5.3 Riemann與Lebesgue積分的比較#

本章導言#

兩種積分並存的時代，必須回答三個問題：誰涵蓋誰？誰更好用？舊理論還有價值嗎？ 本節給出精確答案。核心是 Lebesgue 在 1902 年論文中證明的判準：一個有界函數在 \([a,b]\) 上 Riemann 可積，若且唯若它的不連續點集是零測集。這個定理不僅劃定兩個理論的邊界，更把「Riemann 可積性」從幾何直覺變成測度論命題——舊理論在新框架下獲得了解釋。

Lebesgue 的可積判準#

定理 5.3.1（Lebesgue 判準, 1902）：設 \(f\) 在 \([a,b]\) 有界。則 \(f\) Riemann 可積 \(\iff\) \(f\) 的不連續點集 \(D(f)\) 是（Lebesgue）零測集。

證明思想：對 \(\varepsilon > 0\) 與 \(\delta > 0\) ，定義「振盪超過 \(\delta\) 的點集」 \(D_\delta\) 。Riemann 上和與下和之差恰為

其中 \(\omega_j\) 是第 \(j\) 段的振盪。若 Riemann 可積， \(U - L\) 可任意小，故 \(D_\delta\) 可被總長任意小的開集覆蓋，即 \(m^*(D_\delta) = 0\) ；而 \(D(f) = \bigcup_{k} D_{1/k}\) 是可數個零測集之並，零測。反方向，把分割取細，使振盪大的段總長 \(< \varepsilon\) ，振盪小的段上和下和接近，即得可積。 \(\blacksquare\)

這個定理的歷史意義：Duhamel（1853）與 Riemann（1854）時代已有人猜測可積性與不連續點的「稀疏性」有關，但「稀疏」需要測度概念才能說清。Lebesgue 判準是測度論第一次反哺舊理論——不是取代，而是解釋。

兩個理論的系統比較#

最後一行最重要：Lebesgue 積分沒有改變任何計算。連續函數的積分兩種理論給同一個值，微積分基本定理照用。改變的是理論可以安全操作的範圍。

一致收斂枷鎖的解除#

例題 5.3.1：考慮 \(f_n(x) = \sum_{k=1}^{n} \frac{\chi_{[k-1/2, k+1/2]}(x)}{k^2}\) 型，或更經典的：證明在 \([0,1]\) 上 \(f_n(x) = x^n\) 的極限交換在 Riemann 框架需額外論證，而 Lebesgue 框架直接通過。

解： \(f_n \to f\) ，其中 \(f(x) = 0\) （ \(0 \le x < 1\) ）、 \(f(1) = 1\) 。收斂不是一致的（在 \(1\) 附近 \(x^n\) 可超過 \(1/2\) ），故 Weierstrass 的逐項積分定理不適用。Riemann 框架的補救：手工驗證 \(\int_0^1 x^n dx = \frac{1}{n+1} \to 0 = \int_0^1 f\,dx\) （右端點差一點不影響 Riemann 積分，因為單點零測——用 Lebesgue 語言說的）。Lebesgue 框架： \(f_n\) 可測、 \(0 \le f_n \le 1\) （ \(g \equiv 1\) 在 \([0,1]\) 可積，作為控制），由 DCT 直接得

每個 Riemann 框架下的「例外的手工處理」，在 Lebesgue 框架下都變成 DCT 的例行公事。這不是單一例子的小勝，而是模式：十九世紀分析論文中大量「易驗證但繁瑣」的一致收斂檢查，在二十世紀變成了「由 DCT 立得」。

完備化觀點：Lebesgue 是 Riemann 的完備化#

現代視角給了兩者關係最漂亮的說法。考慮階梯函數（有限個區間上的常值函數）在 \(L^1\) 範數 \(\|f\|_1 = \int |f|\) 下的等價類空間 \(\mathcal{R}\) 。

定理 5.3.2： \(\mathcal{R}\) 的 Cauchy 完備化恰好是 \(L^1(\mathbb{R})\) 。

也就是說：Lebesgue 積分之於 Riemann 積分，正如 \(\mathbb{R}\) 之於 \(\mathbb{Q}\) 。這與 1.2 節（Cauchy 序列與完備化）的精神完全平行——遇到極限運算不完備的空間，就完備化它。Riemann 積分在「逐點極限」操作下不完備（ \(\chi_{\mathbb{Q}}\) 型反例），Lebesgue 恰是把它完備化後得到的對象。這也解釋了為何計算規則不變：完備化不動舊元素，只補新元素。

graph LR
    A[階梯函數/多項式] -->|Riemann 積分| B[不完備的空間]
    B -->|完備化: 加入 Lebesgue 可積極限| C[L1 空間, 完備]
    C --> D[Riesz-Fischer 1907]
    C --> E[泛函分析: Banach/Hilbert]

微積分基本定理的分水嶺#

Riemann 積分下，Newton–Leibniz 公式 \(\int_a^b F' = F(b) - F(a)\) 需要假設 \(F'\) 連續（或至少 Riemann 可積）。Volterra 的反例（1881）：存在可微函數 \(F\) ， \(F'\) 有界，但 \(F'\) 不 Riemann 可積——微積分基本定理在 Riemann 框架有系統性的漏洞。Lebesgue 框架的答案在第 7 章：Newton–Leibniz 公式對絕對連續函數精確成立，而「 \(F\) 是某可積函數的不定積分 \(\iff\) \(F\) 絕對連續」。這是兩個理論在微分學側面的分水嶺，也是第 7 章的主題。

例題 5.3.2：Cantor 函數 \(F\) （在 Cantor 集上定義三進位到二進位的映射，區間上線性插值）連續、遞增、 \(F' = 0\) a.e.。計算 \(\int_0^1 F'\,dm\) 並解釋其意義。

解： \(F' = 0\) a.e.，故 \(\int_0^1 F'\,dm = 0\) ，但 \(F(1) - F(0) = 1 \ne 0\) 。Newton–Leibniz 公式失敗——即使 \(F'\) Lebesgue 可積。原因： \(F\) 連續遞增但不絕對連續（它把零測集 \(C\) 映到整個 \([0,1]\) ，違反絕對連續性）。這個例子劃出正確的界線：Lebesgue 積分修好了可積性問題，但微分學側的完美需要「絕對連續」這個新概念——第 7 章的出發點。同時注意 \(\int_0^1 \chi_{\mathbb{Q}} = 0\) 中 Riemann 積分連函數都裝不下，而這裡函數可積、公式仍敗：兩種失敗的層次不同。

更多的交換對照例#

例題 5.3.3：考慮 \(f_n(x) = n\,\chi_{(0, 1/n)}\) 於 \((0,1)\) （5.2 的反例）。說明為何它是「Riemann 逐項積分也失敗、Lebesgue DCT 也擋不住」的極限型反例，並指出哪個定理仍然可用。

解： \(f_n \to 0\) 逐點， \(\int f_n = 1 \ne 0\) 。Riemann 框架：每個 \(f_n\) 是階梯函數，可積，但逐項極限需一致收斂（不滿足）。Lebesgue 框架： \(|f_n| \le g\) 的可積控制不存在（5.2 例題 5.2.3），DCT 不適用。但 Fatou 引理仍然可用： \(\int \liminf f_n = 0 \le \liminf \int f_n = 1\) ，不等號嚴格，恰是 Fatou 預測的「質量損失」型失敗。教訓：當交換失敗時，用 Fatou 檢驗「失敗的方向」是否與理論一致——這是診斷反例的標準手法。

例題 5.3.4：證明 Riemann 可積函數（有界）必 Lebesgue 可積，且積分值相等。

解：Riemann 可積 ⟹ 不連續點集零測（Lebesgue 判準）⟹ \(f\) 可測（不連續點集可測，連續點集 = 可數個開集之並與閉集之交的補）；有界 ⟹ \(|f| \le M\) 於有限測度區間 ⟹ \(\int |f| \le M(b-a) < \infty\) ，故 \(f \in L^1\) 。積分值相等：對 Riemann 達布和的分割，Lebesgue 積分介於下和與上和之間（單調性），令分割加細即得相等。 \(\blacksquare\)

一個整合例題：兩個世界的同一道題#

例題 5.3.5：證明 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_0^1 \frac{nx}{1 + n^2x^2}\,dx = 0\) ，並比較三種證明路線的成本。

解：被積函數 \(f_n(x) = \frac{nx}{1+n^2x^2}\) 滿足 \(f_n(x) \to 0\) 逐點（ \(x > 0\) ； \(x = 0\) 處恆為 \(0\) ）。但 \(\int_0^1 f_n = \frac{1}{2n}\ln(1+n^2) \to 0\) （顯式積分）。逐點極限的積分與積分的極限都為 \(0\) ，交換成立。

• Riemann 路線：顯式計算（如上），無需理論——但對更複雜的 \(f_n\) 顯式積分往往不存在。
• DCT 路線： \(|f_n(x)| \le \frac{nx}{2nx} = \frac12\) （AM–GM： \(1 + n^2x^2 \ge 2nx\) ）——控制函數 \(g \equiv 1/2\) 在 \([0,1]\) 可積，DCT 一行結束。
• 啟示：常數控制常常就藏在 AM–GM 型不等式裡；「找控制」的訓練是把 DCT 變成條件反射的關鍵。

計算層面的橋樑：數值積分為何不用改#

嚴格理論升級後，實際計算完全不受影響，這一點值得正式說明：

定理 5.3.3：若 \(f\) 在 \([a,b]\) 連續，則 Riemann 積分存在，且 Lebesgue 積分 \(\int_{[a,b]} f\,dm\) 與 Riemann 積分相等；Newton–Leibniz 公式在兩個框架中同樣成立。

證明思想：連續函數的不連續點集為空（零測），由 Lebesgue 判準 Riemann 可積；積分值相等由達布和與簡單函數逼近的比較（兩者都夾在相同的下界與上界之間）。 \(\blacksquare\)

這就是為什麼 Simpson 法則、Gauss 求積、以及所有工程數值方法在 1902 年之後一行都不用改。Lebesgue 的革命是「許可證制度」的革命——允許理論處理更廣的函數類、更自由的極限交換——而不是計算方法的革命。教學上也因此可以理直氣壯：初等微積分教「怎麼算」，實變函數教「為什麼永遠合法」。

舊理論的遺產#

Riemann 積分沒有被丟棄，它有三個持續的生命：

1. 計算工具：所有實際計算仍在 Riemann/Newton 框架下進行；Lebesgue 積分是理論護照，不是計算方法。
2. Stieltjes 推廣：Riemann–Stieltjes 積分（第 7.3 節）在離散測度與分佈理論中不可或缺。
3. 教育價值：「切割定義域」的幾何直覺仍是入門的第一課，Lebesgue 的「切割值域」需要測度論打底才能講清楚。

與其他章節的關聯#

• 承 5.1、5.2：本節的判準用到了可測性與零測集理論；DCT 在例題中反覆登場。
• 啟第 6 章：完備化觀點直接引出 \(L^p\) 空間；Riemann 可積函數在 \(L^1\) 範數下的等價類稠密於 \(L^1\) ，是許多證明「先對連續/階梯函數做、再逼近」策略的根據。
• 啟第 7 章：Cantor 函數與絕對連續性——積分理論完善後，微分理論的修補工程才開始。
• 泛函分析： \(\mathcal{R}\) 的完備化是 Banach 空間完備化（1.2 的方法論）在函數空間上的第一次重大勝利。

本節要點#

1. Lebesgue 判準：Riemann 可積 \(\iff\) 不連續點集零測——舊理論被新框架解釋而非拋棄。
2. Lebesgue 嚴格涵蓋 Riemann（有界情形），且對極限運算封閉。
3. 完備化觀點： \(L^1\) 是 Riemann 積分世界在 \(L^1\) 範數下的 Cauchy 完備化，平行於 \(\mathbb{R}\) 之於 \(\mathbb{Q}\) 。
4. Cantor 函數顯示積分的完善不等於微積分基本定理成立——需要絕對連續性。
5. 計算不變、理論升級：Lebesgue 積分的革命是範圍的革命，不是算法的革命。