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5.1 Lebesgue的革命性想法1902#

本章導言#

Lebesgue 造好測度之後，面對的真正目標是積分。Riemann 積分（1854）的做法是切割定義域：把 \([a,b]\) 切成小區間，取函數在每段上的值乘以段長求和。這個「自上而下切 x 軸」的策略對病態函數徹底失效。Lebesgue 的想法可以用他自己的比喻說明：數一堆硬幣，不必一枚一枚數，先按面額分堆，每堆數一次乘以枚數。翻譯成數學：積分時切割值域而非定義域。本節講這個想法如何落地為嚴格定義，以及它在 1902 年博士論文中的歷史位置。

歷史：Riemann 積分的極限#

Riemann 積分 \(\int_a^b f\,dx\) 定義為 Darboux 上和與下和的共同極限。它有兩個致命傷：

  1. 對極限不封閉：一列 Riemann 可積函數的逐點極限可以不可積（如 \(\chi_{\mathbb{Q}}\) 是 \(\chi_{\{q_n\}}\) 的單調極限）。
  2. 沒有完備的收斂定理：逐項積分需要一致收斂這種過強的條件。

1902 年之前已有補救嘗試：Jordan 的容量理論、Borel 的可數測度、Peano 的內外面積、以及 Lebesgue 的對手 W. H. Young（1905 年提出類似但稍晚的積分）。Lebesgue 的論文一次解決：定義、收斂定理、與 Riemann 理論的關係、以及在高維的推廣，全部完成。

積分的定義：三層火箭#

第一步：非負簡單函數。 若 \(s = \sum_{k=1}^{N} a_k \chi_{E_k}\) （ \(a_k \ge 0\) ， \(E_k\) 可測不交），定義

\[ \int_E s\,dm = \sum_{k=1}^{N} a_k\, m(E_k). \]

這就是「按面額分堆」：值 \(a_k\) 乘上集合 \(E_k\) 的「長度」。

第二步：非負可測函數。 由 4.3 定理 4.3.4，取單調遞增的簡單函數 \(s_n \uparrow f\) ，定義

\[ \int_E f\,dm = \sup\left\{ \int_E s\,dm : 0 \le s \le f,\ s \text{ 簡單} \right\} \in [0, \infty]. \]

值允許為 \(+\infty\) ——這是與 Riemann 積分的第一個外觀差異，卻是技術上的關鍵自由。

第三步：一般函數。 令 \(f^+ = \max(f, 0)\) 、 \(f^- = \max(-f, 0)\) ，則 \(f = f^+ - f^-\) 。若 \(\int f^+\) 與 \(\int f^-\) **不同時為 \(\infty\) **，稱 \(f\) Lebesgue 可積，定義

\[ \int_E f\,dm = \int_E f^+\,dm - \int_E f^-\,dm. \]

例題 5.1.1：計算 \(\int_{[0,1]} \chi_{\mathbb{Q}}\,dm\) ，並解釋為何 Riemann 積分不存在。

解： \(\chi_{\mathbb{Q}} = 1 \cdot \chi_{\mathbb{Q}\cap[0,1]} + 0 \cdot \chi_{\text{其餘}}\) 是簡單函數，且 \(m(\mathbb{Q}\cap[0,1]) = 0\) （4.2 例題 4.2.1），故

\[ \int_{[0,1]} \chi_{\mathbb{Q}}\,dm = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0. \]

而 Riemann 上和恆為 \(1\) （任何區間內都有有理數）、下和恆為 \(0\) ，不可積。一個處處不連續的函數，積分乾淨地等於零——零測集被積分「看穿」了。

基本性質與 Chebyshev 不等式#

積分繼承線性（ \(\int (af+bg) = a\int f + b\int g\) ，對可積函數）、單調（ \(f \le g \Rightarrow \int f \le \int g\) ）、與絕對連續性（ \(m(E) \to 0 \Rightarrow \int_E |f| \to 0\) ）。最有用的初等工具是：

定理 5.1.2（Chebyshev / Markov 不等式）： \(f \ge 0\) 可測，則對任意 \(\lambda > 0\) ，

\[ \lambda\, m(\{f \ge \lambda\}) \le \int_{\{f \ge \lambda\}} f\,dm \le \int f\,dm. \]

證明： \(\lambda \chi_{\{f \ge \lambda\}} \le f\) ，兩邊積分用單調性即得。 \(\blacksquare\)

推論：若 \(f \ge 0\) 且 \(\int f = 0\) ，則 \(f = 0\) a.e.。這把「積分為零」與「幾乎處處為零」畫上等號，是第 6 章 \(L^p\) 範數良定性的基礎。

Fatou 引理：收斂定理的第一顆螺絲#

定理 5.1.3（Fatou, 1906）：非負可測函數列 \(\{f_n\}\) ，則

\[ \int \liminf_n f_n \le \liminf_n \int f_n. \]

證明思想：令 \(g_k = \inf_{n \ge k} f_n\) ，則 \(g_k \uparrow \liminf f_n\) ，且對每個 \(k\) 、每個 \(n \ge k\) ， \(g_k \le f_n\) ，故 \(\int g_k \le \inf_{n\ge k} \int f_n\) 。對左邊用單調收斂（下一節證明）、右邊取極限即得。 \(\blacksquare\)

注意不等號可能嚴格： \(f_n = \chi_{[n, n+1]}\) 逐點趨於 \(0\) 但積分恆為 \(1\) 。Fatou 引理是「不假設任何收斂條件時能得到的最好結果」，也是下一節兩大定理的證明原料。

一個例題：從下和的視角看 Lebesgue 和#

例題 5.1.2：用「切割值域」的方法計算 \(\int_0^1 x\,dm\) ，並與 Riemann 的做法對照。

解：把值域 \([0,1]\) 切成 \(N\) 等分， \(E_k = \{ x : k/N \le x < (k+1)/N \} = [k/N, (k+1)/N)\) 。下和取每堆的最小值 \(k/N\) ：

\[ \sum_{k=0}^{N-1} \frac{k}{N}\, m(E_k) = \sum_{k=0}^{N-1} \frac{k}{N} \cdot \frac{1}{N} = \frac{N-1}{2N} \longrightarrow \frac{1}{2}. \]

上和用 \((k+1)/N\) ，同樣趨於 \(1/2\) 。本例中兩法答案相同——函數太乖了。差別出現在振盪函數上：Riemann 需要定義域的細分割同時「鎮住」所有振盪；Lebesgue 把振盪的責任交給值域，振盪區只在「值大的那幾堆」出現，而那幾堆的測度可以極小。

1902 年論文的接受史#

Lebesgue 積分起初遭遇強烈阻力。Hermite 厭惡「長著裂齒的病態函數」；Poincaré 挖苦為「對毫無用處的東西的過度精緻」。Lebesgue 本人在回憶中寫道，他花了多年時間向懷疑者解釋。轉折點是實用性的證明：

  • 1907：Riesz–Fischer 定理證明 \(L^2\) 完備（第 6 章），傅立葉級數理論獲得堅實地基；
  • 1909–1913：Lebesgue 積分成為處理奇異積分、微分方程的標準工具；
  • 1933：Kolmogorov 用它奠定機率論（第 9 章）。

與其他章節的關聯#

  • 承 4.2、4.3：積分的定義逐字使用了可測集的測度與簡單函數逼近；沒有可數可加性，「按面額分堆」會導出矛盾。
  • 啟 5.2：單調收斂與控制收斂定理是本節定義的即時報酬，也是整個理論存在的理由。
  • 啟 5.3：與 Riemann 積分的精確比較（含 Lebesgue 的可積判準）。
  • 微分方程與調和分析：Volterra 型的反例、奇異積分理論、Plancherel 定理都以 Lebesgue 積分為語言。

本節要點#

  1. Lebesgue 積分 = 切值域：簡單函數 → 非負函數（sup）→ 一般函數（正負部相減）。
  2. 積分值允許 \(\infty\) ；可積要求正負部不同時發散。
  3. Chebyshev 不等式連接積分與測度；積分為零 ⟺ 幾乎處處為零。
  4. Fatou 引理是收斂定理的底線： \(\liminf\) 只能放大積分。
  5. 處處不連續函數可以積分良好——零測集在積分中不可見。