6.2 Lp空間的完備性RIESZFISCHER1907#

本章導言#

1907 年，兩篇論文在 Comptes Rendus 上背靠背發表：匈牙利數學家 Frigyes Riesz（1880–1956）與奧地利數學家 Ernst Fischer（1875–1954）獨立證明了同一件事： \(L^2\) 在均方收斂意義下完備——今日統稱 Riesz–Fischer 定理。Riesz 進一步把完備性推廣到所有 \(L^p\) （1910）。這個定理表面上是技術性質（「Cauchy 列收斂」），實際上是整個現代分析的開關：傅立葉級數理論、積分方程解的存在性、乃至 Hilbert 空間理論，都卡在這個完備性上卡了二十年。本節講證明、講它解決了什麼歷史僵局。

歷史僵局：傅立葉級數的「存在性地獄」#

1807 年 Fourier 宣稱任何函數都可展成三角級數；一百年後，數學家仍在為「 \(L^2\) 意義下的展開何時真的收斂」爭論。關鍵困難：給定係數 \(\{c_n\}\) 滿足 \(\sum |c_n|^2 < \infty\) （Parseval 條件的必要方向），是否存在函數 \(f\) 使這些 \(c_n\) 恰是其 Fourier 係數？ 在 Riemann 積分框架下這經常是否的：級數的均方極限函數可以根本不 Riemann 可積。Fischer 與 Riesz 各自看到：Lebesgue 積分恰好補上這個洞——均方 Cauchy 列的極限在 \(L^2\) 中總是存在。

年代線：

有趣的插曲：Fischer 的論文與 Riesz 的論文在同一期 Comptes Rendus 相鄰出現，兩人隨即互相引用，是一段罕見的良性同時發現（與 Newton–Leibniz、Borel–Lebesgue 形成對照）。

完備性是什麼、為何要緊#

定義 6.2.1：賦范空間 \((X, \|\cdot\|)\) 完備，若每個 Cauchy 列（ \(\|f_n - f_m\| \to 0\) 當 \(n, m \to \infty\) ）收斂到 \(X\) 中元素。完備賦范空間稱 Banach 空間。

不完備的空間做分析像在 \(\mathbb{Q}\) 上做分析：極限運算隨時掉出空間外。 \(\mathbb{R}\) 之於 \(\mathbb{Q}\) 的完備化（1.2 節）在函數空間上的對應物，正是 \(L^p\) 之於「Riemann 可積函數空間」（5.3 節的完備化觀點）。

Riesz–Fischer 定理#

定理 6.2.2（Riesz–Fischer, 1907； \(L^p\) 版本 Riesz 1910）：對 \(1 \le p \le \infty\) ， \(L^p\) 是 Banach 空間。即： \(\{f_n\}\) 是 \(L^p\) 中的 Cauchy 列，則存在 \(f \in L^p\) 使 \(\|f_n - f\|_p \to 0\) 。

證明（ \(p < \infty\) 的完整思想，以標準的子列收縮法）：

1. 取快收斂子列：Cauchy 列可取子列 \(\{f_{n_k}\}\) 使 \(\|f_{n_{k+1}} - f_{n_k}\|_p \le 2^{-k}\) （用 Cauchy 性逐次選 \(n_k\) ）。
2. 構造逐點幾乎收斂的極限：令

由 Minkowski（6.1）， \(\|g\|_p \le \sum_k 2^{-k} = 1 < \infty\) ，故 \(g\) a.e. 有限（5.1 推論： \(L^p\) 函數 a.e. 有限）。於是數項級數在幾乎每個 \(x\) 收斂，部分和

對 a.e. 的 \(x\) 有極限。定義 \(f(x) = \lim_k f_{n_k}(x)\) （在剩餘零測集上任取，比如 \(0\) ）。 3. 驗證 \(f \in L^p\) 且為 \(L^p\) 極限：對 \(k\) 用 Fatou 引理（5.1）於非負函數列 \(|f_{n_j} - f|^p \to |f_{n_k} - f|^p\) （沿 \(j \ge k\) ）：

故子列 \(L^p\) 收斂到 \(f\) ，且由 \(\|f\|_p \le \|f - f_{n_k}\|_p + \|f_{n_k}\|_p\) 知 \(f \in L^p\) 。 4. 整列收斂：Cauchy 列若有子列收斂到 \(f\) ，整列也收斂到 \(f\) （ \(\|f_n - f\| \le \|f_n - f_{n_k}\| + \|f_{n_k} - f\|\) ，前者由 Cauchy 性控制）。 \(\blacksquare\)

方法論要點：「先抽快收斂子列、證 a.e. 收斂、用 Fatou 收尾、再回整列」——這個四步曲是實變與機率論中反覆出現的萬能模板，值得記憶。

完備性的幾個技術補註#

補註一（ \(p = \infty\) 的情形）： \(L^\infty\) 完備性的證明更短：Cauchy 列 \(\{f_n\}\) 滿足對每個 \(n\) ， \(|f_n - f_m| \le \varepsilon_n\) a.e.（ \(m > n\) ）。取零測例外集之並 \(N\) （可數並，零測），在 \(N^c\) 上 \(\{f_n\}\) 是有界函數的一致 Cauchy 列，一致收斂極限 \(f\) 自動有界，且 \(\|f_n - f\|_\infty \to 0\) 。這裡「本質上確界」的定義（忽略零測集）正是使論證通過的關鍵——若用真正的逐點上確界範數， \(L^\infty\) 甚至不是向量空間上良定的範數（函數無界的點可以是單點）。

補註二（與 \(L^p\) 逼近性質的配合）：完備性 + 稠密性 = 「逼近論的自由」：要證明某性質 \(P\) 在 \(L^p\) 中成立，只需 (a) 在稠密類（簡單函數、連續緊支集函數）上證 \(P\) ；(b) 證 \(P\) 在 \(L^p\) 極限下保持（通常靠 DCT 或 Hölder 型估計）。這個兩步模式是 6.3 的投影定理、10.2 的 Plancherel 定理、以及算子延拓（BLT 定理）的共同結構。

補註三（歷史比較）：Fischer 在同一篇 1907 論文中還證明了「 \(L^2\) 中的單調有界列收斂」——即 \(L^2\) 版的 MCT 應用，顯示他與 Riesz 從不同入口（他從 Fourier 係數、Riesz 從積分方程）抵達同一完備性。後來 Riesz 1918 年的表示定理、1934 年的 Kronecker 型逼近定理，都建立在他 1907 年的完備性之上。

收斂模式的對照：Lp 與逐點#

完備性證明揭示的「子列 a.e. 收斂」值得固定成一個定理：

定理 6.2.5（快收斂子列引理）： \(f_n \to f\) 於 \(L^p\) ⟹ 存在子列 \(f_{n_k} \to f\) a.e.。

證明思想：正是證明第 1–2 步：取 \(\|f_{n_{k+1}} - f_{n_k}\|_p \le 2^{-k}\) 的子列，級數 \(\sum |f_{n_{k+1}} - f_{n_k}|\) 的 \(L^p\) 範數有限，故其部分和 a.e. 收斂（有限值），即 telescoping 給出 a.e. 收斂。 \(\blacksquare\)

推論（測度收斂）： \(L^p\) 收斂 ⟹ 依測度收斂（Chebyshev： \(m(\{|f_n - f| > \varepsilon\}) \le \varepsilon^{-p}\|f_n - f\|_p^p \to 0\) ）。這個「強收斂 ⟹ 依測度 ⟹ 子列 a.e.」的鏈條在機率論（9.2 的收斂等級表）中逐字重演——兩個領域共享同一套收斂拓撲。

反方向提醒：逐點收斂 + \(L^p\) 範數收斂（數值收斂）不保證 \(L^p\) 收斂（6.2 例題 6.2.2 的 \(\chi_{[n,n+1]}\) ）；逐點收斂 + 範數一致有界也不夠（移動尖峰 \(n^{1/p}\chi_{[0,1/n]}\) 型）。控制收斂定理（5.2）之所以珍貴，正是它補上了「逐點 + 控制 ⟹ \(L^p\) 」這一象限。

例題：傅立葉問題的解決#

例題 6.2.1：設 \(\{c_n\}_{n \in \mathbb{Z}}\) 滿足 \(\sum |c_n|^2 < \infty\) 。證明存在 \(f \in L^2[-\pi, \pi]\) ，其 Fourier 係數恰為 \(c_n\) ，且部分和 \(S_N = \sum_{|n| \le N} c_n e^{inx}\) 在 \(L^2\) 中收斂到 \(f\) 。

解：部分和序列 \(S_N\) 是 \(L^2\) 中的 Cauchy 列：對 \(M > N\) ，

右邊是收斂級數 \(\sum |c_n|^2\) 的尾和，趨於 \(0\) 。由 Riesz–Fischer，存在 \(f \in L^2\) 使 \(\|S_N - f\|_2 \to 0\) 。驗證係數：對固定的 \(m\) ，內積連續性（ \(|\langle S_N - f, e^{imx}\rangle| \le \|S_N - f\|_2 \to 0\) ）給出

這正是 Riesz 論文的標題問題。一百年的僵局一次清空：Parseval 等式從此是雙向的（ \(L^2\) 上 \(\sum|\hat f(n)|^2 = \|f\|_2^2\) ），Fourier 展開在 \(L^2\) 意義下對一切 \(f\) 成立。注意 \(S_N\) 未必逐點收斂（du Bois-Reymond 1876 的連續函數反例）——Riesz–Fischer 給的是均方收斂，這在應用中（能量、訊號）恰是自然的收斂方式。

完備性的推論群#

定理 6.2.3（級數判準）：若 \(\sum_n \|f_n\|_p < \infty\) ，則 \(\sum_n f_n\) 在 \(L^p\) 中收斂（部分和是 Cauchy 列），且 \(\left\| \sum f_n \right\|_p \le \sum \|f_n\|_p\) （Minkowski 取極限）。

定理 6.2.4（稠密性）： \(C_c(\mathbb{R})\) （緊支集連續函數）、階梯函數、簡單函數都在每個 \(L^p(\mathbb{R})\) （ \(p < \infty\) ）中稠密。由完備性，任何 \(L^p\) 函數可用「乖函數」逼近到任意精度——這把許多證明化歸為「先對好函數做」。

例題 6.2.2：證明 \(L^p\) 中 Cauchy 列 \(\{f_n\}\) 有收斂的數列 \(\{\|f_n\|_p\}\) ，並說明反方向不成立。

解： \(|\,\|f_n\|_p - \|f_m\|_p\,| \le \|f_n - f_m\|_p\) （範數的 Lipschitz 性），故 \(\{\|f_n\|\}\) 是 \(\mathbb{R}\) 中的 Cauchy 列，由 \(\mathbb{R}\) 的完備性（1.2）收斂。反方向不成立：取 \(\mathbb{R}\) 上 \(f_n = \chi_{[n, n+1]}\) ， \(\|f_n\|_1 = 1\) 恆定（數列收斂到 \(1\) ），但 \(\|f_n - f_m\|_1 = 2\) （ \(n \ne m\) ）不趨於 \(0\) ——範數收斂不能保證 Cauchy。這提醒：完備性是關於函數間距離的性質，不是關於範數值的。

\(L^\infty\) 與不完備的對照#

\(L^\infty\) （本質上確界範數）同樣完備（證明用 a.e. 收斂的子列法，更容易）。對照組是重要的負面教材：** \(C[0,1]\) 配 \(\|\cdot\|_1\) 或 \(\|\cdot\|_2\) 不完備——連續函數的均方 Cauchy 列可以極限不連續（例如 \(f_n(x) = \min(nx, 1)\) 的極限是 \(\chi_{(0,1]}\) 的 a.e. 版本）。所以完備化必然把連續函數空間擴大成 \(L^p\) ：Lebesgue 積分的發明，等價於把積分範數下的連續函數空間完備化**。Fischer 1907 年的論文標題幾乎就是這句話。

與其他章節的關聯#

• 承 6.1：證明全程使用 Hölder/Minkowski；「a.e. 有限」用了 5.1 的 Chebyshev 推論。
• 承 5.1、5.2：Fatou 引理是證明的收尾工具；DCT 常用於驗證具體收斂。
• 啟 6.3： \(L^2\) 完備 + 平行四邊形恆等式 ⟹ 內積空間的 Hilbert 理論落地。
• 傅立葉分析：Riesz–Fischer 定理是 \(L^2\) Fourier 理論的基石；Plancherel 定理（第 10 章）是其無窮區間版本。
• 機率論： \(L^2\) 完備性支撐均方收斂（ \(L^2\) 收斂）理論，是隨機過程（如 Wiener 過程的構造）的技術基礎。
• 泛函分析：Banach 空間概念（Banach 1920s）直接以 \(L^p\) 為原型；Riesz 表示定理（ \(L^p\) 的對偶）是下一站。

本節要點#

1. Riesz–Fischer（1907） \(L^2\) 完備，Riesz（1910）推廣到 \(L^p\) ：四步曲證明模板（子列 → a.e. 極限 → Fatou → 整列）。
2. 完備性解決了傅立葉係數的實現問題： \(\sum|c_n|^2 < \infty\) ⟹ 存在 \(f\) 。
3. 級數判準與稠密性是完備性的日常紅利。
4. \(C[0,1]\) 在積分範數下不完備——Lebesgue 空間是必然的完備化。
5. 「完備化」是貫穿本書的方法論： \(\mathbb{Q} \to \mathbb{R}\) 、Riemann \(\to\) Lebesgue、 \(C \to L^p\) 。