8.3 RadonNikodym定理1930#

本章導言#

本書已多次遇見同一個問題的不同面貌：Stieltjes 積分何時化為普通積分（7.3）？分佈函數何時有密度（7.3）？不確定積分 \(F\) 何時等於 \(\int_a^x f\,dm\) （7.1）？統一答案是 Radon–Nikodym 定理：當測度 \(\nu\) 「絕對連續」於 \(\mu\) 時， \(\nu = f\,\mu\) （某可積密度函數 \(f\) ）。Johann Radon（1887–1956）1913 年在推廣 Lebesgue–Stieltjes 積分時證明了 σ-有限情形；Nikodym（Otton Nikodym, 1887–1974）1930 年去掉 σ-有限限制並完善一般理論。本節證明這個被 von Neumann 稱為「測度論基石」的定理，用他 1931 年的 Hilbert 空間證明——一個跨章節協作的漂亮示範。

絕對連續：從函數到測度#

定義 8.3.1：測度 \(\nu\) 絕對連續於 \(\mu\) （記 \(\nu \ll \mu\) ），若 \(\mu(E) = 0 \implies \nu(E) = 0\) 。 \(\nu\) 與 \(\mu\) 相互奇異（記 \(\nu \perp \mu\) ），若存在不交可測分割 \(X = A \sqcup B\) 使 \(\nu(A) = 0\) 、 \(\mu(B) = 0\) （各住在對方的零測地盤上）。

兩個概念精確回答 7.3 的分佈三分法：

關係	函數語言	機率語言
\(\nu = f\,\mu\)	\(F\) 絕對連續， \(f = F'\) a.e.	有密度的分佈
\(\nu \perp \mu\)	\(F\) 奇異（Cantor 型或離散）	奇異分佈
一般	Lebesgue 分解	ac + sc + d 三分解

例題 8.3.1：設 \(\mu\) 為 \([0,1]\) 上的 Lebesgue 測度、 \(\nu = 2\,\mu + \delta_{1/2}\) 。求 \(\nu\) 對 \(\mu\) 的 Lebesgue 分解，並判斷哪些部分絕對連續、哪些奇異。

解：取 \(A = [0,1] \setminus \{1/2\}\) 、 \(B = \{1/2\}\) 。 \(\mu(B) = 0\) 且 \(\nu(B) = 1\) （原子質量）， \(\nu(A) = 2\) 。於是奇異部分 \(\nu_s = \delta_{1/2}\) （住在 \(\mu\) 的零測集 \(B\) 上），絕對連續部分 \(\nu_a = 2\mu\) （密度 \(f = 2\) ）。驗證：對零測 \(E\) ， \(\nu(E) = 2 \cdot 0 + \delta_{1/2}(E) = 0\) 當 \(1/2 \notin E\) ；但若 \(1/2 \in E\) 且 \(\mu(E) = 0\) ， \(\nu(E) = 1 \ne 0\) ——**所以 \(\nu \not\ll \mu\) **，必須分解。分解唯一（見下）。

Radon–Nikodym 定理#

定理 8.3.2（Radon 1913；Nikodym 1930）： \(\mu, \nu\) 是 σ-有限測度， \(\nu \ll \mu\) 。則存在可測 \(f: X \to [0, \infty)\) 使

\[ \nu(E) = \int_E f\, d\mu \quad \forall E \text{ 可測}. \]

\(f\) 在 \(\mu\) -a.e. 意義下唯一，記 \(\dfrac{d\nu}{d\mu}\) （Radon–Nikodym 導數）。

證明一（von Neumann, 1931，Hilbert 空間路線）：假設先 \(\mu, \nu\) 有限且 \(\nu \ll \mu\) 。

在向量空間 \(\mathcal{L} = \{ (u, u) : u \in L^2(\mu + \nu) \}\) （嵌入 \(L^2(\mu+\nu) \to L^2(\mu) \times L^2(\nu)\) 的圖像）上定義內積

\[ \langle (u,u), (v,v) \rangle = \int uv\, d\mu + \int uv\, d\nu. \]

考慮線性泛函 \(T(u, u) = \int u\, d\nu\) 。關鍵估計：若 \(\|u\|_{L^2(\mu)} \to 0\) 且 \((u,u)\) 有界於 \(\mathcal{L}\) ，需證 \(T \to 0\) ——這正是 \(\nu \ll \mu\) 的翻譯（用 Chebyshev： \(\nu(\{|u| > \varepsilon\}) \le \frac{1}{\varepsilon^2} \int |u|^2 d\nu\) 與一致性論證，或取子列 a.e. 收斂 + DCT）。故 \(T\) 可連續延拓到閉包。
由 Riesz 表示定理（6.3），存在 \(h \in L^2(\mu + \nu)\) 使 \(\int u\, d\nu = \int uh\, d(\mu + \nu)\) 。檢驗 \(h\) 取值於 \((0, 1]\) （對示性函數驗證 \(\nu(E) = \int_E h\,d(\mu+\nu)\) 、 \(\mu(E) = \int_E (1-h)\, d(\mu+\nu)\) ， \(h \le 1\) 因左邊 \(\le\) 右邊的 \(\mu+\nu\) ）。
**令 \(f = h/(1-h)\) **。由逐項驗證：對簡單函數 \(s\) ，

\[ \int s\, d\nu = \int s\, \frac{h}{1-h}\, d\mu, \]

單調逼近推廣到非負可測 \(s\) （MCT）。取 \(s = \chi_E\) 得結論。唯一性：若 \(\int_E f_1 d\mu = \int_E f_2 d\mu\) 對所有 \(E\) ，取 \(E = \{f_1 > f_2 + 1/n\}\) 用有限性得矛盾。σ-有限情形用分割 \(\bigcup X_n\) 逐塊處理。 \(\blacksquare\)

證明二（經典路線，Radon–Nikodym 原始精神）：在有限情形考慮集合族 \(\mathcal{G} = \{ g \ge 0 : \int_A g\, d\mu \le \nu(A)\ \forall A \}\) ，取 \(\sup\) 積分值的極大化序列 \(g_n\) ，令 \(f = \sup g_n\) （逐點上確界）。用 Hahn 分解（7.2 定理 7.2.4）於符號測度 \(\nu - f\mu\) ：若剩餘部分非零，可在某處加上小密度改進 \(f\) ，與極大性矛盾。這個「極大化 + Hahn 分解」路線更接近歷史原貌，且直接推廣到 Lebesgue 分解。

定理 8.3.3（Lebesgue 分解, 1910）： \(\mu, \nu\) σ-有限。則存在唯一分解

\[ \nu = \nu_a + \nu_s, \qquad \nu_a \ll \mu,\ \nu_s \perp \mu. \]

證明思想：取 \(\nu_\varepsilon = \nu + \varepsilon\mu \gg \mu\) ，計算 \(f_\varepsilon = \frac{d\nu_\varepsilon}{d\mu}\) ，集合 \(A_\varepsilon = \{f_\varepsilon > \varepsilon\}\) 上證 \(\nu \ll \mu|_{A}\) （ \(A = \bigcup_{n} A_{1/n}\) ）， \(\nu_s = \nu|_{X \setminus A}\) 奇異。唯一性由絕對連續與奇異部分的不相容性。 \(\blacksquare\)

非σ-有限時會怎樣：一個警示#

σ-有限性不只是技術假設。取不可數集 \(X\) 、 \(\mathcal{M} = \{E : E \text{ 或 } E^c \text{ 可數}\}\) 、 \(\mu(E) = 0\) 若 \(E\) 可數、 \(\mu(E) = \infty\) 若 \(E^c\) 可數（計數測度的 0–∞ 變體）， \(\nu\) 為計數測度。則 \(\nu \ll \mu\) （ \(\mu\) 零測集只有可數空集……實際上 \(\mu(E) = 0 \iff E\) 可數，而可數集上 \(\nu(E)\) 可數無窮——所以 \(\nu \not\ll \mu\) ，此例需微調）。正確的警示例： \(\mu\) 為 0–∞ 測度、 \(\nu(E) = \#E\) 於可數集上；此時 \(\nu \ll \mu\) 成立（ \(\mu(E) = 0\) 時 \(E\) 有限 ⟹ \(\nu\) 有限但未必為零——需再調整），可見 0–∞ 型測度上 R–N 分解會失效：存在 \(\nu \ll \mu\) 卻無密度 \(f\) 使 \(\nu = f\mu\) 的情形（ \(\mathbb{R}\) 上 \(\mu =\) 0–∞ 測度、 \(\nu =\) Lebesgue 測度於某集）。這些構造說明：R–N 定理的每個假設（σ-有限、完備性與否）都有存在的理由，抽象框架的價值正在於能精確指出假設何時必需。

鏈式法則與應用#

定理 8.3.4（Radon–Nikodym 鏈式法則）： \(\lambda \ll \nu \ll \mu\) 則 \(\lambda \ll \mu\) 且

\[ \frac{d\lambda}{d\mu} = \frac{d\lambda}{d\nu} \cdot \frac{d\nu}{d\mu} \quad (\mu\text{-a.e.}). \]

證明思想：對非負 \(s\) ， \(\int s\, d\lambda = \int s \frac{d\lambda}{d\nu}\, d\nu = \int s \frac{d\lambda}{d\nu} \frac{d\nu}{d\mu}\, d\mu\) （兩次用定義）。這是微積分鏈式法則的測度論版本。 \(\blacksquare\)

例題 8.3.2（機率應用）： \(X\) 是 \(\Omega\) 上的隨機變數，其分佈 \(\nu = \mathbb{P} \circ X^{-1}\) 在 \(\mathbb{R}\) 上， \(\mu =\) Lebesgue 測度。若 \(\nu \ll \mu\) ，密度 \(p = \frac{d\nu}{d\mu}\) 就是初等機率的「機率密度函數」，且 \(\mathbb{E}[g(X)] = \int g(x) p(x)\, dx\) ——期望值的 Lebesgue–Stieltjes 定義（7.3）化為普通積分。

解：對可測 \(g\) ，用 Radon–Nikodym 與「分佈測度的積分變換」：

\[ \mathbb{E}[g(X)] = \int_\Omega g(X)\, d\mathbb{P} = \int_{\mathbb{R}} g(x)\, d\nu(x) = \int_{\mathbb{R}} g(x)\, p(x)\, dx. \]

中間等式是「測度搬運」定理（change of variables），其證明同樣是簡單函數逼近 + MCT。這三個積分相等是機率論中每一個「期望 = 積分」公式的最終依據。

例題 8.3.3： \(\mu\) 為 \([0,1]\) 上 Lebesgue 測度， \(\nu\) 為 Cantor 測度（分佈函數是 Cantor 函數）。證明 \(\nu \perp \mu\) 並寫出 Lebesgue 分解。

解：Cantor 函數 \(F\) 把零測的 Cantor 集 \(C\) 映滿 \([0,1]\) ： \(\nu(C) = 1\) 而 \(\mu(C) = 0\) ，故 \(\nu\) 集中在 \(C\) 上 ⟹ \(\nu \perp \mu\) 。Lebesgue 分解： \(\nu_a = 0\) 、 \(\nu_s = \nu\) （取 \(A = C\) 、 \(B = [0,1]\setminus C\) ： \(\nu(B) = 0\) 因 \(F\) 在補集上為常數， \(\mu(A) = 0\) ）。Cantor 測度是純奇異連續分佈：無原子（ \(F\) 連續）也無密度（ \(\nu \not\ll \mu\) ）——它是三分法的第三種成分的標本。

密度與導數：兩種 R–N 的統一#

本節定理使本書兩條「密度」線索合流：

線索一（函數論）： \(F\) 遞增右連續誘導 \(\mu_F\) （7.3），則

\[ \mu_F \ll m \iff F \text{ 絕對連續} \iff \frac{d\mu_F}{dm}(x) = F'(x) \ \text{a.e.} \]

即 R–N 導數 = 經典導數（a.e.）。這個等式是 7.1 Vitali–Lebesgue 定理的測度論重述：微積分基本定理在測度語言中就是「 \(\mu_F = F' \cdot m\) 」。

線索二（機率論）：條件密度、概似函數、Girsanov 導數都是各種 R–N 導數的具名化身（9.3、統計學）。統計學的 Neyman–Pearson 引理（1933，與 Kolmogorov 公理化同年）的概似比 \(\Lambda = \frac{d\mathbb{P}_1}{d\mathbb{P}_0}\) 正是本節導數——假設檢驗的整座理論建立在 8.3 之上。

例題 8.3.4： \(\mu\) 為 \([0,1]\) 上 Lebesgue 測度， \(\nu(E) = \int_E x^2\,dm + 2\,\mu(E \cap \{1/2\})\) 型混合（嚴格地： \(\nu = x^2 m + \delta_{1/2}\) ）。求 \(\frac{d\nu_a}{d\mu}\) 與奇異部分。

解： \(\nu_a = x^2 m\) ，密度 \(f(x) = x^2\) ；奇異部分 \(\nu_s = \delta_{1/2}\) （集中在零測集 \(\{1/2\}\) ）。驗證唯一性：任何分解 \(\nu = f_1 m + \nu_{s,1}\) ，對 \(E \subseteq \{1/2\}\) 零測： \(\nu(E) = \delta_{1/2}(E) = f_1 m(E) + \nu_{s,1}(E)\) ，強制 \(\nu_{s,1}(\{1/2\}) = 1\) 與 \(f_1\) 在該點的自由（零測集上密度可任意改）。唯一性永遠是 a.e. / 例外集意義下的——這是本書反覆出現的等價類哲學（4.3、6.1）的最後一站。

歷史意義與後續#

Radon–Nikodym 定理是抽象測度論的成人禮：它證明抽象框架不只是形式化，而是能證出無法在具體框架中方便表述的定理。後續影響：

條件期望（9.3）： \(\mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}]\) 的存在性定理就是 Radon–Nikodym 定理在機率測度上的應用——這是 Kolmogorov 1933 年公理化中最深的一步。
Malliavin 分析、隨機微積分：Girsanov 定理（測度變換）本質是 Radon–Nikodym 導數的隨機版本。
統計學：概似函數的定義 \(\frac{d\mathbb{P}_\theta}{d\mu}\) 、Neyman–Pearson 引理，全部以本定理為地基。
譜理論：譜測度的分解（純點/絕對連續/奇異連續譜）就是 Lebesgue 分解——von Neumann 對本定理的興趣正是來自量子力學的譜分解需求。

與其他章節的關聯#

承 7.1：絕對連續函數 = 不定積分的條件，正是「 \(\mu_F \ll m \iff F \in AC\) 」；本定理完成其一般證明。
承 7.3：Stieltjes 測度 \(\mu_\alpha\) 對 \(dm\) 的 R–N 導數就是 \(\alpha\) 的 a.e. 導數——密度即導數。
承 6.3、7.2：von Neumann 證明用 Riesz 表示定理；經典證明用 Hahn 分解。
啟 9.2、9.3：機率測度的等價與絕對連續、條件期望的存在性。
調和分析：對偶空間的刻畫（ \(L^1\) 的對偶是 \(L^\infty\) 、 \(C_0^* =\) 有限測度）由本定理 + Riesz 表示完成。

本節要點#

\(\nu \ll \mu\) （零測集零測度）與 \(\nu \perp \mu\) （互住零測地盤）是兩種基本關係。
Radon–Nikodym： \(\nu \ll \mu \iff \nu = f\mu\) ，密度 \(d\nu/d\mu\) a.e. 唯一。
Lebesgue 分解：任何 σ-有限 \(\nu = \nu_a + \nu_s\) ，唯一；Cantor 測度是純奇異標本。
鏈式法則 \(d\lambda/d\mu = (d\lambda/d\nu)(d\nu/d\mu)\) 使密度運算像微積分。
條件期望、統計概似、譜分解、Girsanov——本定理是現代分析的最大單點樞紐之一。