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6.1 Lp範數與HölderMinkowski不等式#

本章導言#

有了 Lebesgue 積分（第 5 章），可以問一個自然的問題：把「函數的大小」量出來。十九世紀已經有零星嘗試——Chebyshev（1882）在機率論中用均方誤差衡量近似，Hölder 與 Minkowski 在數論與幾何中研究類似的不等式——但只有在 Lebesgue 積分的框架下，「 \(\int |f|^p\) 有限」才能成為一個穩定的空間概念。1900 年前後，Fredholm 的積分方程理論與 Hilbert 學派的二次型研究，都迫切需要一個「函數的長度」。本節定義 \(L^p\) 範數，證明三個支撐性不等式（Hölder、Minkowski、Young），為下一節的完備性鋪路。

歷史驅動：積分方程的壓力#

1900 年前後，積分方程成為數學的核心問題：

  • Fredholm（1900–1903）：研究 \(\varphi(x) - \lambda \int K(x,y)\varphi(y)\,dy = f(x)\) ；
  • Hilbert（1904–1910）：以二次型與譜理論重攻同類問題；
  • Riesz（1910）：發表《Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen》，系統建立 \(L^p\) 理論，Hölder 不等式與對偶性首次以現代形式出現。

Fredholm–Hilbert 的方法只覆蓋平方可積（ \(p=2\) ）情形；Riesz 的問題是：積分方程在一般的 \(p\) 下會怎樣？ 答案需要一般 \(p\) 的三角不等式，而這正是 Minkowski 早年（學生時代為 Geometrie der Zahlen 所做）工作在函數空間的翻版。Minkowski 於 1909 年去世，其《幾何數論》於 1910 年出版；他的凸體思想在 \(L^p\) 的單位球上獲得無限維的迴響。

Lp 空間的定義#

定義 6.1.1：設 \(1 \le p < \infty\) 。定義

\[ \|f\|_p = \left( \int |f|^p\,dm \right)^{1/p}, \qquad L^p = \{ f \text{ 可測} : \|f\|_p < \infty \}, \]

其中把 a.e. 相等的函數視為同一元素。 \(L^\infty\) 則取本質上確界 \(\|f\|_\infty = \inf\{M : |f| \le M \text{ a.e.}\}\) 。

兩個約定的必要性： - a.e. 等價類：若 \(f = g\) a.e. 則 \(\|f\|_p = \|g\|_p\) ，故只有等價類上的范數才良定（依賴 4.3 的等價觀念與 5.1 的「積分為零 ⟺ a.e. 為零」）。 - ** \(p \ge 1\) **： \(\|\cdot\|_p\) 在 \(p < 1\) 時不滿足三角不等式（ \(L^{1/2}\) 中 \(\|1\| + \|1\| \ne \|1+1\|\) 的計算可證），故 \(p \ge 1\) 是「範數」的資格線。

Young 不等式：一切的起點#

定理 6.1.2（Young 不等式）： \(1 < p < \infty\) ，記 \(q\) 為共軛指數（ \(\frac1p + \frac1q = 1\) ）。則對 \(a, b \ge 0\) ：

\[ ab \le \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}. \]

證明： \(\log\) 是凸函數，故 \(\log\left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right) \ge \frac1p \log a^p + \frac1q \log b^q = \log(ab)\) ；或幾何地： \(ab\) 是曲線 \(y = x^{p-1}\) 下的矩形面積，被兩塊積分面積 \(\frac{a^p}{p}\) （橫向積）與 \(\frac{b^q}{q}\) （縱向積）覆蓋。 \(\blacksquare\)

例題 6.1.1：取 \(p = q = 2\) ，證明對任意 \(a, b\) ： \(ab \le \frac{a^2+b^2}{2}\) ，並解釋這就是 \(L^2\) 中 Cauchy–Schwarz 的「逐點版本」。

解： \((a-b)^2 \ge 0\) 展開即得 \(2ab \le a^2 + b^2\) 。這正是「平方平均大於等於算術平均」的二變數情形。把逐點乘積 \(|f g|\) 對整個空間積分、用積分的凸性與縮放技巧，就會爬升到 Hölder 不等式——數值不等式與函數不等式之間隔著的只是「積分化」與「縮放歸一化」兩步。

Hölder 不等式#

定理 6.1.3（Hölder 不等式, Riesz 1910 的函數形式）： \(f \in L^p\) 、 \(g \in L^q\) （ \(\frac1p + \frac1q = 1\) ），則 \(fg \in L^1\) 且

\[ \int |fg|\,dm \le \|f\|_p\, \|g\|_q. \]

證明思想：先做縮放歸一化——不妨設 \(\|f\|_p = \|g\|_q = 1\) （否則以 \(f/\|f\|_p\) 、 \(g/\|g\|_q\) 替換，兩邊同比例縮放）。對每個 \(x\) 用 Young 不等式：

\[ |f(x)g(x)| \le \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g(x)|^q}{q}. \]

兩邊積分：右邊 \(= \frac{\|f\|_p^p}{p} + \frac{\|g\|_q^q}{q} = \frac1p + \frac1q = 1\) 。 \(\blacksquare\)

\(p = 2\) 時退化為 Cauchy–Schwarz–Buniakowski 的積分版本（Buniakowski 1859 已對 Riemann 積分證明）， \(p=1\) 時為 \(|fg| \le \|f\|_1 \|g\|_\infty\) 的平凡情形。Hölder 1889 年的原版是有限和的不等式；Riesz 的貢獻是認出它是對偶性的表達： \(L^q\) 的元素是 \(L^p\) 上的連續線性泛函（ \(p = 1\) 之外的完全刻畫由 Riesz 表示定理完成）。

Minkowski 不等式#

定理 6.1.4（Minkowski 不等式）： \(f, g \in L^p\) （ \(1 \le p < \infty\) ），則 \(f + g \in L^p\) 且

\[ \|f + g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p. \]

證明思想： \(p = 1\) 是積分的次可加性。 \(p > 1\) 時寫

\[ |f+g|^p \le (|f| + |g|)^p = (|f|+|g|)^{p-1}|f| + (|f|+|g|)^{p-1}|g|, \]

對右邊兩項分別用 Hölder（注意 \(\frac{1}{p/(p-1)} + \frac1p = 1\) ，共軛指數是 \(p\) 與 \(q = p/(p-1)\) ）：

\[ \int (|f|+|g|)^{p-1}|f| \le \|(|f|+|g|)^{p-1}\|_q \,\|f\|_p = \|f+g\|_p^{p/q}\, \|f\|_p. \]

兩項相加，兩邊同除 \(\|f+g\|_p^{p/q}\) ，用 \(p - p/q = 1\) 收尾。 \(\blacksquare\)

Minkowski 不等式正是 \(L^p\) 是「賦范空間」的最後一塊拼圖。定理的邏輯依賴順序值得注意：Young → Hölder → Minkowski → 三角不等式 → 下一節的完備性。沒有 Lebesgue 積分的線性與單調性，整條鏈都接不起來。

例題：計算與估計#

例題 6.1.2：在 \([0,1]\) 上比較 \(\|f\|_1\) 、 \(\|f\|_2\) 、 \(\|f\|_\infty\) 對 \(f(x) = x^{-1/2}\) 的值，並判斷 \(f\) 屬於哪些 \(L^p\) 。

解： \(\int_0^1 x^{-1/2} dx = 2\) ，故 \(f \in L^1\) ， \(\|f\|_1 = 2\) 。

\[ \|f\|_2^2 = \int_0^1 x^{-1} dx = \infty \implies f \notin L^2. \]

\(\|f\|_\infty = \infty\) 。結論： \(f \in L^1\) 但 \(f \notin L^2\) ， \(f \notin L^\infty\) 。注意反過來在有限測度空間上 \(L^2 \subset L^1\) （用 Hölder： \(\|f\|_1 = \int |f| \cdot 1 \le \|f\|_2 \sqrt{m([0,1])}\) ）。測度有限時高冪空間更小；測度無限時關係反轉——在 \(\mathbb{R}\) 上 \(f \in L^1\) 不蘊含 \(f \in L^2\) （尖峰函數 \(n\chi_{[0,1/n^3]}\) 是反例： \(\|f\|_1 \to 0\) 而 \(\|f\|_2 \to \infty\) ）。

例題 6.1.3：用 Hölder 不等式估計 \(\left| \int_0^1 f(x)\,dx \right|\) 上界（ \(f \in L^2\) ）。

解： \(\left|\int_0^1 f \cdot 1\,dx\right| \le \|f\|_2 \cdot \|1\|_2 = \|f\|_2 \cdot 1 = \|f\|_2\) 。這說明「積分泛函」 \(f \mapsto \int_0^1 f\) 是 \(L^2[0,1]\) 上範數為 \(1\) 的連續線性泛函——泛函分析（第 6.3 節的 Hilbert 空間對偶）的起點操作。

幾何直覺與凸性#

Minkowski 不等式的幾何身世：在 \(\mathbb{R}^n\) 中， \(\left(\sum |x_i|^p\right)^{1/p}\) 是向量長度的推廣（Minkowski 幾何、相對論中的 Minkowski 時空同名同源——同一個人）。 \(L^p\) 把有限維的橫坐標加總換成積分，把凸體理論投射到無限維：

\(p = 2\) 的單位球是真正的「球」（由內積誘導，見 6.3）； \(p \ne 2\) 的單位球凸但不「圓滑對稱」。這個差別決定了 \(L^2\) 是 Hilbert 空間而其他 \(L^p\) 只是 Banach 空間。

與其他章節的關聯#

  • 承第 5 章： \(\|f\|_p\) 的良定性依賴「積分為零 ⟺ a.e. 為零」與積分的線性；Hölder 的證明靠積分的單調性。
  • 啟 6.2：完備性證明用 Hölder 檢驗 Cauchy 列的確收斂到 \(L^p\) 元素。
  • 啟 6.3： \(p=2\) 的特殊地位——內積存在，Hilbert 空間誕生。
  • 機率論： \(\|X\|_p = (\mathbb{E}|X|^p)^{1/p}\) 是動差；Hölder 不等式給出 \(\mathbb{E}|XY| \le (\mathbb{E}|X|^p)^{1/p}(\mathbb{E}|Y|^q)^{1/q}\) ，是證明 Lyapunov 不等式與大數定律的標準工具。
  • 傅立葉分析：Hausdorff–Young 不等式把 Fourier 變換的 \(L^p\) 映射性質直接建在 Hölder 不等式上。

本節要點#

  1. \(L^p\) 的元素是 a.e. 等價類； \(p \ge 1\) 才有三角不等式。
  2. Young → Hölder → Minkowski 的依賴鏈；縮放歸一化是 Hölder 證明的關鍵手法。
  3. 有限測度上 \(L^p\) 隨 \(p\) 增大而收縮；無限測度上無包含量關係。
  4. Riesz 1910 年把 Hölder 不等式從數值工具升級為對偶性理論。
  5. \(p = 2\) 獨一無二：只有它來自內積——下一節的主角。