7.3 Stieltjes積分1894#

本章導言#

1894 年，荷蘭數學家 Thomas Jan Stieltjes（1856–1894）在研究連分數與矩量問題（moment problem）時，需要一種新型積分：積分的「權重」不必是 \(dx\) ，可以是任一遞增函數 \(d\alpha(x)\) 。他去世那年發表的論文成為《Annales》上的遺作——Riemann–Stieltjes 積分誕生。這個積分在當時看似只是一個推廣，但歷史證明它是測度論的孵化器：正是為了給 Stieltjes 積分建立一般理論，Radon（1913）發明了「對測度積分」，最終通向 Radon–Nikodym 定理（8.3）與 Lebesgue–Stieltjes 積分。本節講原始定義、與 Lebesgue 積分的接線、以及它在機率論與物理中的雙重遺產。

歷史：連分數逼出的積分#

Stieltjes 研究的問題：給定數列 \(\{a_n\}\) ，何時存在遞增函數 \(\alpha\) 使

\[ a_n = \int_0^\infty x^n\, d\alpha(x) \qquad (n = 0, 1, 2, \dots)? \]

這是矩量問題的最簡形式。連分數展開

\[ \int_0^\infty \frac{d\alpha(x)}{x + z} = \cfrac{a_0}{z + \cfrac{b_1}{1 + \cfrac{b_2}{1 + \cdots}}} \]

把矩量與連分數係數相連。Stieltjes 發現：當 \(\alpha\) 是跳躍函數（階梯函數）時，積分退化為級數；當 \(\alpha\) 光滑時退化为普通積分；而一般的 \(\alpha\) 需要全新的定義。他的答案：Darboux 上和下和的推廣，把 \(\Delta x_k\) 換成 \(\Delta \alpha_k = \alpha(x_k) - \alpha(x_{k-1})\) 。

矩量問題的深遠影響：Stieltjes 證明了 \(\{a_n\}\) 是某正測度之矩量的精確條件（1884–1894 年的工作），這是漢堡矩量問題的起點；Hamburger（1920）、Riesz、Stone 進一步發展；最終在 1930 年代成為譜理論與量子力學的數學基礎。一個關於連分數的問題孕育了半個世紀的分析學。

Riemann–Stieltjes 積分的定義#

定義 7.3.1： \(\alpha\) 是 \([a,b]\) 上遞增右連續函數， \(f\) 有界。對分割 \(P: a = x_0 < \cdots < x_n = b\) 與取樣點 \(\xi_k \in [x_{k-1}, x_k]\) ，定義

\[ S(P, f, \alpha) = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_k)\, \big(\alpha(x_k) - \alpha(x_{k-1})\big). \]

若上下和（把 \(f(\xi_k)\) 換成段上的上確界/下確界）在分割加細下趨於同一極限，稱 \(f\) Riemann–Stieltjes 可積，記

\[ \int_a^b f\, d\alpha. \]

例題 7.3.1：取 \(\alpha(x) = \chi_{[c, b]}(x) + 1\) （即 \(\alpha\) 在 \(c\) 處跳躍 \(1\) ，其餘常數——精確地取 \(\alpha(x) = 0\) 若 \(x < c\) ， \(1\) 若 \(x \ge c\) ）。證明 \(\int_a^b f\, d\alpha = f(c)\) （設 \(f\) 在 \(c\) 連續）。

解：只有包含 \(c\) 的那段貢獻非零： \(\alpha(x_k) - \alpha(x_{k-1}) = 1\) 當且僅當 \(x_{k-1} \le c \le x_k\) 。取樣點 \(\xi_k \to c\) （分割加細時），連續性給 \(f(\xi_k) \to f(c)\) 。故和的極限為 \(f(c)\) 。 \(\blacksquare\)

這就是 Dirac 測度的積分： \(\delta_c(f) = f(c)\) 。物理學家 Dirac 在 1920–30 年代自由使用「 \(\delta\) 函數」，數學家的正規化正是 Stieltjes 積分——「質量集中在 \(c\) 的分佈」不是函數，是測度；對它積分就是 \(d\alpha\) 積分。Stieltjes 1894 年已為量子力學的數學語言備好貨。

分部積分與基本公式#

定理 7.3.2（分部積分）： \(f\) 連續、 \(\alpha\) 有界變差，則

\[ \int_a^b f\, d\alpha = f(b)\alpha(b) - f(a)\alpha(a) - \int_a^b \alpha\, df. \]

證明思想：把 \(S(P, f, \alpha)\) 用恆等式

\[ f(x_k)\alpha(x_k) - f(x_{k-1})\alpha(x_{k-1}) = f(x_k)\Delta\alpha_k + \alpha(x_{k-1})\Delta f_k \]

對 \(k\) 求和，左邊伸縮為 \(f(b)\alpha(b) - f(a)\alpha(a)\) ，右邊兩個和分別是兩個 Stieltjes 和。 \(\blacksquare\)

這個公式把「對 \(d\alpha\) 積分」與「對 \(df\) 積分」互相轉移，是實際計算的主力工具。

Stieltjes 積分的收斂定理#

Riemann–Stieltjes 理論雖被 Lebesgue 理論吸收，其收斂行為仍有獨立價值：

定理 7.3.4（Helly 的選取定理, 1912）：一致有界的遞增函數列 \(\{\alpha_n\}\) 有逐點收斂子列，且極限遞增；若 \(f\) 連續，則 \(\int f\, d\alpha_{n_k} \to \int f\, d\alpha\) 。

證明思想：對可數稠密點集對角線取子列（逐點收斂），用遞增性 + 右連續修正把收斂擴到全體連續點；積分收斂由 Riemann–Stieltjes 和的逐段估計。 \(\blacksquare\)

Helly 定理是弱收斂理論（機率論中分佈函數的弱收斂、Prokhorov 定理 1956 的先驅）：「有界變差 + 一致界 ⟹ 緊性」。這個緊性在 Kolmogorov 延拓定理（9.2）、特徵函數的 Lévy 連續性定理、以及變分法直接法中反覆出現——又是「抽象緊性」的具體原型之一。

Lebesgue–Stieltjes 積分：與測度論接線#

定理 7.3.3（Lebesgue–Stieltjes 對應）： \([a,b]\) 上遞增右連續 \(\alpha\) 誘導唯一 Borel 測度 \(\mu_\alpha\) （由 \(\mu_\alpha((u, v]) = \alpha(v) - \alpha(u)\) 及 Carathéodory 擴張定理確定），且

\[ f \text{ Riemann–Stieltjes 可積（關於 }\alpha\text{）} \implies f \in L^1(\mu_\alpha), \quad \text{兩積分相等}. \]

因此現代教科書直接定義 ** \(\int f\, d\mu_\alpha\) 為 Lebesgue–Stieltjes 積分，把 Riemann–Stieltjes 理論吸收為特例。歷史順序正好相反：Stieltjes（1894）先於 Lebesgue（1902），而 Radon（1913）證明了一般「對測度積分」的理論——「Lebesgue 積分」其實是「對 Lebesgue 測度的 Stieltjes 積分」**。這個視角讓第 5 章的定義顯得不再特殊：積分的本質是「對測度積分」， \(dx\) 只是眾多測度之一。

例題 7.3.2：計算 \(\int_0^3 x^2\, d\lfloor x \rfloor\) ，其中 \(\lfloor x \rfloor\) 是下取整函數。

解： \(\lfloor \cdot \rfloor\) 在 \(1, 2\) 處各跳躍 \(1\) （ \(0\) 處右端點處理為區間起點）。由例題 7.3.1 的推廣（跳躍處取函數值）：

\[ \int_0^3 x^2\, d\lfloor x \rfloor = 1^2 + 2^2 = 5. \]

同一積分在 Lebesgue–Stieltjes 語言： \(\mu_{\lfloor \cdot \rfloor} = \delta_1 + \delta_2\) ，對點質量積分即求和。級數求和是積分的特例——這個觀點統一了「離散與連續」，矩量問題正是靠它把兩個世界合而為一。

應用：機率論與分佈函數#

遞增右連續函數 \(F\) 滿足 \(F(-\infty) = 0\) 、 \(F(+\infty) = 1\) ，恰好是隨機變數的分佈函數（CDF）。Lebesgue–Stieltjes 積分 \(\int g\, dF\) 就是期望 \(\mathbb{E}[g(X)]\) ：

\(\alpha\) 的型態	\(\mu_\alpha\)	積分的樣子
光滑（密度 \(p\) ）	\(p\, dm\)	\(\int g(x) p(x)\, dx\)
階梯（跳躍 \(p_k\) ）	\(\sum p_k \delta_{x_k}\)	\(\sum_k g(x_k) p_k\)
Cantor 函數	Cantor 測度	奇異連續分佈：無密度、無原子
混合	密度 + 原子	兩項之和

Lebesgue 分解（8.3 節將正式證明）：任何分佈 \(F\) 唯一分解為

\[ F = F_{\text{ac}} + F_{\text{sc}} + F_{\text{d}}, \]

絕對連續部分 + 奇異連續部分（Cantor 型）+ 離散部分。這個三分法是機率論課程的基礎結構，其嚴格基礎正是 Stieltjes–Lebesgue–Radon 這條線。

與其他章節的關聯#

承 7.2：BV 函數（經右連續修正） \(\leftrightarrow\) 有限 Borel 測度；Jordan 分解對應符號測度的 Hahn 分解。
承 5 章：Lebesgue 積分是 \(\alpha(x) = x\) 的特例；「對測度積分」的一般框架由 Radon 1913 年完成。
啟 8.3：Radon–Nikodym 定理回答「何時 \(\mu_\alpha \ll dm\) 且 \(d\mu_\alpha = f\, dm\) 」——即「何時 Stieltjes 積分化為普通積分」，答案正是 7.1 的絕對連續性。
機率論（第 9 章）：分佈函數 \(\leftrightarrow\) 機率測度的對應是 Kolmogorov 公理化之前就有的半成品；Stieltjes 積分是期望值的原始定義。
數值分析：正交多項式（Hermite、Laguerre、Jacobi）的權函數是 Stieltjes 測度；Gauss 求積公式的理論基礎是矩量問題。
泛函分析：Riesz 表示定理的完整版本（ \(C[a,b]^* \cong\) 有限符號 Borel 測度，Riesz 1909）把「連續線性泛函 = Stieltjes 積分」，是對偶理論的第一次大勝利。

本節要點#

Riemann–Stieltjes 積分：把 \(\Delta x\) 換成 \(\Delta\alpha\) ，誕生於連分數與矩量問題（1894）。
跳躍函數情形 = 對 Dirac 測度積分 = 取樣求和；Dirac 的 \(\delta\) 函數由此合法化。
遞增右連續函數 \(\leftrightarrow\) Borel 測度：Lebesgue–Stieltjes 積分統一離散與連續。
歷史倒置的真相：Lebesgue 積分是 Stieltjes 積分的特例，Radon 完成一般理論。
分佈函數的三分解（ac + sc + d）是本節與 8.3 之間的橋樑。