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8.1 SOPHUS LIE 的連續群 1873#

本章導言#

Galois 的群處理的是「離散」的對稱：置換是跳躍式的。但物理世界充滿連續對稱：圓的旋轉可以轉任意角度、空間可以平移任意距離。1873 年前後，挪威數學家 Sophus Lie 開始系統研究這種連續變換群——後世稱為 Lie 群。他的動機極具十九世紀特色：不是純粹好奇，而是微分方程。Galois 用群判決代數方程的可解性；Lie 夢想用群判決微分方程的可積性。這條路徑最終超出了 Lie 的原初目標，卻長出了二十世紀數學與物理最重要的骨架：從 Killing–Cartan 的分類（8.3），到 Noether 的守恆律（10.2），到粒子物理的標準模型。

歷史前因後果#

人物 年代 事件
Galois 1832 離散群與方程可解性
Lie 1873 起 持續變換群理論（Kristiania→柏林→萊比錫）
Klein 1872 Erlangen 綱領：幾何 = 群作用下的不變量理論
Lie & Klein 1870 共同在巴黎工作（受 Galois 理論啟發）；普法戰爭中 Lie 被誤捕的軼事
Killing 1888–90 單 Lie 代數分類的四型系統
Cartan 1894 補全並嚴格化分類；發現例外型 \(G_2\)
Lie 1893 三卷《變換群理論》完成

驅動關係：Lie 在巴黎結識 Klein，兩人共享「幾何與群不可分」的信念（Klein 的 Erlangen 綱領是宣言，Lie 的變換群理論是機器）。Killing 一個中學校長級的教師，憑一己之力在 Prussian 小城完成分類的關鍵一步；Cartan——當時是軍官學校的年輕學員——用嚴格論證修補了 Killing 的證明漏洞。分類是數學中「集體長跑」的典範，預示了二十世紀有限單群分類的百年工程。

定義：Lie 群#

定義 8.1.1：Lie 群是集合 \(G\) 同時具備：

  1. 群結構（乘法、逆元）；
  2. 光滑流形結構（局部像 \(\mathbb{R}^n\) ，可微）；
  3. 兩者相容：乘法 \(G \times G \to G\) 與求逆 \(G \to G\) 是光滑映射。

直覺：Lie 群 = 「帶著群運算的光滑空間」。群公理管代數，流形結構管微積分，相容條件把兩者焊死。

基本例子：

  • \(\mathbb{R}\) （加法）、 \(\mathbb{R}^\times = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) （乘法）、 \(\mathbb{C}^\times\) 、圓周 \(S^1\) （複平面單位圓，即 \(U(1)\) ）。
  • \(\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})\) ： \(n \times n\) 可逆實矩陣，開集於 \(\mathbb{R}^{n^2}\) ，光滑群運算。這是「母體」：Lie 群的子群（閉子群，Cartan 定理 1930）都是 Lie 群。
  • \(\mathrm{O}(n) = \{A \mid A^T A = I\}\) ：正交群，保持長度與角度； \(\mathrm{SO}(n) = \det = 1\) 的部分：旋轉群。 \(\mathrm{SO}(3)\) 是物理空間旋轉的群。
  • \(\mathrm{SL}(2, \mathbb{R})\) 、 \(\mathrm{SU}(2)\) 、 \(\mathrm{Sp}(2n)\) ……每一個都是一門幾何或一類物理系統的對稱群。

緊性： \(S^1\) 、 \(\mathrm{O}(n)\) 、 \(\mathrm{SU}(2)\) 有界閉（緊）； \(\mathbb{R}\) 、 \(\mathrm{GL}(n)\) 不緊。緊與非緊的表示論面貌迥異（緊：平均化可行，類似 7.2；非緊：需單位表示技巧）——這條斷層線貫穿整個理論。

LIE 的原始動機：微分方程的 GALOIS 理論#

Lie 的計畫可以用類比講清：

代數方程 微分方程
對象 \(f(x) = 0\) \(\frac{dy}{dx} = F(x, y)\)
解的對稱 根的置換群（離散，有限） 解空間的連續變換群
可解判準 Galois 群可解 Lie 群的可解性

例：一階 ODE \(\frac{dy}{dx} = F(y/x)\) （齊次型）為何可用代換 \(u = y/x\) 化為可分離？因為它容許連續對稱群 \((x, y) \mapsto (\lambda x, \lambda y)\) （伸縮）。每種「可積分」的經典技巧（齊次化、恰當微分、相似變換）背後都是一個連續對稱群——Lie 把散落的積分術統一成「找對稱」的方法論。這正是 10.2 節 Noether 思想的先聲：對稱決定可解結構。

Lie 完成了線性化的一階方程理論；對高階與一般方程，他的判準只局部成功。但理論的生命力在於無窮小方法的發明——這才是 Lie 留下的真遺產。

無窮小思想：從群到「切的群」#

連續群的光滑性允許一件離散群做不到的事：在單位元附近做泰勒展開。設 \(\phi_t\) 是單參數子群（ \(\phi_{s+t} = \phi_s \phi_t\) ，如旋轉角 \(t\) ），則

\[ \phi_t = I + tX + O(t^2), \]

其中 \(X\) 是一個向量場（切空間元素）。乘法結構在單位元的「一階導數」處全部壓縮進 \(X\) 與換位運算：兩個單參數子群的生成元 \(X, Y\) 的「非交換性」由

\[ [X, Y] = XY - YX \]

（換位子，Lie 括號）度量。Lie 的深遠發現：

定理 8.1.2（Lie 三定理，1890）：連通 Lie 群在局部由其單位元切空間上的 Lie 括號完全決定；反過來，滿足 Jacobi 恆等式（8.2 節）的括號來自某個局部 Lie 群。

這就是局部化哲學：研究連續群的整體拓撲可以推遲，先研究「單位元附近的無窮小代數」。這個無窮小對象就是 Lie 代數——下一節的主角。

具體例題#

例題 8.1.1：證明 \(\mathrm{SO}(2)\) （平面旋轉群）是 Lie 群，找出它的單參數子群與無窮小生成元，並說明它是交換群。

解：

流形結構： \(\mathrm{SO}(2) = \left\{ \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \;\middle|\; \theta \in \mathbb{R} \right\}\) ，參數 \(\theta\) 給出 \(\mathbb{R} \to \mathrm{SO}(2)\) 的光滑滿射，核為 \(2\pi\mathbb{Z}\) ，故 \(\mathrm{SO}(2) \cong \mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z} \cong S^1\) ，是緊一維流形（圓周）。

群運算光滑：旋轉合成

\[ R_{\theta_1} R_{\theta_2} = R_{\theta_1 + \theta_2}, \qquad R_\theta^{-1} = R_{-\theta}, \]

由三角恆等式（ \(\cos(\theta_1+\theta_2)\) 的展開式是 \(\theta_1, \theta_2\) 的光滑函數）保證光滑。故 \(\mathrm{SO}(2)\) 是 Lie 群。✓

單參數子群： \(t \mapsto R_t\) 本身， \(\phi_{s+t} = \phi_s \phi_t\) 顯然。無窮小生成元：

\[ \phi_t\big|_{t=0} \text{ 的導數} = \left. \frac{d}{dt} R_t \right|_{t=0} = \begin{pmatrix} -\sin 0 & -\cos 0 \\ \cos 0 & -\sin 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} =: X. \]

展開檢驗： \(R_t = I + tX + \frac{t^2}{2}X^2 + \cdots = e^{tX}\) （矩陣指數），因 \(X^2 = -I\) ，級數正是 \(\cos t \cdot I + \sin t \cdot X = R_t\) 。單參數子群由指數映射 \(\exp\) 生成——這是 8.2 節的核心機制預演。

交換性： \(R_{\theta_1 + \theta_2} = R_{\theta_2 + \theta_1}\) ，故交換；其無窮小代數也交換： \([X, X] = 0\) 。 \(\mathrm{SO}(2)\) 是「最平凡的單 Lie 群」——但它已是電磁學 \(U(1)\) 對稱的化身（10.2 節）。 \(\blacksquare\)

緊的 SAMPLES 與拓撲預覽#

幾個必須認識的 Lie 群與其「尺寸」：

\[ \dim \mathrm{SO}(3) = 3, \qquad \dim \mathrm{SU}(2) = 3, \qquad \dim \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) = 3, \]

三個都是 3 維！它們的局部代數竟同構（8.2 節將算出），但整體拓撲不同： \(\mathrm{SO}(3)\) 有 \(\mathbb{Z}/2\) 基本群， \(\mathrm{SU}(2)\) 是單連通的（同胚於三維球面 \(S^3\) ）， \(\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})\) 完全不緊。「局部同構、整體不同」的現象說明：Lie 代數（無窮小）抓住結構的主幹，整體信息（如自旋與旋轉的 \(2\to1\) 覆蓋 \(\mathrm{SU}(2) \to \mathrm{SO}(3)\) ）需要另外補充。物理中的自旋 \(1/2\) 正住在這個覆蓋的「另一半」裡。

與其他領域的關聯#

  • 往 2.2：Lie 群滿足同一組群公理——群論不區分離散與連續；差別只在多了光滑結構。
  • 往 7.2：緊 Lie 群的表示論（Peter–Weyl 定理）是有限群表示論的逐字推廣，平均化換成 Haar 積分。
  • 往 8.2、8.3：無窮小代數（Lie 代數）與其分類（ADE）是本章後兩節。
  • 往 10.2：Noether 定理（對稱 \(\leftrightarrow\) 守恆律）的「對稱」主要就是 Lie 群； \(U(1) \times SU(2) \times SU(3)\) 標準模型的骨架全是本章的對象。
  • 往 9.2：Lie 群的齊性空間 \(G/H\) 是範疇論中「商對象」的連續版本。

結語#

Sophus Lie 晚年與 Klein 交惡、與 Frobenius 為優先權爭執，1899 年在抑鬱中去世。但他的無窮小方法成為一種新的數學本能：遇到連續對稱，先微分。微分掉的是光滑結構的細節，留下的是一個純代數對象——Lie 代數。下一節我們研究這個對象本身，看「切下來的群」如何自成體系。