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8.2 Fubini定理1907#

本章導言#

上一節造好了乘積測度，本節收割：積分次序何時可以交換？ 這個問題從 Cauchy 時代就困擾分析學——Cauchy 本人 1820 年代就發表過錯誤的交換命題，Thomae、Du Bois-Reymond 的反例（1870s）顯示「連續 + 積分存在」完全不夠。Fubini（1907）與 Tonelli（1909）在 Lebesgue 積分框架下找到精確條件，本節按邏輯順序證明 Tonelli → Fubini，並展示交換失敗的標本反例。這是全書「技術與理論互相驅動」主題的教科書案例：錯誤的交換命題 → 反例累積 → 精確條件 → 定型為定理。

歷史：一個錯了八十年的「常識」#

「 \(\iint f = \int\int f\) 」在十八世紀被當作顯然。十九世紀反例開始堆積：

年代 人物 事件
1821–23 Cauchy 《分析教程》中的交換命題（附隱含條件，後被發現不充分）
1870s Thomae, du Bois-Reymond 連續函數的二重積分不可交換的顯式反例
1897 Osgood 一致收斂條件下交換的研究
1907 Fubini Lebesgue 積分下的精確定理
1909 Tonelli 非負情形的簡化判準（先交換後驗證）

du Bois-Reymond 的反例本質：連續函數 \(f(x, y)\) 使 \(\int_0^1 dy \int_0^1 f\,dx \ne \int_0^1 dx \int_0^1 f\,dy\) ，甚至一邊存在另一邊不存在——尖峰質量沿對角線聚集。Lebesgue 積分的可數可加性最終把「什麼時候安全」變成可判定的問題。

Tonelli 定理：非負先交換#

定理 8.2.1（Tonelli, 1909）： \(f \ge 0\) 可測（於 \(\mathcal{M} \otimes \mathcal{N}\) ）。則三個積分

\[ \iint f\, d(\mu\times\nu), \qquad \int \left( \int f(x,y)\, d\nu \right) d\mu(x), \qquad \int \left( \int f(x,y)\, d\mu \right) d\nu(y) \]

全部存在（允許 \(\infty\) ）且相等。

證明：分層推進（依賴 8.1 的截面引理）：

  1. 特徵函數： \(f = \chi_E\) ，截面 \(E_x = \{y : (x,y) \in E\}\) ，內積分 \(= \nu(E_x)\) ，由截面引理可測，且
\[ \int \nu(E_x)\, d\mu(x) = (\mu\times\nu)(E) \]

對 \(E\) 為矩形時成立；由「好集合族是 σ-代數」套路（8.1 引理的同款）推廣到全部可測 \(E\) ——這一步本質上用了 MCT（對集合用下連續性）。

  1. 簡單函數：線性組合，積分的線性直接給。

  2. 非負可測：單調遞增簡單函數 \(s_n \uparrow f\) （4.3 定理），每層對截面用 MCT（ \(\nu((s_n)_x) \uparrow \nu(f_x)\) ，因 \(s_n(x, \cdot) \uparrow f(x, \cdot)\) ），再對外層積分用 MCT。 \(\blacksquare\)

Tonelli 定理只要求非負——這在實戰中是巨大方便：想交換積分，先取絕對值驗證總積分有限（用 Tonelli 算 \(|f|\) 的二重積分），有限則下一個定理接管。

Fubini 定理：可積即交換#

定理 8.2.2（Fubini, 1907；現代形式）： \(f \in L^1(\mu \times \nu)\) 。則：

  1. 對 a.e. 的 \(x\) ， \(f(x, \cdot) \in L^1(\nu)\) ；
  2. \(x \mapsto \int f(x, y)\, d\nu\) 屬於 \(L^1(\mu)\) ；
  3. \(\displaystyle \iint f\, d(\mu\times\nu) = \int\!\int f\, d\nu\, d\mu = \int\!\int f\, d\mu\, d\nu\) 。

證明：把 \(f\) 拆成 \(f = f^+ - f^-\) ，正負部各非負。由 \(|f|\) 可積與 Tonelli：

\[ \int \left( \int |f|\, d\nu \right) d\mu = \iint |f| < \infty, \]

故 \(g(x) = \int |f(x,y)|\, d\nu\) a.e. 有限——即對 a.e. 的 \(x\) ， \(f(x, \cdot) \in L^1(\nu)\) 。在這些 \(x\) 上 \(\int f(x,\cdot) = \int f^+ - \int f^-\) 有定義；再對 \(x\) 積分（正負部各用 Tonelli 減出有限值）。兩個次序對稱處理。 \(\blacksquare\)

驗收流程（實戰 SOP）：要交換 \(\int\int f\) ： 1. 算 \(\iint |f|\) （用 Tonelli，隨便哪個次序）； 2. 有限 ⟹ Fubini 接管，隨便交換； 3. 無限 ⟹ 停！兩個次序可以都 \(= \infty\) （相容），也可以一個存在一個不存在（不容），甚至都不存在但重積分存在——必須逐一檢查。

反例畫廊#

例題 8.2.1： \(f(x, y) = \dfrac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2}\) 於 \((0,1)^2\) 。計算兩個次序的積分並解釋。

解：注意到 \(\dfrac{\partial}{\partial x}\left( \dfrac{-x}{x^2+y^2} \right) = \dfrac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}\) 。固定 \(y\) ，對 \(x\) 積分：

\[ \int_0^1 f(x, y)\, dx = \left[ \frac{-x}{x^2+y^2} \right]_0^1 = \frac{-1}{1+y^2}, \]

再對 \(y\) ： \(\int_0^1 \frac{-1}{1+y^2} dy = -\frac{\pi}{4}\) 。

反方向： \(\dfrac{\partial}{\partial y}\left( \dfrac{y}{x^2+y^2} \right) = \dfrac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\) ，固定 \(x\) 對 \(y\) ：

\[ \int_0^1 f\, dy = \frac{1}{1+x^2}, \qquad \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{4}. \]

** \(+\pi/4 \ne -\pi/4\) **。原因： \(\iint |f| = \infty\) （在原點附近 \(|f| \sim 1/r^2\) 型不可積），Fubini 的前提失效。原點是「無窮質量匯」，兩個次序以不同方式逼近它。

例題 8.2.2（離散反例，σ-有限失敗型）： \(X = Y = \mathbb{N}\) ， \(\mu\) = 計數測度， \(\nu\) = 計數測度。 \(a_{mn} = \delta_{mn}\) （單位矩陣）。交換求和：

解： \(\sum_m \sum_n a_{mn} = \sum_m 1 = \infty\) （每行恰一個 \(1\) ）， \(\sum_n \sum_m a_{mn} = \infty\) 同樣。這裡兩邊相容（都是 \(\infty\) ）。改 \(a_{mn} = \delta_{m0}\delta_{n0} - \delta_{m0}\delta_{n1} + \delta_{m1}\delta_{n0} - \delta_{m1}\delta_{n1} + \cdots\) 的交錯構造或經典的

\[ a_{mn} = \begin{cases} 1 & m = n \\ -1 & m = n+1 \\ 0 & \text{其他}\end{cases} \]

則 \(\sum_n a_{mn} = 0\) （ \(m = 0\) ）或 \(0\) ，各行的行和為 \(0\) ， \(\sum_m (\text{行和}) = 0\) ；而各列和為 \(\pm 1\) 型， \(\sum_n (\text{列和}) = 1\) 。 \(0 \ne 1\) ：Fubini 失敗，因為 \(\sum_{m,n} |a_{mn}| = \infty\) （計數測度乘積下非可積）。這在級數論中的對應物：條件收斂級數的重排（Riemann 級數定理）。

進一步的定理：條件積分與卷積#

定理 8.2.3（卷積的良定性）： \(f \in L^p(\mathbb{R})\) 、 \(g \in L^1(\mathbb{R})\) ，則卷積

\[ (f * g)(x) = \int_{\mathbb{R}} f(x - y)\, g(y)\, dy \]

對 a.e. 的 \(x\) 存在， \(f * g \in L^p\) ，且 \(\|f * g\|_p \le \|f\|_p \|g\|_1\) 。

證明思想：被積函數 \(h(x, y) = f(x-y)g(y)\) 非負絕對值可積（對 \((x, y)\) 積分，變數代換 + Fubini 交換 + Hölder，得 \(\iint |h| \le \|f\|_p\|g\|_1\) ），故 Fubini 保證內積分 a.e. 存在；卷積的 \(L^p\) 估計則由 Minkowski 對簡單函數逼近後取極限。 \(\blacksquare\)

卷積是傅立葉分析（第 10 章）的基本運算：時域卷積 = 頻域乘積。它的嚴格存在性——包括「a.e. 存在」這個微妙措辭——完全是 Fubini 定理的產物。

與其他章節的關聯#

  • 承 8.1：截面引理與乘積測度構造是證明的地基；σ-有限性是假設的一部分。
  • 承 5.2：Tonelli 的證明是 MCT 的連環應用；Fubini 的「先驗 \(|f|\) 」是 DCT/Tonelli 的組合拳。
  • 啟 8.3：Radon–Nikodym 的 von Neumann 證明在 \(X \times X\) 的乘積空間上做，直接用 Fubini。
  • 機率論：獨立隨機變數 \(\mathbb{E}[XY] = \mathbb{E}X\,\mathbb{E}Y\) 的證明就是 Fubini；Markov 鏈的 Chapman–Kolmogorov 方程是交換求和/積分的應用。
  • 偏微分方程：解的表示公式（熱核卷積）需要交換積分與微分，Fubini 是每一步的許可證。

本節要點#

  1. Tonelli：非負可測函數的三個積分恆等（允許 \(\infty\) ），證明是 MCT 的分層推進。
  2. Fubini： \(L^1\) 函數的積分次序可交換；驗收流程是「先對 \(|f|\) 用 Tonelli 驗總量」。
  3. \(\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\) 給出 \(\pm\pi/4\) 反例；計數測度下的矩陣給出 \(0 \ne 1\) 反例。
  4. 失敗的共同原因：絕對積分無窮——質量逃逸或集中在不可控制的區域。
  5. 卷積的存在性與 Young 不等式是 Fubini 的直接應用，通往調和分析。