8.2 Lie 代數#

本章導言#

上一節結尾，我們把 Lie 群在單位元處「微分」，得到一個切空間配換位括號——這就是 Lie 代數。它名字裡有「代數」，卻不像環那樣有結合乘法；它是一種更精瘦的結構：一個向量空間加一個反交換、滿足 Jacobi 恆等式的雙線性運算。看似瘦骨嶙峋，Lie 代數卻幾乎完全決定 Lie 群的局部結構，並且可以完整分類——這在數學中是極罕見的幸運。本節建立 Lie 代數的基本理論：括號、指數映射、結構常數、單性判準，為 8.3 的分類做準備。

定義與基本例子#

定義 8.2.1：域 \(k\) （本書取 \(\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\) ）上的 Lie 代數是向量空間 \(\mathfrak{g}\) 配雙線性映射 \([\cdot, \cdot]: \mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}\) ，滿足：

反交換： \([X, X] = 0\) （等價於 \([X,Y] = -[Y,X]\) ， \(k\) 特徵 \(\ne 2\) ）；
Jacobi 恆等式： \([X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0\) 。

注意沒有結合律、沒有單位元。Jacobi 恆等式是「弱化的結合性」：它保證 \([X, \cdot]\) 是導子（Leibniz 律）。

三大來源：

矩陣換位： \(\mathfrak{gl}_n(k) = M_n(k)\) 配 \([X, Y] = XY - YX\) 。Lie 群 \(\mathrm{GL}(n,k)\) 的代數。子代數： \(\mathfrak{sl}_n\) （跡零矩陣）、 \(\mathfrak{so}_n\) （反對稱矩陣）、 \(\mathfrak{su}_n\) （反 Hermite 跡零）……每個矩陣 Lie 群的切空間由對應的線性條件刻畫。
向量場：光滑流形上的向量場配 Lie 括號 \([X, Y] = XY - YX\) （作為微分算子）。這是 Lie 原初的版本，物理中的「Poisson 括號」是它在相空間的表親。
任意 Lie 群的單位元切空間： \(T_e G\) 。三個來源在矩陣群上重合。

指數映射：從代數回到群#

定義 8.2.2：矩陣 Lie 代數的指數映射：

\[ \exp(X) = I + X + \frac{X^2}{2!} + \frac{X^3}{3!} + \cdots. \]

關鍵性質： \(\exp(tX)\) 是單參數子群（ \(\exp((s+t)X) = \exp(sX)\exp(tX)\) ，因 \(X\) 與自己交換）；反之每個連通矩陣 Lie 群的單參數子群都形如 \(e^{tX}\) 。

指數映射把「群的乘法問題」轉為「代數的加法問題」，但只在一階精確：

\[ e^X e^Y \ne e^{X+Y} \quad \text{當 } [X,Y] \ne 0. \]

精確公式是 Baker–Campbell–Hausdorff（BCH）公式：

\[ e^X e^Y = e^{X + Y + \frac12[X,Y] + \frac1{12}[X,[X,Y]] - \frac1{12}[Y,[X,Y]] + \cdots}, \]

右邊只含括號。BCH 公式是「群結構完全由 Lie 代數決定」的定量證據——Lie 第三定理的機械化身。修正項全是括號這件事，解釋了為何無窮小理論如此有效：非交換性全部編碼在 \([\cdot,\cdot]\) 中。

結構常數與分類的入口#

取 \(\mathfrak{g}\) 的基 \(X_1, \dots, X_n\) ，展開 \([X_i, X_j] = \sum_k c_{ij}^k X_k\) ，係數 \(c_{ij}^k\) 稱為結構常數。它們反對稱於 \(i, j\) 、滿足 Jacobi 的多項式約束——分類 Lie 代數 = 在這些約束下對結構常數做等價分類。Killing 與 Cartan 正是這樣把問題化約為根系的組合學（8.3）。

理想與單性：子空間 \(\mathfrak{h} \subseteq \mathfrak{g}\) 是理想若 \([\mathfrak{g}, \mathfrak{h}] \subseteq \mathfrak{h}\) 。對應 Lie 群的正規子群（7.1 的模、3.2 的正規子群——「理想」概念的三度出現）。單 Lie 代數：無非平凡理想且非交換。半單：無非零交換理想。可解性（呼應 6.2 節）：導鏈 \(\mathfrak{g}^{(0)} = \mathfrak{g}\) 、 \(\mathfrak{g}^{(i+1)} = [\mathfrak{g}^{(i)}, \mathfrak{g}^{(i)}]\) 終於 \(\{0\}\) 。Lie 的可解判準：微分方程可積 \(\iff\) 對應 Lie 代數可解——Galois 的可解判準在連續世界的迴聲。

核心判準：Killing 型#

定義 8.2.3： \(\mathfrak{g}\) 的 Killing 型：

\[ B(X, Y) = \mathrm{tr}(\mathrm{ad}_X \, \mathrm{ad}_Y), \qquad \mathrm{ad}_X(Z) = [X, Z]. \]

Cartan 判準（1894）： \(\mathfrak{g}\) （覆數）半單 \(\iff\) Killing 型非退化； \(\mathfrak{g}\) 可解 \(\iff\) \(B(\mathfrak{g}, [\mathfrak{g},\mathfrak{g}]) = 0\) 。

Killing 型把 Lie 代數變成「幾何對象」（內積空間），半單分類從此是幾何 + 組合的問題：根系、Dynkin 圖（8.3）由此而生。

具體例題#

例題 8.2.1：計算 \(\mathfrak{su}(2)\) 與 \(\mathfrak{so}(3)\) 的結構常數，證明兩者同構，並解釋 \(\mathrm{SU}(2) \to \mathrm{SO}(3)\) 的覆蓋。

解：

** \(\mathfrak{su}(2)\) **：取 Pauli 矩陣的 \(i\) 倍（反 Hermite 跡零基）：

\[ X_1 = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix},\quad X_2 = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix},\quad X_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. \]

直接計算 Pauli 矩陣 \(\sigma_i\) 的乘法（ \(\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} I + i\epsilon_{ijk}\sigma_k\) ）得：

\[ [X_1, X_2] = 2X_3, \qquad [X_2, X_3] = 2X_1, \qquad [X_3, X_1] = 2X_2. \]

** \(\mathfrak{so}(3)\) **：無窮小旋轉生成元（對 \(x, y, z\) 軸）：

\[ J_1 = \begin{pmatrix} 0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0 \end{pmatrix},\quad J_2 = \begin{pmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0 \end{pmatrix},\quad J_3 = \begin{pmatrix} 0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0 \end{pmatrix}, \]

計算得：

\[ [J_1, J_2] = J_3, \qquad [J_2, J_3] = J_1, \qquad [J_3, J_1] = J_2. \]

同構： \(X_i \mapsto 2J_i\) （係數 \(\frac12\) 校準）把括號逐條對上： \([X_1, X_2] = 2X_3 \mapsto [2J_1, 2J_2] = 4J_3 = 2(2J_3)\) 。✓ 故 \(\mathfrak{su}(2) \cong \mathfrak{so}(3)\) 。

但群不同構： \(\mathrm{SU}(2)\) 同胚於 \(S^3\) （單連通）， \(\mathrm{SO}(3)\) 的基本群是 \(\mathbb{Z}/2\) （例如 \(SO(3)\) 中「旋轉 \(360°\) 」的閉路不可收縮， \(720°\) 才可以——帶子魔術的拓撲內容）。映射

\[ \mathrm{SU}(2) \to \mathrm{SO}(3) \]

（把 \(SU(2)\) 元素共軛作用在 \(\mathfrak{su}(2) \cong \mathbb{R}^3\) 上）是滿的群同態，核為 \(\{\pm I\}\) ，即 2 對 1 覆蓋。局部結構（Lie 代數）相同、整體結構不同——正回應 8.1 節「局部同構、整體不同」的預告。 \(\blacksquare\)

物理插注：這個覆蓋正是自旋的數學本體——電子屬於 \(SU(2)\) 的二維表示而非 \(SO(3)\) 的，轉一圈符號反轉，轉兩圈復原（10.2 節）。

單 Lie 代數的名單（預告）#

Killing–Cartan 分類（8.3 詳述）給出覆數上的單 Lie 代數：

\[ \mathfrak{sl}_{n+1} (A_n),\quad \mathfrak{so}_{2n+1} (B_n),\quad \mathfrak{sp}_{2n} (C_n),\quad \mathfrak{so}_{2n} (D_n),\quad \text{加五個例外 } E_6, E_7, E_8, F_4, G_2. \]

\(\mathfrak{su}(2)_{\mathbb{C}} \cong \mathfrak{sl}_2\) 是 \(A_1\) ，最小的單 Lie 代數——所有理論的試金石。

與其他領域的關聯#

往 8.1：Lie 代數 = Lie 群的無窮小化身；Lie 三定理保證局部互譯。
往 8.3：根系與 Dynkin 圖是對結構常數的組合化壓縮。
往 6.2：可解性概念（根式塔 → 導鏈）在 Lie 代數中重演；Lie 的微分方程判準是 Galois 判準的連續版。
往 7.3： \(\mathfrak{sl}_2\) 的表示論（最高權理論）是最簡單的非交換案例， \(SU(2)\) 的特徵標表由它算出——化學光譜學的工具。
往 10.2：Poisson 括號與量子力學對易子 \([\hat p, \hat q] = i\hbar\) 就是 Lie 括號；不確定原理是「括號不為零」的物理表述。
往 9.3：Lie 代數的上同調是同調代數的早期應用（Whitehead 引理）。

結語#

Lie 代數的哲學是「降維打擊」：把無窮維的群論問題（連續變換無窮多個）壓到有限維的代數問題（切空間 + 括號），並且 BCH 公式保證信息沒丟。Killing 型再把它壓成組合問題（根系 → 圖）。兩次壓縮之後，分類成為可能——這是數學中「先微分、再組合」的完整劇本。下一節，我們看分類的終點：六張圖，ADE。