：若有公共一維不變子空間（過原點直線），則它必須同時是 \(120°\) 旋轉與某反射的不變直線；旋轉 \(120°\) 在實/覆平面上沒有不變直線（特徵值 \(e^{\pm 2\pi i/3} \neq 1\) ），矛盾。故 \(V_3\) 不可約。 \(\blacksquare\)

分解公式檢驗： \(1^2 + 1^2 + 2^2 = 6 = |S_3|\) 。✓ 正則表示 \(\mathbb{C}[S_3]\) （6 維）分解為 \(V_1 \oplus V_2 \oplus 2V_3\) ——每個不可約表示出現的次數恰為其維數，這是定理 7.2.3 的內容。

為什麼表示論是「放大鏡」#

抽象群 \(S_3\) 只給乘法表；表示論給出數值：每個矩陣有特徵值、有跡。下一節定義特徵標 \(\chi(g) = \mathrm{tr}\,\rho(g)\) ，把每個不可約表示壓縮成一個函數，並證明這些函數構成正交基——群論從此擁有了類似 Fourier 分析的計算引擎（實際上，紧群的表示論就是 Fourier 推廣；Peter–Weyl 定理 1927 完成這一統一）。

與其他領域的關聯#

往 7.1：表示 = 群代數上的模；Maschke 定理 = 半單性；完全可約 = 模的直和分解。
往 6.2：可解群的表示論與根式解有深刻聯繫——Frobenius 正是受 Galois 理論中「群的分解」問題吸引而建立表示論的。
往 7.3：特徵標表是不可約表示的「身分證」，下一節全文展開。
往 8.1–8.3：緊 Lie 群（如 \(SU(2)\) ）的表示論與有限群平行（平均化換成 Haar 測度）；ADE 分類本質上是特定 Lie 群不可約表示的分類。
往 10.2：量子力學中「粒子態的變換 = 群表示」， \(SU(2)\) 的二維表示描寫自旋 \(1/2\) ——Frobenius 的抽象工具成為物質的描述語言。

結語#

Frobenius 1896 年的工作起初被視為「為行列式而數學」的技術練習；Burnside 用它證明了 \(p^a q^b\) 階群必非單群，證明它的「結構偵測力」；Weyl 在 1928 年寫下：「表示論是群的靈魂顯形。」抽象群看見的是骨架，表示論看見的是肉身。下一節，我們把肉身壓縮成一張表——特徵標表，數學中最美的表格之一。