跳轉到

6.3 L2與希爾伯特空間#

本章導言#

\(p = 2\) 在 \(L^p\) 家族中是異數：只有它允許定義內積

\[ \langle f, g \rangle = \int f\, \overline{g}\, dm, \]

而 \(\|f\|_2 = \sqrt{\langle f, f\rangle}\) 。內積帶來角度、正交、投影——歐氏幾何的全套直覺可以搬進無限維。David Hilbert（1862–1943）在 1904–1910 年的積分方程系列論文中，以「無限維二次型」的形式發展出這個空間的譜理論；Erich Schmidt（1908）引入幾何語言（正交、夾角）；John von Neumann（1927）在量子力學壓力下給出抽象 Hilbert 空間的公理化。本節講 \(L^2\) 如何成為一切 Hilbert 空間的原型。

歷史：從積分方程到量子力學#

驅動鏈非常清晰：

Hilbert 研究積分方程時把 \([a,b]\) 切成有限段，把積分方程變成 \(n\) 元線性方程組，再讓 \(n \to \infty\) 。他發現二次型 \(\sum a_{ij} x_i x_j\) 的特徵值理論在極限下依然成立——彷彿存在一個「無限維的 \(\mathbb{C}^n\) 」。von Neumann 1927 年的公理化則是被量子力學逼出來的：Heisenberg 的矩陣力學與 Schrödinger 的波函數是同一個數學對象的兩種表象，只有 Hilbert 空間語言能把兩者統一（狀態 = 向量，觀測量 = 自伴算子）。

內積空間的公理與幾何#

定義 6.3.1：複（或實）向量空間 \(H\) 配內積 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) ，滿足：共軛對稱、第一變元線性、正定（ \(\langle f, f \rangle = 0 \iff f = 0\) ）。若 \(\|\cdot\| = \sqrt{\langle \cdot, \cdot \rangle}\) 之下完備，稱 Hilbert 空間。

\(L^2\) 的內積給出範數 \(\|f\|_2 = \left( \int |f|^2 \right)^{1/2}\) ，完備性由 Riesz–Fischer（6.2）保證，故 \(L^2\) 是 Hilbert 空間。

內積的基本恆等式：

  1. Cauchy–Schwarz： \(|\langle f, g\rangle| \le \|f\| \|g\|\) （Hölder 的 \(p = q = 2\) 情形）。
  2. 平行四邊形恆等式： \(\|f + g\|^2 + \|f - g\|^2 = 2\|f\|^2 + 2\|g\|^2\) 。
  3. 極化恆等式： \(\langle f, g \rangle = \frac{1}{4} \sum_{k=0}^{3} i^k \|f + i^k g\|^2\) ——內積可由範數重建。

第 2、3 條有深刻的判準意義：一個範數來自內積，若且唯若它滿足平行四邊形恆等式（Jordan–von Neumann, 1935）。這說明 \(p \ne 2\) 的 \(L^p\) 絕不可能有內積（取兩個不交支集特徵函數直接驗算即知恆等式失敗）。 \(L^2\) 的獨特性由此精確化。

正交性與投影定理#

定義 6.3.2： \(\langle f, g \rangle = 0\) 稱 \(f \perp g\) 。集合 \(\{e_n\}\) 為正交規範系（orthonormal）若 \(\langle e_m, e_n \rangle = \delta_{mn}\) 。

定理 6.3.3（正交分解 / 投影定理）： \(M \subseteq H\) 是閉線性子空間，則每個 \(f \in H\) 可唯一寫成

\[ f = m + m^\perp, \qquad m \in M,\ m^\perp \in M^\perp. \]

證明思想：取 \(m \in M\) 最小化 \(\|f - x\|\) （ \(x \in M\) ）。存在性用變分法：取極小化序列 \(\{x_n\}\) ，由平行四邊形恆等式證它是 Cauchy 列，再用完備性與閉性得極限 \(m \in M\) 。最佳性條件化為 \(\langle f - m, x \rangle = 0\) 對所有 \(x \in M\) 。唯一性由正交分解的線性代數論證。 \(\blacksquare\)

投影定理是 Hilbert 空間的靈魂定理：最佳逼近 = 垂直投影。 \(p \ne 2\) 的 Banach 空間中最佳逼近存在性一般要靠緊性且不唯一，投影的正交性概念根本不存在。

定理 6.3.4（Bessel 與 Parseval）： \(\{e_n\}\) 正交規範系， \(f \in L^2\) ：

\[ \text{(Bessel)} \quad \sum_n |\langle f, e_n \rangle|^2 \le \|f\|^2; \qquad \text{(Parseval)} \quad f = \sum_n \langle f, e_n\rangle e_n \iff \sum_n |\langle f, e_n\rangle|^2 = \|f\|^2. \]

證明思想：Bessel 由 \(\| f - \sum_{n \le N} \langle f, e_n\rangle e_n \|^2 \ge 0\) 展開；Parseval 當系完備（ \(\{e_n\}\) 的線性組合稠密）時等號成立。這是 6.2 例題（傅立葉係數實現）的幾何化重述。

例題：把函數變成向量#

例題 6.3.1：在 \(L^2[-\pi, \pi]\) 上取 \(e_0 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\) 、 \(e_n^{c} = \frac{\cos nx}{\sqrt{\pi}}\) 、 \(e_n^{s} = \frac{\sin nx}{\sqrt{\pi}}\) 。驗證這是正交規範系，並計算 \(f(x) = x\) 的前三個係數。

解：正交性由三角恆等式直接驗算：

\[ \int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \sin mx\, dx = \pi\, \delta_{nm}, \quad \int_{-\pi}^{\pi} \cos nx \cos mx\, dx = \pi\, \delta_{nm}, \quad \int_{-\pi}^{\pi} \sin nx \cos mx\,dx = 0. \]

除以 \(\sqrt{\pi}\) 得規範性。 \(f(x) = x\) 的係數（ \(f\) 是奇函數，餘弦係數為零）：

\[ \langle f, e_n^s \rangle = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx\, dx = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{(-1)^{n+1}\pi}{n} = \frac{2(-1)^{n+1}\sqrt{\pi}}{n}. \]

Parseval： \(\frac{2\pi^2}{\sum_n 1/n^2}\) 型驗算給出 \(\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}\) ——Basil 問題（Basel problem，Euler 1735）成為 Parseval 恆等式的直接推論。十九世紀要靠 Euler 的天才計算，二十世紀只要讀出幾何。

例題 6.3.2（投影）：求 \(x^2\) 在 \(\text{span}\{1, x\}\) （於 \(L^2[-1,1]\) ）上的最佳平方逼近。

解： \(M = \text{span}\{1, x\}\) 是閉子空間。由對稱性， \(x^2 - (a + bx)\) 的最佳逼近中 \(b = 0\) （奇函數 \(x\) 與偶函數正交，交叉項消失）。解正交條件 \(\langle x^2 - a, 1 \rangle = 0\) ：

\[ \int_{-1}^1 (x^2 - a)\,dx = \frac{2}{3} - 2a = 0 \implies a = \frac13. \]

即 \(x^2\) 的最佳線性逼近是常函數 \(\frac13\) ，誤差 \(\|x^2 - \frac13\|_2^2 = \int (x^2-\frac13)^2 = \frac{4}{45}\) 。這正是最小平方法（Legendre 1805、Gauss 1809）的 Hilbert 空間形式：迴歸 = 正交投影。

對偶性：Riesz 表示定理#

定理 6.3.5（Riesz 表示定理, 1907）：Hilbert 空間 \(H\) 上的每個連續線性泛函 \(T\) 都唯一由一個向量表示：存在 \(g \in H\) 使

\[ T(f) = \langle f, g \rangle \quad \forall f, \qquad \|T\| = \|g\|. \]

證明思想： \(T \ne 0\) 時核 \(\ker T\) 是閉超平面，取 \(h \perp \ker T\) ， \(g = \overline{T(h)} h / \|h\|^2\) 即可；唯一性由 \(\langle f, g \rangle = 0\ \forall f \implies g = 0\) 。 \(\blacksquare\)

這個定理使 \(H^* \cong H\) ：Hilbert 空間是自對偶的。 \(L^2\) 中，它意味著每個泛函都是「與某個函數作內積」。Riesz 正是從這個定理出發（同一篇 1907 年論文！）走向 6.2 的完備性——兩者本是同一研究的兩面。對比一般 \(L^p\) ：對偶是 \(L^q\) 而非自身，只有 \(p = 2\) 自我配對，這又是 \(L^2\) 特殊性的體現。

算子初窺與量子力學#

\(L^2\) 上的線性算子（積分算子 \((Tf)(x) = \int K(x, y) f(y)\,dy\) 、微分算子）構成 Hilbert 空間理論的主戰場：譜定理、緊算子、自伴算子。物理的語言：

  • 狀態 = \(L^2(\mathbb{R}^3)\) 中的單位向量（波函數， \(\|f\|_2 = 1\) ）；
  • 位置/動量/能量 = 自伴算子；測量值分佈由譜理論給出；
  • \(|\langle f, g \rangle|^2\) = 轉移振幅的模方。

von Neumann 的統一之所以可能，正因為 \(L^2\) 與 \(\ell^2\) （平方可和數列空間）同構：取定一組完備正交規範系，Hilbert 空間的幾何與「坐標」無關。這個「座標無關性」是無限維幾何相對於矩陣理論的真正躍遷。

與其他章節的關聯#

  • 承 6.1、6.2：內積誘導的範數滿足全部 \(L^2\) 性質；完備性（6.2）是 Hilbert 空間定義的一部分。
  • 傅立葉分析： \(\{e^{inx}\}\) 是完備正交規範系；Fourier 級數 = 在該系下的正交展開；Plancherel 定理 = Parseval 在 Fourier 變換上的形式（第 10 章）。
  • 機率論：均值为零的隨機變數構成 Hilbert 空間，內積 = 協方差；正交 = 不相關；投影 = 條件期望（第 9.3 節將用它定義條件期望！）。
  • 微分方程：特徵函數展開（Sturm–Liouville 理論）= 在自伴算子特徵系下的正交展開，是譜定理的應用。

本節要點#

  1. \(L^2\) 是唯一自對偶的 \(L^p\) ；平行四邊形恆等式是內積存在的精確判準。
  2. 投影定理：閉子空間上的最佳逼近 = 正交投影，唯一且完備性保證存在。
  3. Bessel/Parseval：正交展開的能量守恆；Euler 的 Basel 問題成為幾何推論。
  4. Riesz 表示定理： \(H^* \cong H\) ，自對偶性使幾何與分析完全互通。
  5. 量子力學的數學語言就是 \(L^2\) 的譜理論——von Neumann 1927 年的公理化不是裝飾，是物理必需。