跳轉到

4.2 Lebesgue測度1902#

本章導言#

上一節我們看到 Peano 與 Jordan 用「有限覆蓋的內外包」嘗試定義面積，結果碰壁：即使是 Dirichlet 函數這樣的簡單對象，Jordan 外測度與內測度也不相等。問題的根源不在對象本身，而在「有限」二字。1902 年，Henri Lebesgue（1875–1941）在他的博士論文《積分、長度與面積》（Intégrale, longueur, aire）中做了一件看似微小卻翻天覆地的事：把覆蓋從有限個改為可數無限個。這一步讓「長度」的理論突然變得無所不能。本節講述這個定義的來龍去脈、技術細節，以及它為何成為二十世紀分析學的地基。

歷史背景：危機的累積#

Lebesgue 並非憑空發明。十九世紀末，分析學累積了三個無法在 Jordan 理論內解決的問題：

年代 人物 問題
1872 Weierstrass 處處連續處處不可微函數——積分理論必須處理病態函數
1881 Volterra 有界函數其導函數存在卻不 Riemann 可積
1890s Stolz、Cantor 「可數個區間的並」的長度該是什麼？
1898 Borel 《Leçons sur la théorie des fonctions》先建立 Borel 集的測度

Borel 是 Lebesgue 的老師輩（兩人後來因優先權問題交惡三十年）。Borel 已經意識到：從開區間出發，對可數的運算（可數並、補集）封閉的最小集族——後來稱為 Borel σ-代數——上面的「長度」應該用可數可加性定義。Borel 甚至證明了可數個兩兩不交區間的並的長度等於長度之和。但他停在這裡：他沒有定義一般點集的外測度，更沒有建立積分。Lebesgue 的功勞是完成整座建築。

Lebesgue 外測度的定義#

定義 4.2.1（Lebesgue 外測度）：對 \(A \subseteq \mathbb{R}\) ，定義

\[ m^*(A) = \inf\left\{ \sum_{n=1}^{\infty} \ell(I_n) \;:\; A \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} I_n,\ I_n \text{ 為開區間} \right\}, \]

其中 \(\ell(I)\) 是區間 \(I\) 的長度。覆蓋允許可數無限多個區間，且要求和可以發散到 \(\infty\) 。

外測度的基本性質：

  1. 空集與區間： \(m^*(\emptyset)=0\) ，且 \(m^*(I) = \ell(I)\) 對任意區間成立。
  2. 單調性： \(A \subseteq B \Rightarrow m^*(A) \le m^*(B)\) 。
  3. 平移不變： \(m^*(A+x) = m^*(A)\) 。
  4. 可數次可加： \(m^*\left(\bigcup_n A_n\right) \le \sum_n m^*(A_n)\) 。

證明思想（可數次可加）：給每個 \(A_n\) 一個覆蓋 \(\{I_{n,k}\}_k\) 使 \(\sum_k \ell(I_{n,k}) \le m^*(A_n) + \varepsilon/2^n\) 。把所有區間合併成對 \(\bigcup_n A_n\) 的可數覆蓋，總和不超過 \(\sum_n m^*(A_n) + \varepsilon\) 。讓 \(\varepsilon \to 0\) 即得。這裡「 \(\varepsilon/2^n\) 」的技巧是 Lebesgue 論文的標誌性手法，之後會反覆出現。

關鍵對比：Jordan 外測度用有限覆蓋，只有次可加（有限次）；Lebesgue 用可數覆蓋，得到可數次可加。單看定義只是把「有限」換成「可數」，但後果是：可數集的測度變成 \(0\) 。

例題 4.2.1：證明 \(\mathbb{Q} \cap [0,1]\) 的 Lebesgue 外測度為 \(0\) 。

解：可數集 \(A = \{q_1, q_2, \dots\}\) 。給定 \(\varepsilon > 0\) ，用區間 \(I_n\) 覆蓋 \(q_n\) ，其中 \(\ell(I_n) = \varepsilon/2^{n+1}\) 。則

\[ m^*(A) \le \sum_{n=1}^\infty \frac{\varepsilon}{2^{n+1}} = \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon. \]

由 \(\varepsilon\) 任意， \(m^*(A) = 0\) 。注意在 Jordan 理論下這個集合的內外測度分別是 \(0\) 和 \(1\) ——可數稠密集是 Jordan 理論的死角，卻是 Lebesgue 理論的平凡情形。這正是革命的本錢：零測集可以從積分中被「忽略」。

可測性：Carathéodory 的切割條件#

外測度 \(m^*\) 只滿足次可加，不滿足可加性——除非限制在「好集合」上。1918 年 Carathéodory 找到最優雅的判準（Lebesgue 原始定義用內外測度相等，較繁瑣；Carathéodory 條件現在是標準）：

定義 4.2.2（可測集）： \(E \subseteq \mathbb{R}\) 稱為 Lebesgue 可測，若對任意 \(A \subseteq \mathbb{R}\) ，

\[ m^*(A) = m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^c). \]

直觀： \(E\) 把任何集合「乾淨地切開」，兩塊的測度恰好相加。這條件把「可加性失效」的責任精確地推給不可測的集合。

定理 4.2.3（可測集的結構）：可測集全體 \(\mathcal{M}\) 是一個 σ-代數：對補集、可數並、可數交封閉，且 \(m^*\) 限制在 \(\mathcal{M}\) 上是可數可加測度。

證明思想： - 補集封閉：切割條件對 \(E\) 與 \(E^c\) 完全對稱。 - 可數並封閉：先證有限並（歸納法 + 條件的遞迴代入），再對不交集序列 \(\{E_n\}\) 用

\[ m^*\left(\bigcup_{k=1}^{n} E_k \cap A\right) = \sum_{k=1}^{n} m^*(E_k \cap A) \]

取極限並用次可加夾逼，得可數可加。 - Borel 集可測：任何開集可寫成可數個不交開區間之並，逐項檢驗條件即得。

於是我們得到（ \(G_\delta\) 集、 \(F_\sigma\) 集都包含在內）：

\[ \text{Borel 集} \subsetneq \text{Lebesgue 可測集} \subsetneq \text{全體子集}. \]

第一個真包含：任何零測集的子集都可測（完備性），Cantor 集的某些非 Borel 子集即為例子。第二個真包含：見下節的 Vitali 集。

定理 4.2.4（正則性）：對任意可測集 \(E\) ：

\[ m(E) = \inf\{m(O) : E \subseteq O,\ O \text{ 開}\} = \sup\{m(K) : K \subseteq E,\ K \text{ 緊}\}. \]

證明思想（外正則）：用定義取總長不超過 \(m^*(E)+\varepsilon\) 的可數開覆蓋，其並為開集。內正則需用到 \(\mathbb{R}\) 的 \(\sigma\) -緊性（寫成 \(\bigcup [-n,n]\) ）。正則性是「測度與拓撲握手」的地方，也是 Radon 測度理論（第 9 章）的起點。

完備性、Cantor 集與不可測集#

例題 4.2.2：計算 Cantor 三分集 \(C\) 的測度，並證明存在測度為零的不可數集。

解：構造的第 \(n\) 步留下 \(2^n\) 個長度 \(3^{-n}\) 的閉區間，總長 \((2/3)^n \to 0\) 。 \(C\) 是這些閉集的交，故

\[ m(C) \le \lim_{n\to\infty} (2/3)^n = 0. \]

但 \(C\) 與 \([0,1]\) 等勢（三進位展開只用數字 \(0,2\) 的點），不可數。這回答了一個 1880 年代的謎題：不可數集可以「沒有長度」。在 Jordan 框架下 \(C\) 的外測度是 \(1\) ，內測度是 \(0\) ，根本無法賦值。

反方向，Vitali 在 1905 年證明不可測集存在：在 \([0,1]\) 上以「 \(x - y \in \mathbb{Q}\) 」分等價類，用選擇公理取代表元集 \(V\) 。 \(V\) 的有理平移（在適當範圍內）兩兩不交且覆蓋一個區間；若 \(V\) 可測，可數可加性會迫使 \(m(V)\) 同時等於 \(0\) 與正數，矛盾。結論：放棄「所有子集都可測」，或放棄平移不變 + 可數可加，二者必居其一。Lebesgue 選擇犧牲前者，換來一個在幾乎所有用途上都完美的理論。

高維與一般情形#

同樣的定義在 \(\mathbb{R}^n\) 上以方塊（或球）覆蓋進行，得到 \(n\) 維 Lebesgue 測度。Fubini 定理（第 8 章）將證明 \(n\) 維測度可由一維測度迭代重建，解決了「面積 = 長 × 寬」在一般集合上的嚴格意義。Carathéodory 的公理化觀點——「在 σ-代數上可數可加、取值於 \([0,\infty]\) 的函數」——則把測度從幾何直覺中解放出來，直接通往第 9 章的抽象測度與 Kolmogorov 的機率論。

與其他章節的關聯#

  • 承 4.1：Jordan 容量的失敗案例（Dirichlet 函數的示性函數）在 Lebesgue 測度下全部通過，因為邊界 \(\mathbb{Q}\cap[0,1]\) 是零測集。
  • 啟 4.3：測度定了，下一個問題是「哪些函數可以積分」——答案是「可測函數」。
  • 啟 5.1：Lebesgue 積分的定義直接建構在本節的可測集上，先測水平集再積分。
  • 機率論：Kolmogorov 1933 年把「機率」定義為「總測度為 \(1\) 的測度」，Lebesgue 測度在 \([0,1]\) 上就是均勻分佈。第 9 章將展開這條線。
  • 調和分析： \(L^p\) 空間（第 6 章）的完備性依賴於測度的可數可加性；沒有 Lebesgue 測度，就沒有 Riesz–Fischer 定理，也沒有現代傅立葉分析。

本節要點#

  1. Lebesgue 外測度 = 可數覆蓋的長度下確界；「有限 → 可數」是決定性的一步。
  2. Carathéodory 切割條件挑出可測集，其上 \(m^*\) 是可數可加測度。
  3. 可測集構成含全體 Borel 集的完備 σ-代數；測度具內外正則性。
  4. 零測集可以不可數（Cantor 集）；不可測集必然存在（Vitali）。
  5. 這個理論不是為了美，而是為了救積分論——下一章我們看它如何兌現承諾。