4.3 可測函數#

本章導言#

有了可測集（4.2），積分理論的下一塊拼圖是：哪些函數值得積分？ Riemann 積分對「連續性」有隱含依賴：一個函數 Riemann 可積，若且唯若它的不連續點集是零測集（這正是 Lebesgue 1902 年論文裡證明的判準）。但十九世紀末的極限運算——逐項極限、極限函數的積分——不斷產生連續性被破壞殆盡的函數。Lebesgue 的答案是把「好函數」的標準從拓撲性質（連續）換成測度性質（可測）：只要「函數在某高度以上的水平集」是可測集，函數就可積。這個看似寬鬆的條件，威力驚人：它對逐點極限封閉，於是極限運算終於「安全」了。

從 Baire 綱要到 Lebesgue 的問題#

1899 年，Baire 在博士論文中把函數分層：連續函數是第 0 類，逐點極限是第 1 類，依此類推，並用「綱要」（category）研究這些層次。Lebesgue 在 1905 年證明 Baire 分層是嚴格的。但 Baire 的層級是描述性的；Lebesgue 需要的是對積分有用的封閉類。

歷史的驅動鏈是這樣的：

graph LR
    A[Weierstrass 病態函數] --> B[Baire 分層 1899]
    B --> C[Lebesgue 可測函數 1902]
    C --> D[Lebesgue 積分 5.1]
    A --> E[Volterra: 極限破壞可積性]
    E --> C

Volterra 在 1881 年造出一個導函數有界但不 Riemann 可積的函數——極限與積分交換在 Riemann 框架內無藥可救。Lebesgue 的賭注：換一個更寬的函數類，積分與極限的交換就自動成立（第 5 章將兌現）。

可測函數的定義#

定義 4.3.1：設 \((X, \mathcal{M})\) 是可測空間， \(f: X \to [-\infty, +\infty]\) 。 \(f\) 稱為可測，若對每個實數 \(a\) ，水平集

\[ \{x \in X : f(x) > a\} \in \mathcal{M}. \]

在 \(X = \mathbb{R}\) 、 \(\mathcal{M}\) 為 Lebesgue 可測集時稱為 Lebesgue 可測函數。

這個定義用「 \(>a\) 」不是偶然——任何一種水平集條件（ \(\ge a\) 、 \(< a\) 、 \(\le a\) ）都彼此等價，因為可數並與補集可用：例如 \(\{f \ge a\} = \bigcap_n \{f > a - 1/n\}\) 。

定理 4.3.2（封閉性）：可測函數的全體對以下運算封閉：

代數運算： \(f+g\) 、 \(fg\) （在有限值處）；
數列運算： \(\sup_n f_n\) 、 \(\inf_n f_n\) 、 \(\limsup_n f_n\) 、 \(\liminf_n f_n\) ；
複合：若 \(g\) 連續且 \(f\) 可測，則 \(g \circ f\) 可測。

證明思想：全部化歸為水平集的集合運算。例如

\[ \left\{ \sup_n f_n > a \right\} = \bigcup_{n=1}^{\infty} \{f_n > a\}, \]

可數個可測集之並仍可測。極限的封閉性由此免費獲得——這是可測性與連續性的本質差別：連續函數的逐點極限可以處處不連續，但可測函數的逐點極限仍然可測。

定義 4.3.3（簡單函數）：取值於有限個實數的可測函數，即 \(f = \sum_{k=1}^{N} a_k \chi_{E_k}\) ，其中 \(E_k\) 可測、兩兩不交。

定理 4.3.4（簡單函數逼近）：非負可測函數 \(f\) 是一列單調遞增的簡單函數 \(s_n \uparrow f\) 的逐點極限；若 \(f\) 有界，收斂還是一致的。

證明思想：對 \(n\) 把值域切成 \(2^n\) 格：

\[ s_n(x) = \sum_{k=0}^{2^{2n}-1} \frac{k}{2^n}\, \chi_{\{k/2^n \le f < (k+1)/2^n\}} + n\,\chi_{\{f \ge n\}}. \]

每次加密網格， \(s_n(x)\) 遞增且趨於 \(f(x)\) 。這個構造是第 5 章 Lebesgue 積分定義的引擎：先對簡單函數定義積分，再用單調極限擴張。

幾乎處處：測度論的等價觀念#

定義 4.3.5：性質 \(P\) 稱為幾乎處處（a.e.）成立，若使 \(P\) 失效的點集是零測集。

定理 4.3.6：若 \(f = g\) a.e. 且 \(f\) 可測，則 \(g\) 可測（在完備測度空間上）。可測性是「忽略零測集」之後仍然保持的性質。

例題 4.3.1：證明 Dirichlet 函數 \(\chi_{\mathbb{Q}}(x)\) 在 \([0,1]\) 上可測，且與常函數 \(0\) 幾乎處處相等。

解： \(\mathbb{Q} \cap [0,1]\) 可數故可測且零測，因此

\[ \{ \chi_{\mathbb{Q}} > a \} = \begin{cases} [0,1], & a < 0 \\ \mathbb{Q}\cap[0,1], & 0 \le a < 1 \\ \emptyset, & a \ge 1 \end{cases} \]

皆可測。又 \(\{x : \chi_{\mathbb{Q}}(x) \ne 0\} = \mathbb{Q} \cap [0,1]\) 零測，故 \(\chi_{\mathbb{Q}} = 0\) a.e.。在 Riemann 世界裡這個函數處處不連續、完全不可積；在 Lebesgue 世界裡它就是 \(0\) ，積分為 \(0\) （第 5 章正式計算）。零測集上的行為從此不重要——這是本節最革命的心理轉變。

Littlewood 三原則與 Egorov 定理#

J. E. Littlewood（1885–1977，Hardy 的合作者）總結 Lebesgue 理論的精神為三句話：

每個可測集「幾乎是」有限個區間的並；
每個 a.e. 有限的可測函數「幾乎是」連續函數；
每個 a.e. 收斂的函數列「幾乎是」一致收斂。

第三條的嚴格形式：

定理 4.3.7（Egorov, 1911）：設 \(m(E) < \infty\) ， \(f_n \to f\) a.e. 於 \(E\) ， \(f_n\) 、 \(f\) a.e. 有限可測。則對任意 \(\varepsilon > 0\) ，存在可測子集 \(A \subseteq E\) ， \(m(E \setminus A) < \varepsilon\) ，使 \(f_n \to f\) 在 \(A\) 上一致。

證明思想：對每對 \((n, k)\) 定義「從第 \(n\) 項起全在 \(f\) 的 \(1/k\) 鄰域內」的集合 \(E_{n,k} = \bigcap_{m \ge n} \{ |f_m - f| < 1/k \}\) 。a.e. 收斂使 \(E_{n,k} \uparrow E \setminus N\) （ \(N\) 零測）；由測度的上連續性，對每個 \(k\) 可取 \(n_k\) 使 \(m(E \setminus E_{n_k,k}) < \varepsilon/2^k\) 。取 \(A = \bigcap_k E_{n_k,k}\) ，剔除總測度 \(\varepsilon\) 的爛攤子後，餘下部分一致收斂。

例題 4.3.2：在 \([0,1]\) 上令 \(f_n(x) = x^n\) ，則 \(f_n \to 0\) a.e.（除了 \(x=1\) ）。給出具體的 Egorov 集。

解：不收斂點只有 \(\{1\}\) ，零測。取 \(A_\varepsilon = [0, 1-\delta]\) ：對 \(x \le 1-\delta\) ， \(x^n \le (1-\delta)^n \to 0\) ，且收斂關於 \(x\) 一致。需 \(m([0,1] \setminus A_\varepsilon) = \delta < \varepsilon\) ，故取 \(\delta = \varepsilon/2\) 即可。注意：若允許 \(A = [0,1]\) 全集，一致收斂失敗（在 \(1\) 附近永遠有 \(x^n > 1/2\) ）——一致收斂必須「買」，代價是小測度集合。

Lusin 定理：可測函數幾乎連續#

定理 4.3.8（Lusin, 1912）：設 \(f\) 在 \(E\) （有限測度）上 a.e. 有限可測。則對任意 \(\varepsilon > 0\) ，存在緊集 \(K \subseteq E\) ， \(m(E \setminus K) < \varepsilon\) ，且 \(f|_K\) 連續。

證明思想：先用簡單函數逼近，再用正則性（4.2 定理 4.2.4）把簡單函數的水平集壓進緊集，在緊集上簡單函數自動連續，最後對逼近序列對角線取交集。Lusin 定理說明：可測函數不是比連續函數「更壞」，只是「在零測的爛攤子上壞」。這也反過來說明 Baire 第 1 類函數與可測函數的關係：每個可測函數在一個近全測度緊集上連續。

與其他章節的關聯#

承 4.2：可測函數的定義完全建立在可測集與 σ-代數之上；「幾乎處處」的概念依賴零測集理論。
啟 5.1–5.3：Lebesgue 積分只對可測函數定義；單調收斂定理需要「非負可測」這個精確前提；Lebesgue 的可積判準（不連續點零測）統一了 Riemann 與 Lebesgue 兩個世界。
機率論（第 9 章）：隨機變數就是「到可測空間的可測函數」；「幾乎處處」就是「幾乎必然」。本節的每個定理在機率論中都有直接對應：Egorov 對應幾乎必然收斂的強化，簡單函數逼近對應離散近似。
傅立葉分析（第 6、10 章）： \(L^p\) 空間的元素是「a.e. 相等的可測函數等價類」——沒有本節的等價觀念，範數甚至不會是良定的。

本節要點#

可測性 = 所有水平集 \(\{f > a\}\) 可測；這是「好函數」的測度論標準。
可測函數對極限運算封閉——逐點極限不再破壞可積性的候選資格。
簡單函數單調逼近是積分理論的技術核心。
Littlewood 三原則：可測集近區間、可測函數近連續、a.e. 收斂近一致（Egorov、Lusin）。
「幾乎處處相等」是測度論世界的相等關係，Lebesgue 積分與 \(L^p\) 空間都建在其上。