跳轉到

7.2 Z 轉換與數位濾波器#

本章導言#

離散訊號（取樣後的數列 \(x_n\) ）需要自己的「傅立葉工具」：Z 轉換

\[ X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_n\,z^{-n}, \]

一個以複變數 \(z\) 為主的冪級數。Z 轉換之於離散訊號，如 Laplace 轉換之於連續訊號；它在單位圓 \(z = e^{i\omega}\) 上的取值恰是 DTFT（離散時間傅立葉變換），在 \(N\) 個均勻點上的取值恰是 DFT（6.2 節）。本節將建立 Z 轉換的性質與收斂域（ROC）、以傳遞函數 \(H(z)\) 的極點–零點語言設計數位濾波器（IIR 與 FIR 兩大家族）、並追溯 1960 年代 Kaiser、Rabiner 等人把濾波理論從類比遷移到數位的工程史——數位濾波器是今日一切數位音訊、通訊、控制的核心零件。

Z 轉換的定義、ROC 與性質#

定義與收斂域： \(X(z) = \sum x_n z^{-n}\) 收斂於環形域 \(r < |z| < R\) （ROC）。ROC 不是技術細節而是身份證：同一個閉式表達式對應不同序列，取決於 ROC！經典範例：

\[ \sum_{n=0}^{\infty}a^n z^{-n} = \frac{1}{1 - az^{-1}} \quad (|z| > |a|) \qquad\text{右序列（因果）}, $$ $$ -\sum_{n=-\infty}^{-1}a^n z^{-n} = \frac{1}{1 - az^{-1}} \quad (|z| < |a|) \qquad\text{左序列（反因果）}. \]

同一個 \(X(z)\) ，ROC 在極點外 = 因果系統、在極點內 = 反因果。穩定性要求 ROC 含單位圓（DTFT 存在）；因果 + 穩定 \(\Leftrightarrow\) 全部極點在單位圓內且 ROC 含單位圓——這是數位濾波器設計的第一鐵律（與 7.1 節連續版「極點在左半平面」完全平行： \(s\) 平面 ↔ \(z\) 平面，左半 ↔ 圓內）。

核心性質表（與 4.2 節平行）：

時域（序列） Z 域
延遲 \(x_{n-k}\) \(z^{-k}X(z)\) （ \(z^{-1}\) = 「單位延遲算子」）
線性 線性（ROC = 交集）
捲積 \(x * y\) \(X(z)Y(z)\)
乘 \(a^n\) \(X(a^{-1}z)\) （ROC 縮放）
差分 \(x_n - x_{n-1}\) \((1 - z^{-1})X(z)\)
初值/終值定理 \(x_0 = \lim_{z\to\infty}X(z)\) ； \(\lim_{n\to\infty}x_n = \lim_{z\to1}(z-1)X(z)\) （若極限存在）

** \(z^{-1}\) 的物理身份：一拍延遲——數位系統的「記憶單元」。差分方程 → 代數方程**：LCCDE（線性常係數差分方程）

\[ \sum_{k=0}^{M}a_k\,y_{n-k} = \sum_{j=0}^{N}b_j\,x_{n-j} \quad\Longrightarrow\quad H(z) = \frac{\sum b_j z^{-j}}{\sum a_k z^{-k}}, \]

傳遞函數 = 兩個多項式之比。數位濾波器的實現就是按此式搭「加法器、乘法器、延遲器」的電路或程式（直接 I 型/II 型、級聯二階節 biquad——數值穩定性的考量使 biquad 級聯成為標準）。

IIR 與 FIR：兩大家族#

IIR（無限衝擊響應）： \(H(z)\) 是真分式有理函數（有回授、有極點）。優點：階數低、效率高（ \(n\) 階 IIR 可達 \(2n\) 個乘加）；缺點：相位非線性（色散）、可能有極限環（量化噪聲被回授放大）、穩定性需驗證。設計法：類比原型遷移——Butterworth/Chebyshev/橢圓濾波器在 \(s\) 域設計好，經 雙線性變換 \(s = \frac{2}{T}\cdot\frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}\) （ \(s\) 左半平面 ↔ \(z\) 單位圓內，一對一映射）搬到 \(z\) 域。代價：頻率軸被壓縮畸變（需預畸變：設計前把目標頻率 \(f \to \frac{2}{T}\tan\frac{\pi f T}{2}\) 校正回來）——雙線性變換的這個小技巧是數位濾波器課程的必考點。

FIR（有限衝擊響應）： \(H(z) = \sum_{k=0}^{K-1}h_k z^{-k}\) （多項式、無回授、只有零點）。優點：永遠穩定、可實現精確線性相位（對稱係數 \(h_k = h_{K-1-k}\) ⇒ 純延遲的相位——無色散，波形不變形！）、無極限環；缺點：達到同等阻帶需要較高階數。設計法：（1）窗函數法：理想 sinc 響應 × 窗（Hann/Kaiser——6.2 節窗家族的濾波器版）；（2）Parks–McClellan 算法（1972，Remez 交換）：等波紋最佳化（Chebyshev 逼近），在給定階數下最小化最大誤差——數位濾波器設計的「皇冠算法」，把切比雪夫逼近論（多項式最小最大逼近）變成商用工具。

選型口訣：相位要直（音訊、成像）用 FIR；算力要省（即時控制）用 IIR。DSP 課程的標準答案是兩者並用：FIR 做線性相位的成形、IIR 做高效的粗濾。

一個具體例題#

例題 7.2.1：設計並分析一階數位低通： \(y_n = (1-\alpha)y_{n-1} + \alpha x_n\) （指數移動平均，EWMA）。（1）求 \(H(z)\) 、極點位置、穩定性條件；（2）求 -3dB 截止頻率（以 \(\alpha\) 與取樣率表示）；（3）對 \(\alpha = 0.1\) 、 \(f_s = 1000\) Hz 計算截止頻率與階躍響應到達 90% 的時間。

解：

（1）取 Z 轉換（假設零初始條件）： \(Y(z) = (1-\alpha)z^{-1}Y(z) + \alpha X(z)\) ，故

\[ H(z) = \frac{\alpha}{1 - (1-\alpha)z^{-1}}. \]

極點 \(z_p = 1 - \alpha\) （實數、單位圓內， \(\alpha \in (0, 1)\) 時）——穩定。衝擊響應 \(h_n = \alpha(1-\alpha)^n u_n\) （幾何衰減——指數移動平均的字面來源）。

（2） \(|H(e^{i\omega})|^2 = \frac{\alpha^2}{(1 - (1-\alpha)\cos\omega)^2 + \big((1-\alpha)\sin\omega\big)^2} = \frac{\alpha^2}{1 - 2(1-\alpha)\cos\omega + (1-\alpha)^2}\) 。令 \(= \frac12\) （增益降 3dB）解出

\[ \omega_c = \arccos\!\left(1 - \frac{\alpha^2}{2(1-\alpha)}\right). \]

（3） \(\alpha = 0.1\) ： \(1 - \frac{0.01}{1.8} = 0.9944\) ， \(\omega_c = \arccos(0.9944) \approx 0.1053\) rad， \(f_c = \frac{0.1053}{2\pi}\times1000 \approx 16.8\) Hz。階躍響應 \(y_n = 1 - (1-\alpha)^{n+1}\) ；達 90% 需 \((0.9)^{n+1} \le 0.1\) ， \(n + 1 \ge \frac{\ln 0.1}{\ln 0.9} \approx 22\) 拍 = 22 ms。解讀： \(\alpha\) 越小，截止越低（濾得越兇）、響應越慢——「平滑」與「延遲」在這個一階濾波器中由同一參數鎖死（與 4.3 節例題的窗長交換完全同構，只是離散化）。EWMA 是金融（技術指標）、工控（濾波器初值）、品管（控制圖）通用的「最便宜低通」。

歷史啟示#

  • 從類比到數位的遷移戰：1960 年代數位電腦速度尚低，設計師的問題是「如何把百年類比濾波器智慧搬進數位」。雙線性變換、脈衝不變法（ \(h_n = h(nT)\) 取樣）等遷移技術應運而生。1975 年 Rabiner–Gold《數位訊號處理的理論與應用》 標誌學科獨立。新媒體時代的理論往往是舊理論的座標變換——遷移不是抄襲，是再發明。
  • Parks–McClellan（1972） 把 Remez 交換算法引入 FIR 設計，配合當時新興的計算機輔助設計，使「給定規格自動出濾波器」成為可能。算法 + 規格語言 = 自動化設計，是 CAD 時代的縮影。
  • 定點 vs. 浮點：嵌入式 DSP 晶片（TI C54x 世代）用定點運算，係數量化與溢位是設計的「第二數學」——同一個 \(H(z)\) ，不同的實現（直接型 vs. 級聯 biquad）可以有不同的數值命運。理論的濾波器與實現的濾波器之間，隔著量化理論（6.1 節場景三的延伸）。

與其他章節及領域的關聯#

  • 4.2 節：性質表的離散對應； \(z^{-1}\) ↔ 延遲 ↔ 相位斜坡。
  • 6.1 節：取樣定理給出「數位化」的前提；抗混疊 = 本節濾波器的第一個崗位。
  • 6.2 節：DFT 在單位圓上取樣 \(H(z)\) ——頻率響應的數值計算。
  • 6.3 節：FIR 的 FFT 實現（重疊相加）。
  • 7.1 節：連續 LTI 理論（ \(s\) 域）為本節的母體；雙線性變換是兩界的橋。
  • 7.3 節：數位上/下變頻、數位 IF——SDR 的濾波鏈。
  • 8.3 節：小波 = 濾波器組的迭代；Daubechies 小波就是特殊設計的 FIR 組。
  • 9.3 節：Laplace 轉換——Z 轉換的連續孿生（ \(z = e^{sT}\) ）。

練習#

  1. 求 \(x_n = a^n u_n\) 的 Z 轉換與 ROC；再求 \(-a^n u_{-n-1}\) 的轉換，驗證兩者閉式相同、ROC 不同。
  2. 求系統 \(y_n = 0.9y_{n-1} + x_n + 0.5x_{n-1}\) 的 \(H(z)\) ，標出極點與零點，判斷穩定性，並用長除法求 \(h_n\) 的前三項。
  3. 用雙線性變換（ \(T = 1\) ）把一階類比低通 \(H(s) = \frac{1}{1 + s/\omega_c}\) 映到 \(z\) 域；驗證極點在單位圓內；說明需要預畸變的原因（比較 \(\omega = \omega_c\) 處的增益）。
  4. 對稱 FIR： \(K = 5\) 、係數 \(h = (h_0, h_1, h_2, h_1, h_0)\) 。證明其相位精確線性（ \(H(e^{i\omega}) = e^{-2i\omega}\times\) 實函數），並以 \(h = (0.1, 0.25, 0.3, 0.25, 0.1)\) （歸一化後）畫出幅值響應特徵（低通、過渡帶、阻帶第一零點）。
  5. 思考題：極限環（limit cycle）——IIR 濾波器在定點實現中，輸入為零時輸出可能永久小幅振盪（量化噪聲被極點附近的回授圈住）。查閱：為何 FIR 無此問題？無回授 = 誤差只衰減不增強——這條結構性差異如何影響音訊錄音室 vs. 助聽器的晶片選型？

進階研讀：數位濾波的五個深化場景#

場景一：多速率與抽取/內插。抽取（decimation，降取樣）與內插（interpolation，升取樣）是音訊重取樣（44.1↔48 kHz）、多載波通訊、濾波器組的基礎。Noble 恆等式（先濾後抽 = 先抽後濾的交換規則）使多速率系統的計算量最小化——操作順序即效率，多速率理論（Croisier–Bellanger–Kunt、Vaidyanathan 1990s）是「濾波 + 重取樣」的代數。

場景二：濾波器組與子帶編碼。把頻譜切成子帶（分析濾波器組）、各帶按信噪比分配位元、合成恢復——MP3/AAC 的心理聲學編碼就建立在正交鏡像濾波器組（QMF）上。完美重建條件（PR）：分析 + 合成濾波器組的總響應 = 純延遲——這組多項式方程的解正是 2 項小波濾波器（8.3 節）！子帶編碼與小波在 1980s 匯流（Meyer、Mallat、Vetterli 的工作），是「壓縮需求催生數學」的現代案例。

場景三：自適應濾波。係數隨資料更新（LMS 算法，Widrow–Hoff 1960）： \(h_{n+1} = h_n + \mu\,e_n x_n\) （誤差 × 輸入的梯度步）——回聲消除（電話會議）、主動降噪（耳機！）、線性預測（語音編碼 LPC）都是自適應濾波。LMS 是「隨機梯度下降」在濾波器上的首演——深度學習優化器的祖先之一。收斂性分析（學習率 \(\mu\) 的界、特徵值展開比）用向量空間的二次型語言——10.1 節 Hilbert 空間觀點的實用一面。

場景四：頻域自適應與 Fast Convolution。長 FIR 的自適應更新昂貴——頻域 LMS（FLMS） 在 FFT 域更新（乘法在頻域、梯度也搬過去），配合重疊儲存，使千階濾波器的自適應即時可行。「6.3 節 FFT × 本節自適應」= 大回聲消除系統的實際架構（VoIP 會議橋的核心模組）。

場景五：圖訊號處理——離開時間軸。把「序列」推廣為圖上的訊號（節點上有值）：圖拉普拉斯 \(L\) 的特徵向量扮演傅立葉基、圖濾波 \(H(L) = \sum h_k L^k\) （多項式濾波）。圖卷積網路（GCN）= 圖濾波的學習版。傳遞函數、極點（ \(L\) 的特徵值）、頻率（變異度）整套語言遷移成功——「傅立葉」的最終身份是「交換算子族的聯合對角化」，圖版本是 2010s 的最新成員（10.1 節抽象譜理論的應用前哨）。

補充：DSP 晶片的黃金年代#

1980 年 TI TMS32010 問世：單晶片、單週期乘加（MAC）、Harvard 架構（程式/數據分離匯流排）——為「 \(y_n = \sum h_k x_{n-k}\) 」這一行程式特製的 CPU。此後 20 年，DSP 晶片統治數據機、手機、MP3 播放器；2000s 後逐漸被通用處理器 + SIMD（以及 DSP 指令融合進 ARM）吸收。「為一個算法造一個處理器」的專用化浪潮（DSP → GPU → NPU/TPU）是計算架構史的反覆節奏——FFT 與捲積永遠是第一個被硬化的對象（6.3 節場景的硬體續篇）。

名詞速查表（本節出現的核心術語）#

  • Z 轉換： \(X(z) = \sum x_n z^{-n}\) ；離散訊號的複變數表示。
  • ROC：收斂域；序列身份（因果/反因果）的載體。
  • 傳遞函數 \(H(z)\) ：輸出/輸入的 Z 比；LCCDE 的代數化身。
  • 極點 / 零點（Z 平面）：穩定性（圓內）與頻響形狀的載體。
  • ** \(z^{-1}\) **：單位延遲；數位記憶的代數符號。
  • IIR / FIR：無限/有限衝擊響應；效率 vs. 線性相位的兩家族。
  • 雙線性變換： \(s \leftrightarrow z\) 的遷移映射；含頻率預畸變。
  • Parks–McClellan：FIR 等波紋最佳設計（Remez 交換）。
  • 線性相位：對稱 FIR 的精確性質；無色散。
  • Biquad 級聯：二階節串接；數值穩定的實現常態。
  • LMS / 自適應濾波：係數在線更新；回聲消除與降噪的核心。
  • 濾波器組 / 子帶編碼：頻譜切分與完美重建；小波的工程前身。
  • 多速率 / Noble 恆等式：抽取內插的交換代數。

年表速查（本節涉及的關鍵年份）#

  • 1947：Hurewicz 等早期「轉換法」文獻（Z 變換前身，伺服控制）。
  • 1952：Truxal、Ragazzini 等把 \(z\) 變換系統化（取樣控制系統）。
  • 1960：Widrow–Hoff LMS 自適應。
  • 1965：FFT 使 FIR 的頻域實現可行。
  • 1971：Bellanger 等多速率理論萌芽。
  • 1972：Parks–McClellan FIR 設計。
  • 1975：Rabiner–Gold 教科書，DSP 學科成形。
  • 1980：TI TMS32010 DSP 晶片。
  • 1986–1989：完美重建濾波器組（Smith–Barnwell、Vaidyanathan）；小波匯流。
  • 1993：MP1/MP2 標準（子帶編碼）；1995 MP3。
  • 2010s：GCN——圖上的「傅立葉–濾波」。

深化問答三則#

問：Z 轉換和 DTFT 是什麼關係？ 答：DTFT（單位圓取樣） \(X(e^{i\omega}) = X(z)|_{z = e^{i\omega}}\) 是 Z 轉換的「赤道切面」。Z 轉換多了徑向自由度（ROC），因此能區分因果性、能做極點分析、能處理 DTFT 發散的序列（ROC 不含單位圓但含 \(z = 2\) ）。DTFT 是「頻率報表」，Z 轉換是「完整地圖」——工程上先看赤道、必要時看全域。

問：為什麼音訊圈如此執著「線性相位」？ 答：因為非線性相位 = 不同頻率延遲不同 = 波形畸變（即使幅值響應平坦）。人耳對短暫波形的相位畸變敏感（暫態、定位）。對稱 FIR 的線性相位保證「只延遲、不變形」——監聽鏈、母帶處理、專業混音的標準訴求。但注意：聽覺研究對「絕對線性相位是否可聞」仍有爭議——工程保守主義與心理聲學的前沿在此交錯。

問：既然 IIR 效率高，為何 FIR 反而成為 AI 時代的寵兒？ 答：FIR 的無回授結構使其（1）可並行化（每個輸出獨立計算——GPU/矩陣友好）；（2）數值行為可預測（無極限環、無條件穩定）；（3）可學習（CNN 卷積核就是可訓練 FIR）。結構的平行性與可微性，在硬體與深度學習時代比漸近效率更值錢——IIR 仍在低功耗控制中稱王，但主流訊號鏈已向 FIR 遷移。

（本節完）