10.1 Sobolev空間與弱導數#

本章導言#

十九世紀末，數學家發現偏微分方程的「解」經常不是可微函數：熱傳導方程的初值可以是階梯函數，波動方程的解可以帶激波。經典導數的框架太小了。1936 年，俄國數學家 Sergei Sobolev（1908–1989，研究流體力學中的波動方程）正式提出弱導數與 Sobolev 空間 \(W^{k,p}\) ——導數不必逐點存在，只需在「對檢驗函數積分後」的分部積分意義下存在。這一招把 PDE 理論從絕境中救出：解的存在性、唯一性、正則性理論從此有了通用語言。本節是一維與多維的入門，也是全書測度論工具的最終應用場景。

歷史：PDE 的存在性危機#

年代	人物	事件
1880s	Neumann, Schwarz	Dirichlet 原理的嚴格化嘗試
1900	Hilbert	Dirichlet 原理的變分修復（第 20 問題牽涉 PDE 正則性）
1910s	Volterra, Levi	變分方法的直接法
1920s	Wiener, Fréchet	「廣義函數」的零星出現
1934	Leray	弱解概念（Navier–Stokes），Leray–Schauder 理論
1936	Sobolev	弱導數與嵌入定理
1950s	Schwartz	分佈理論統一框架（Fields 獎 1950）

Hilbert 第 20 問題明確要求：「變分法中每個（合理的）邊值問題都有解」——但「解」是什麼？經典函數不夠用。Sobolev 的答案：把解放在更大的函數空間裡找（弱解），再證明它比表面看起來更正則（正則性理論）。「先擴大空間、再證收縮」成為 PDE 的總戰略。

弱導數的定義#

定義 10.1.1（檢驗函數與弱導數）： \(C_c^\infty(\Omega)\) 是緊支集光滑函數（檢驗函數）。 \(u \in L^1_{\text{loc}}(\Omega)\) 的弱導數 \(D^\alpha u \in L^1_{\text{loc}}\) 滿足：對所有 \(\varphi \in C_c^\infty\) ，

\[ \int_\Omega u\, (-1)^{|\alpha|} D^\alpha \varphi\, dm = \int_\Omega D^\alpha u \cdot \varphi\, dm. \]

證明思想（良定性）：由分部積分（多維 Stokes 定理，邊界項因緊支集消失），經典導數滿足此式；唯一性由基本引理（變分法基本引理，du Bois-Reymond）： \(\int f\varphi = 0\ \forall \varphi \in C_c^\infty \implies f = 0\) a.e.（證明用 Chebyshev + 檢驗函數逼近示性函數，反證）。 \(\blacksquare\)

弱導數的出發點是分部積分作為定義——把「導數」從點態性質變成積分恆等式。這正是 7.1 絕對連續性思想的極限推廣：一維時 \(u \in W^{1,1}(a,b) \iff u\) 絕對連續（且弱導數 = a.e. 導數），第 7 章的理論成為特例。

Sobolev 空間#

定義 10.1.2： \(W^{k,p}(\Omega) = \{ u \in L^p : D^\alpha u \in L^p,\ |\alpha| \le k \}\) ，範數

\[ \|u\|_{W^{k,p}} = \sum_{|\alpha| \le k} \|D^\alpha u\|_p \quad \text{（或等價的單一公式）}. \]

\(W_0^{k,p}\) ： \(C_c^\infty\) 在此範數下的閉包（「零邊界條件」）。 \(H^k = W^{k,2}\) 是 Hilbert 空間（內積 \(\langle u, v\rangle_{H^k} = \sum_\alpha \langle D^\alpha u, D^\alpha v\rangle_{L^2}\) ）。

定理 10.1.3（完備性）： \(W^{k,p}\) 是 Banach 空間（ \(1 \le p \le \infty\) ）。

證明思想：Cauchy 列 \(\{u_n\}\) 的各階弱導數也是 Cauchy 列；由 \(L^p\) 完備性（6.2！）各收斂；取極限 \(u\) 與 \(\{v_\alpha\}\) ，在弱導數定義式兩邊取極限（ \(L^p\) 收斂允許與積分交換，Hölder）驗證 \(v_\alpha = D^\alpha u\) 。 \(\blacksquare\)

注意這個證明就是 6.2 Riesz–Fischer 四步曲的直接複用——Sobolev 空間的存在本身是 \(L^p\) 完備性的紅利。

嵌入定理與緊性#

Sobolev 空間最深刻的結果是嵌入定理——「導數可積性兌換函數正則性」的匯率表：

定理 10.1.4（Sobolev 嵌入，一維情形）： \(W^{1,p}(a,b) \hookrightarrow L^q\) 對一切 \(q \in [p, \infty]\) ，且 \(W^{1,p}\) 函數有連續代表（ \(p > 1\) 時 Hölder \(\frac11 - \frac1p\) ）。

證明思想（一維，完整且短）： \(u\) 絕對連續（7.1），故 \(u(x) - u(y) = \int_y^x u'\,dm\) ，Hölder 給

\[ |u(x)| \le |u(y)| + \|u'\|_1 \implies |u(x)| \le |(a,b) \text{ 上的平均}| + \|u'\|_1 \le C\|u\|_{W^{1,1}}, \]

有界 ⟹ \(L^\infty\) ⟹ 嵌入 \(L^q\) 。連續性同理由絕對連續性（積分的絕對連續性）。 \(\blacksquare\)

多維的情形由維數決定匯率： \(W^{1,p}(\mathbb{R}^n) \hookrightarrow L^{p^*}\) ， \(\frac{1}{p^*} = \frac1p - \frac1n\) （ \(p < n\) 時）——臨界指數 \(p^*\) 在變分法與 Yamabe 問題中成為主角。緊嵌入（Rellich–Kondrachov）： \(W^{1,p} \hookrightarrow\hookrightarrow L^q\) （ \(q < p^*\) ）——緊性使變分問題的極小化序列有收斂子列，這是 Hilbert 第 20 問題的引擎。

例題#

例題 10.1.1：證明階梯函數 \(u = \chi_{(0,\infty)}\) 於 \((-1, 1)\) 屬於 \(L^p\) 但不屬於任何 \(W^{1,p}(-1,1)\) （ \(1 \le p < \infty\) ）；再證明 \(u(x) = |x|\) 屬於 \(W^{1,\infty}\) 但不在 \(C^1\) 。

解：假設 \(D u = g \in L^p\) 存在。取檢驗函數 \(\varphi \to \chi_{(-\varepsilon, \varepsilon)}\) 型逼近，弱導數定義給

\[ \int g\, \varphi \to -\int u\, \varphi' \to -\varphi(0) \cdot \big(u(0^+) - u(0^-)\big) = -\varphi(0). \]

若 \(g \in L^1\) ，左邊 \(\le \|\varphi\|_\infty \|g\|_1\) 連續依賴於 \(\varphi\) ；但取 \(\varphi_n\) 支集收縮到 \(0\) 、 \(\varphi_n(0) = 1\) ，右邊恆為 \(-1\) ，左邊 \(\to 0\) （ \(g \in L^1\) + 支集收縮 ⟹ 積分 \(\to 0\) ，絕對連續性 7.1）。矛盾。跳躍函數的弱導數是 \(\delta\) 測度而非 \(L^p\) 函數——這正是分佈理論（Schwartz）要處理的對象，Sobolev 空間只收容「導數可積」的函數。

\(|x|\) ：弱導數是 \(\text{sgn}(x) \in L^\infty\) （分部積分驗證： \(\int |x| \varphi' = -\int \text{sgn}(x)\varphi\) ，在 \(0\) 兩側分部積分，邊界項相消）。故 \(|x| \in W^{1,\infty}\) （Lipschitz 函數全體 = \(W^{1,\infty}\) ，見下），但 \(|x|\) 在 \(0\) 不可微。弱導數框架下， \(|x|\) 是「光滑程度中等」的函數——這在最小曲面、彈性力學中是標準姿態。

例題 10.1.2（Poincaré 不等式）：證明 \(u \in W_0^{1,p}(a, b)\) 滿足 \(\|u\|_p \le (b - a)\, \|u'\|_p\) 。

解： \(u\) 絕對連續且 \(u(a) = 0\) （邊界條件的意義），故 \(u(x) = \int_a^x u'\) ，Hölder：

\[ |u(x)| \le \int_a^b |u'| \le (b-a)^{1/q}\, \|u'\|_p, \]

兩邊 \(p\) 次方對 \(x\) 積分（ \(q\) 為共軛指數， \(p/q + 1 = p\) ）得 \(\|u\|_p^p \le (b-a)^p \|u'\|_p^p\) 。 \(\blacksquare\)

Poincaré 不等式是變分法直接法的燃料：它使能量泛函 \(\int (|u'|^p + |u|^p)\) 的極小化序列在 \(W^{1,p}\) 中有界，配合緊嵌入取得極小元——「弱解存在」的標準流水線。多維版本 \(\|u\|_p \le C \|\nabla u\|_p\) 是特徵值問題（Dirichlet 特徵值下界）與 PDE 理論的支柱。

分佈理論的位置：Sobolev 與 Schwartz 的分工#

Sobolev（1936）與 Schwartz（1950）常被混淆，精確分工如下：

Schwartz 分佈（廣義函數）： \(C_c^\infty\) 上的連續線性泛函。 \(\delta\) 、任何 \(L^1_{\text{loc}}\) 函數、跳躍函數的導數全是分佈。分佈空間對一切階導數封閉——這是它的超能力。
Sobolev 空間：分佈中「導數仍在 \(L^p\) 內」的那一層，即 \(W^{k,p} = \{ u \in \mathcal{D}' : D^\alpha u \in L^p,\ |\alpha| \le k \}\) 。Sobolev 空間是分佈空間與 \(L^p\) 的交界面。

分層圖像：

\[ C^\infty \subset C^k \subset \cdots \subset W^{k,p} \subset L^p \subset L^1_{\text{loc}} \subset \mathcal{D}'. \]

Schwartz 的貢獻是提供「一切導數都存在」的宇宙 \(\mathcal{D}'\) ，使微分方程可以先在宇宙中求解（分佈解）、再證明解落在更小的層（正則性）。Sobolev 空間則是「可積性層級」的標尺——兩者合起來構成現代 PDE 的語法：方程寫在分佈裡，正則性量在 Sobolev 空間裡。

例題 10.1.3：用分佈語言重新表述例題 10.1.1 的結論： \(\chi_{(0,\infty)}\) 的分佈導數是什麼？

解：對 \(\varphi \in C_c^\infty\) ： \(\langle D\chi_{(0,\infty)}, \varphi \rangle = -\int \chi_{(0,\infty)} \varphi' = \varphi(0)\) （分部積分， \(0\) 處的跳躍產生邊界項）。故 \(D\chi_{(0,\infty)} = \delta_0\) ——Dirac 測度。這也回頭解釋了 7.3：Stieltjes 積分中跳躍函數的「導數」本來就應該是點質量；分佈理論與 Stieltjes 測度在 \(\delta\) 上會合。跳躍函數被 \(W^{1,p}\) 拒絕（導數不是函數），但被分佈宇宙收留（導數是測度）——被拒絕的理由恰恰是分類的資訊。

與其他章節的關聯#

承 7.1： \(W^{1,1} =\) AC；弱導數是絕對連續性的多維推廣。
承 6.2：完備性證明 = Riesz–Fischer 四步曲； \(H^k\) 是 Hilbert 空間（6.3）。
承 8.3：分佈的導數理論中，R–N 分解區分「 \(L^p\) 部分」（Sobolev 空間）與「奇異部分」（ \(\delta\) 型）。
承 5、9 章：MCT/DCT 在弱收斂論證中反覆出現；機率論中 \(H^1\) = 隨機變數 + 協方差結構，條件期望 = 投影（9.3 與 10.1 在 Hilbert 框架下匯合）。
調和分析（下節）：Fourier 變換把 \(H^s\) 範數變成加權 \(\ell^2/\int (1+|\xi|^2)^s |\hat u|^2\) ——正則性的頻譜刻畫。
向前：橢圓正則性（弱解 → 光滑解）、Calderón–Zygmund 理論、現代幾何分析（Ricci 流的正則性）都操作在 Sobolev 空間上。

本節要點#

弱導數 = 分部積分恆等式；經典導數的推廣，a.e. 唯一。
\(W^{k,p}\) 完備（Riesz–Fischer 紅利）； \(W^{1,1}\) 一維 = AC 函數。
嵌入定理兌換正則性；緊嵌入供給變分法的緊性。
跳躍函數被拒於門外（弱導數是 \(\delta\) ）， \(|x|\) 是 \(W^{1,\infty}\) ——框架的精確邊界。
Poincaré 不等式 + 直接法 = PDE 存在性的標準流水線；Hilbert 第 20 問題由此起跑。