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7.2 有界變差函數與JORDAN分解#

本章導言#

絕對連續性（7.1）是「好到能寫成不定積分」的條件，但要證明一般定理，我們需要一個更基礎的函數類：總振盪有限的函數。Camille Jordan（1838–1922）在 1881 年的論文《Sur la série de Fourier》中為了研究傅立葉級數的收斂，引入了有界變差（bounded variation）概念與著名的 Jordan 分解：任何有界變差函數都是兩個遞增函數之差。這是本書反覆出現的主題的又一實例——分解定理（正負部、Jordan 分解、Hahn 分解、Lebesgue 分解）是分析學的通用武器。本節同時為 7.1 的證明補上最後一塊：絕對連續函數的有界變差性。

歷史：傅立葉級數收斂的 Drive#

Dirichlet 1829 年證明：分段單調函數的傅立葉級數逐點收斂。Jordan 1881 年的問題：單調性可以放寬到什麼程度？ 他的答案：放寬到「總變差有限」——即兩個遞增函數之和的型態。Jordan 分解由此誕生，而它的第一個應用是 Jordan 判準：有界變差函數的傅立葉級數在連續點收斂到函數值平均 \((f(x^+) + f(x^-))/2\) 。

值得注意的是 Jordan 同一本時期的著作也奠定了集合論進入分析的路（Jordan 可測集，4.1 節的主角）。他在兩個戰場上的工具——「有限分割」——都將被可數版本取代（Lebesgue 測度、Hahn 分解），但概念骨架留存至今。

有界變差的定義#

定義 7.2.1： \(F: [a,b] \to \mathbb{R}\) ，對分割 \(P: a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\) 定義

\[ V(F, P) = \sum_{k=1}^{n} |F(x_k) - F(x_{k-1})|, \]

全變差為

\[ V_a^b(F) = \sup_P V(F, P). \]

若 \(V_a^b(F) < \infty\) ，稱 \(F\) 有界變差（bounded variation, BV）。全體記為 \(BV[a,b]\) 。

例題 7.2.1：計算 (a) \(F(x) = x\) 、(b) \(F(x) = \sin(2\pi x / (b-a))\) 、(c) Cantor 函數、(d) \(\chi_{\mathbb{Q}\cap[0,1]}\) 於 \([0,1]\) 的全變差。

解： - (a) 任何分割的變差和 \(= \sum \Delta x_k = 1\) ，故 \(V_0^1 = 1\) 。 - (b) 取分割在波峰波谷取樣： \(V = 4\) （兩個完整波，每個振幅 \(2\) ）。 - (c) 遞增函數： \(V = F(1) - F(0) = 1\) 。Cantor 函數有界變差但非絕對連續——BV 嚴格大於 AC。 - (d) 取有理、無理交錯取樣點，變差和可達 \(n\) （ \(n\) 為取樣點數），無界 ⟹ 無界變差。

基本性質： \(BV\) 是向量空間， \(\|F\|_{BV} = |F(a)| + V_a^b(F)\) 使其成為 Banach 空間； \(V_a^b(F - G) \le V(F) + V(G)\) ；且連續函數未必有界變差（ \(x \sin(1/x)\) 的全變差發散，可自 \(1/k\) 型取樣點驗證）。

Jordan 分解定理#

定理 7.2.2（Jordan, 1881）： \(F\) 有界變差 \(\iff\) \(F = F_1 - F_2\) ，其中 \(F_1, F_2\) 遞增。更精確地，定義

\[ P(x) = \sup\left\{ \sum_k (F(x_k) - F(x_{k-1}))^+ \right\}, \quad N(x) = \sup\left\{ \sum_k (F(x_k) - F(x_{k-1}))^- \right\}, \]

（分別是正變差與負變差的累積），則 \(F(x) = F(a) + P(x) - N(x)\) ，且

\[ V_a^b(F) = P(b) + N(b). \]

證明思想：對每個分割， \(\sum \Delta F_k = F(b) - F(a) = \sum (\Delta F_k)^+ - \sum (\Delta F_k)^-\) ，且變差 \(= \sum |\Delta F_k| = \sum(\Delta F_k)^+ + \sum(\Delta F_k)^-\) 。故「正總和」與「負總和」都 \(\le V(F)\) ，取上確界定義 \(P, N\) 後驗證： \(P + N = V\) （用分割的公共加細同時逼近兩個上確界）， \(P - N = F(b) - F(a)\) （變號恆等式取極限）。把上確界的分割端點移動到 \(x\) 即得兩個遞增函數 \(P(x), N(x)\) 。 \(\blacksquare\)

最小性：若 \(F = G_1 - G_2\) 是任何遞增分解，則 \(P \le G_1\) 、 \(N \le G_2\) ——Jordan 分解是最小的遞增分解，這在測度論對應物（Hahn 分解）中同樣成立。

遞增函數的微分化：Lebesgue 的勝利#

Jordan 分解把一般問題化歸到遞增函數。對遞增函數 \(G\) ：

定理 7.2.3（Lebesgue, 1904）：遞增函數 \(G\) a.e. 可微，且 \(G' \ge 0\) 可積。

證明思想：證明上導數有限的點集是全集（除零測集）。定義 \(E_n = \{ x : D^+G(x) > n \}\) 型集合，用「遞增函數的像集不會太膨脹」的測度估計（ \(G\) 把長 \(\ell\) 的區間映成長 \(\ge \ell \cdot n\) 的像時出現矛盾）逐一排除。這個「遞增函數的膨脹估計」是覆蓋引理的前身。 \(\blacksquare\)

於是完整的微分學圖景：

\[ \text{遞增} \xrightarrow{\text{Jordan}} \text{BV} \xrightarrow{\text{分解}} \text{a.e. 可微} \xrightarrow{\text{絕對連續時}} \text{Newton–Leibniz}. \]

BV 函數全部 a.e. 可微（分解 + 定理 7.2.3），但只有 AC 部分恢復微積分基本定理。

測度論的 Jordan 分解：Hahn 分解#

Jordan 分解在測度論中的對應物是：

定理 7.2.4（Hahn 分解, 1921）：符號測度 \(\nu\) （可取負值的可數可加函數）存在分解 \(\nu = \nu^+ - \nu^-\) ，其中 \(\nu^+ = \nu|_{P}\) 、 \(\nu^- = -\nu|_{N}\) ，而 \(X = P \sqcup N\) 是某個「正集/負集」分割（Hahn 分解）。

證明思想：對 \(\nu^+(A) = \sup\{\nu(B): B \subseteq A\}\) 型定義（與 Jordan 的 \(P, N\) 完全平行）驗證可數可加性；最優性與 7.2.2 的最小性同構。函數版本的推論： \(F \in BV\) 誘導符號測度 \(\mu_F\) ，其 Jordan 測度分解恰由 \(F\) 的 Jordan 函數分解生成。函數論與測度論在這裡完全同構——這種「翻譯」正是 Lebesgue 之後實變的標誌性方法。

例題#

例題 7.2.2：求 \(F(x) = x^2 \chi_{[0,1]}(x) - x \chi_{(1,2]}(x)\) 在 \([0,2]\) 的 Jordan 分解與全變差。

解： \(F\) 在 \([0,1]\) 遞增（ \(x^2\) ，變化 \(0 \to 1\) ），在 \((1,2]\) 遞減（ \(-x\) ，變化 \(-1 \to -2\) ，函數值從 \(-1\) 降到 \(-2\) ）。遞增部分 \(F_1\) 、遞減部分 \(F_2\) ：

\[ F = \underbrace{x^2 \chi_{[0,1]} + 1\cdot \chi_{(1,2]}}_{F_1 \text{ 遞增}} - \underbrace{(x + 1)\chi_{(1,2]}}_{F_2 \text{ 遞增}} \quad \text{（驗證: } F_1 - F_2 = x^2 \text{ 於 } [0,1], -x \text{ 於 } (1,2]\text{）}. \]

全變差 \(= |F(1) - F(0)| + |F(2) - F(1)| = 1 + 1 = 2\) （單調段上的變差就是端點差）。負變差 \(N(2) = 1\) ，正變差 \(P(2) = 1\) ， \(P + N = 2 = V\) 。✓

例題 7.2.3：證明 \(\sin\frac{1}{x}\) （ \(x \in (0, 1]\) ，補定義 \(F(0) = 0\) ）不是有界變差，因此其傅立葉級數的 Jordan 判準不適用。

解：取取樣點 \(x_k = \frac{2}{(2k+1)\pi}\) （函數值交錯取 \(\pm 1\) ）， \(k = 1, \dots, n\) ，排成遞增分割，變差和

\[ \sum_{k=1}^{n-1} |F(x_{k+1}) - F(x_k)| = 2(n-1) \to \infty. \]

故 \(V_0^1 = \infty\) 。此函數在 \([0,1]\) 連續——再次強調 連續 ⇏ BV ⇏ AC 的嚴格階梯。

階梯總結#

每條箭頭都嚴格（反例已在本節與 7.1 給出）。這張圖是一維實變微分學的完整地圖。

與其他章節的關聯#

  • 承 7.1：絕對連續 ⟹ 有界變差（用定義直接驗證），故 7.1 的一般證明可先 Jordan 分解再化歸遞增情形。
  • 承 5.3、4.2：Cantor 函數在 BV 中但不在 AC 中，是階梯圖的關鍵節點。
  • 啟 7.3：BV 函數誘導 Stieltjes 測度；Stieltjes 積分 \(\int f\,dF\) 正是「對這個測度積分」。
  • 啟 8.3：Hahn 分解是 Radon–Nikodym 定理證明的第一塊基石。
  • 傅立葉分析：Jordan 判準至今是實用收斂判準；BV 函數的 Fourier 係數 \(\hat f(n) = O(1/n)\) 。
  • 現代應用：影像處理的 ROF 模型以 \(\|u\|_{BV}\) 為正則項（全變差去噪），BV 空間在二十一世紀反而更活躍。

本節要點#

  1. 全變差 = 依分割取樣的總振盪之上確界；BV 是「總振盪有限」的函數類。
  2. Jordan 分解： \(F = P - N\) ，最小遞增分解， \(V = P + N\) 。
  3. BV 全體 a.e. 可微（Lebesgue 1904）；但 Newton–Leibniz 只有 AC 才成立。
  4. Hahn 分解是 Jordan 分解的測度論同構物。
  5. 階梯 Lipschitz ⊋ AC ⊋ BV ⊋ 連續，每一步都有標本反例。