跳轉到

5.2 單調收斂與控制收斂定理#

本章導言#

Lebesgue 積分的定義（5.1）本身還只是定義；它真正的價值在收斂定理：什麼時候 \(\int \lim f_n = \lim \int f_n\) ？在 Riemann 世界裡，答案是「一致收斂」——過強，連 \(f_n(x) = x^n\) 這種溫和例子都要在端點出問題。1902 年的博士論文中，Lebesgue 證明了以他命名的控制收斂定理（1902 年論文中的形式較受限，今日通行形式歸功於他 1908–1910 年的修訂與 Valée Poussin 的貢獻）；單調收斂定理的現代形式則在隨後幾年由 Lebesgue 與 Fatou 整理定型。這兩個定理是整個測度論投資的利息：從此極限與積分幾乎永遠可以交換。

為什麼極限交換會失敗#

先看失敗模式，才知道定理在防什麼。

失敗一（質量逃逸）： \(f_n = \chi_{[n, n+1]}\) 於 \(\mathbb{R}\) 。逐點 \(f_n \to 0\) ，但 \(\int f_n = 1\) 恆定。質量跑到無窮遠去了。

失敗二（集中尖峰）： \(f_n(x) = n\,\chi_{[0,1/n]}\) 。逐點 \(f_n \to 0\) ，但 \(\int f_n = 1\) 。質量集中到一個收縮的尖峰。

兩種失敗的共同點：**沒有任何一個可積函數能同時壓住所有的 \(f_n\) **。這就是控制收斂定理假設的精確動機。

單調收斂定理#

定理 5.2.1（Monotone Convergence Theorem, MCT）： \(\{f_n\}\) 非負可測， \(f_n \uparrow f\) （逐點，允許 \(f\) 取值 \(\infty\) ）。則

\[ \int f = \lim_{n\to\infty} \int f_n. \]

證明：由單調性 \(\int f_n \le \int f\) ，故 \(\lim \int f_n \le \int f\) 。反方向，任取簡單函數 \(s \le f\) 、 \(0 < \theta < 1\) ，考慮

\[ E_n = \left\{ x : \theta s(x) \le f_n(x) \right\}. \]

因 \(f_n \uparrow f\) ， \(E_n \uparrow X\) ；且 \(\int \theta s \cdot \chi_{E_n} \le \int f_n\) 。由測度的下連續性（ \(\chi_{E_n} \uparrow \chi_X\) ，用 4.2 的可數可加性直接推出 \(m(E_n) \uparrow m(X)\) 的加權版本）， \(\int \theta s \cdot \chi_{E_n} \to \int \theta s\) 。於是

\[ \theta \int s \le \lim \int f_n. \]

令 \(\theta \uparrow 1\) 再對 \(s \le f\) 取 sup，得 \(\int f \le \lim \int f_n\) 。夾逼即證。 \(\blacksquare\)

證明的兩個技術支點——簡單函數逼近（4.3）與測度的下連續性（4.2 的可數可加性）——全部來自前面兩章。MCT 是測度可數可加性的積分化身。

例題 5.2.1：證明 \(\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^1 \frac{a_n(x)}{n^2}\,dx\) 型的逐項積分，或更具體地：計算 \(\int_0^1 \left( \sum_{n=1}^\infty x^{n} (1-x) \right) dx\) 。

解：每項非負，部分和單調遞增，MCT 允許逐項積分：

\[ \int_0^1 \sum_{n=1}^{\infty} x^n (1-x)\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_0^1 x^n(1-x)\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) = \frac{1}{2}. \]

在 Riemann 框架下需要先證級數一致收斂（事實上不收斂得夠好：在 \(x=1\) 處每項皆 \(0\) 但附近和接近 \(1\) ，逐項驗證一致收斂會卡在端點）；MCT 讓我們直接交換，不驗證任何收斂品質。注意在 \(x=1\) 處逐項和為 \(0\) 但左式被積函數的 a.e. 值為 \(\frac{1}{1-x}\cdot(1-x) = 1\) 的極限行為——逐點上 \(\sum x^n(1-x) = x\) 當 \(0\le x<1\) ，故積分 \(\int_0^1 x\,dx = 1/2\) ，吻合。

控制收斂定理#

定理 5.2.2（Dominated Convergence Theorem, DCT）： \(\{f_n\}\) 可測， \(f_n \to f\) a.e.。若存在可積函數 \(g\) 使 \(|f_n| \le g\) a.e. 對所有 \(n\) ，則 \(f\) 可積且

\[ \int f = \lim_{n\to\infty} \int f_n, \qquad \text{甚至} \quad \int |f_n - f| \to 0. \]

證明思想：對 \(\{f_n + g\}\) （非負，趨於 \(f+g\) ）與 \(\{g - f_n\}\) （非負，趨於 \(g-f\) ）各用一次 Fatou 引理：

\[ \int f + g \le \liminf \int (f_n + g) = \int g + \liminf \int f_n, \]
\[ \int g - f \le \liminf \int (g - f_n) = \int g - \limsup \int f_n. \]

兩式整理得 \(\limsup \int f_n \le \int f \le \liminf \int f_n\) ，故極限存在且等於 \(\int f\) 。把 DCT 用在 \(f_n - f\) 上（控制仍為 \(2g\) ）得 \(L^1\) 收斂。 \(\blacksquare\)

注意結構：DCT 由 Fatou 引理推出，Fatou 由 MCT 推出，MCT 由測度可數可加性推出。整條推理鏈乾淨得沒有一處需要一致收斂。

例題 5.2.2：證明 \(\displaystyle \lim_{t \to 0} \int_{\mathbb{R}} \frac{\sin(tx)}{x(1+x^2)}\,dx = 0\) （參數極限的交換）。

解：令 \(f_t(x) = \frac{\sin(tx)}{x(1+x^2)}\) ，當 \(t \to 0\) ， \(f_t(x) \to 0\) 對每個 \(x\) 。控制函數： \(|\sin(tx)| \le |tx|\) ，故

\[ |f_t(x)| \le \frac{|t x|}{|x|(1+x^2)} = \frac{|t|}{1+x^2} \le \frac{1}{1+x^2} \quad (|t| \le 1), \]

而 \(g(x) = \frac{1}{1+x^2}\) 可積（ \(\int_{\mathbb{R}} g = \pi\) ）。由 DCT，極限與積分交換，原式 \(= \int_{\mathbb{R}} 0\,dx = 0\) 。用 Riemann 理論做這題需要處理 \(\frac{1}{x}\) 在 \(0\) 的假奇異點與無窮區間上的一致收斂，繁瑣得多；DCT 一行收工。

定理的使用守則#

實務檢查清單：

  1. 函數非負又單調遞增？→ MCT，最省事。
  2. 有明顯的控制函數？→ 找 \(g \in L^1\) ，用 DCT。常見控制： \(|f_n| \le \frac{C}{1+x^2}\) 、 \(Ce^{-x}\) 、或用 \(|f_n| \le |h|\) 的任何一致界。
  3. 只有非負？→ Fatou 給單向不等式，別承諾等式。
  4. 控制函數不可積？→ 考慮截斷 + 誤差估計（「在 \(\{|f_n|\le M\}\) 上用 DCT，補集上用 Chebyshev」），這是實變課程的標準習題套路。

例題 5.2.3（反例）：說明 DCT 中的控制條件不可省略： \(f_n = n \chi_{(0, 1/n)}\) 在 \((0,1)\) 上逐點趨於 \(0\) ， \(\int f_n = 1 \ne 0 = \int 0\) 。

解：任何候選控制 \(g\) 須滿足 \(g \ge n\) 於 \((0, 1/n)\) 對所有 \(n\) 。於 \(\lim_n\) 意義下 \(g\) 在 \(0\) 附近必須無界到「任意深的次序」：實際上對每個 \(n\) ， \(\int_0^{1/n} g \ge n \cdot \frac{1}{n} = 1\) ，這與 \(g \in L^1\) 的絕對連續性（ \(m(E) \to 0 \Rightarrow \int_E g \to 0\) ）矛盾。故不存在可積控制，DCT 不適用——而計算確實顯示交換失敗。控制條件不是技術冗餘，是交換失敗的精確刻畫。

歷史與人物#

年代 人物 貢獻
1902 Lebesgue 博士論文，積分定義與初步收斂定理
1906 Fatou Fatou 引理（在複雜的冪級數研究中）
1907 Riesz, Fischer \(L^2\) 完備性，使收斂定理有了完備空間
1910 Riesz \(L^p\) 理論系統化
1913 Carathéodory 變分法中的測度論工具

Fatou（1878–1929）在海軍天文台工作，研究 Jupiter–Saturn 攝動時接觸冪級數邊界行為，Fatou 引理原本是他分析 Taylor 級數的工具。這提醒我們：收斂定理不是為了理論美，而是被具體計算（級數、參數積分、級數展開）逼出來的。

與其他章節的關聯#

  • 承 5.1：MCT 的證明直接用了簡單函數的 sup 定義；Fatou 引理在 5.1 已先行登場。
  • 啟 6.1–6.2：DCT 的 \(L^1\) 版結論（ \(\int |f_n - f| \to 0\) ）正是 \(L^p\) 空間收斂語言的起點；Riesz–Fischer 完備性證明以本節定理為核心引擎。
  • 機率論（第 9 章）：MCT = 單調收斂對期望值；DCT = 控制收斂對期望值（機率論稱 dominated convergence for expectations）。大數定律的某些證明（如截斷法）靠的就是這兩個定理。
  • 傅立葉分析（第 10 章）：Fourier 係數的極限、Plancherel 定理的推導都依賴 DCT。

本節要點#

  1. 極限與積分交換的兩種失敗：質量逃逸、集中尖峰；控制函數正是對兩者的同時防護。
  2. MCT：非負遞增列，積分極限永遠可交換，證明核心是可數可加性。
  3. DCT：a.e. 收斂 + 可積控制 ⟹ 積分與 \(L^1\) 收斂同時成立；由 Fatou 引理推出。
  4. 控制條件不可省略： \(n\chi_{(0,1/n)}\) 是標準反例。
  5. 逐項積分、參數微分、級數求和從此有了統一的許可證。