附錄 A：常用點群的特徵標表速查#
本附錄收錄化學中最常見的點群特徵標表，供閱讀第 1、2 章及光譜分析時查閱。
A.1 \(C_{2v}\) （例：H₂O、SO₂）#
| \(C_{2v}\) | \(E\) | \(C_2\) | \(\sigma_v(xz)\) | \(\sigma_v'(yz)\) | 基函數 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(A_1\) | 1 | 1 | 1 | 1 | \(z\) ； \(x^2,y^2,z^2\) |
| \(A_2\) | 1 | 1 | −1 | −1 | \(R_z\) ； \(xy\) |
| \(B_1\) | 1 | −1 | 1 | −1 | \(x\) ； \(R_y\) ； \(xz\) |
| \(B_2\) | 1 | −1 | −1 | 1 | \(y\) ； \(R_x\) ； \(yz\) |
A.2 \(C_{3v}\) （例：NH₃、CH₃Cl）#
| \(C_{3v}\) | \(E\) | \(2C_3\) | \(3\sigma_v\) | 基函數 |
|---|---|---|---|---|
| \(A_1\) | 1 | 1 | 1 | \(z\) ； \(x^2+y^2,z^2\) |
| \(A_2\) | 1 | 1 | −1 | \(R_z\) |
| \(E\) | 2 | −1 | 0 | \((x,y)\) ； \((x^2-y^2,xy)\) |
A.3 \(D_{\infty h}\) 簡表（例：CO₂、N₂）#
線性分子的對稱性需用無限群。常用記號：
| 不可約表示 | 意義 |
|---|---|
| \(\Sigma^+\) | 沿鍵軸對稱 |
| \(\Sigma^-\) | 沿鍵軸反對稱 |
| \(\Pi\) | 雙重簡併，垂直軸 |
| \(\Delta\) | 雙重簡併，更高角動量 |
| 下標 \(g/u\) | 對反演中心對稱／反對稱 |
A.4 \(T_d\) （例：CH₄、SO₄²⁻）#
| \(T_d\) | \(E\) | \(8C_3\) | \(3C_2\) | \(6S_4\) | \(6\sigma_d\) | 基函數 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A_1\) | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | \(x^2+y^2+z^2\) |
| \(A_2\) | 1 | 1 | 1 | −1 | −1 | — |
| \(E\) | 2 | −1 | 2 | 0 | 0 | \((2z^2-x^2-y^2,\ x^2-y^2)\) |
| \(T_1\) | 3 | 0 | −1 | 1 | −1 | \((R_x,R_y,R_z)\) |
| \(T_2\) | 3 | 0 | −1 | −1 | 1 | \((x,y,z)\) ； \((xy,xz,yz)\) |
A.5 \(O_h\) （例：SF₆、八面體錯合物）#
| \(O_h\) | \(E\) | \(8C_3\) | \(6C_2\) | \(6C_4\) | \(3C_2(=C_4^2)\) | \(i\) | \(6S_4\) | \(8S_6\) | \(3\sigma_h\) | \(6\sigma_d\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(A_{1g}\) | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| \(A_{2g}\) | 1 | 1 | −1 | −1 | 1 | 1 | −1 | 1 | 1 | −1 |
| \(E_g\) | 2 | −1 | 0 | 0 | 2 | 2 | 0 | −1 | 2 | 0 |
| \(T_{1g}\) | 3 | 0 | −1 | 1 | −1 | 3 | 1 | 0 | −1 | −1 |
| \(T_{2g}\) | 3 | 0 | 1 | −1 | −1 | 3 | −1 | 0 | −1 | 1 |
| \(A_{1u},A_{2u},E_u,T_{1u},T_{2u}\) | …（ \(u\) 表示反演後變號） |
其中 \(T_{1u}\) 對應 \((x,y,z)\) ——八面體錯合物中金屬 \(p\) 軌域的對稱性； \(E_g\) 與 \(T_{2g}\) 則是 \(d\) 軌域在配位場下的分裂，這正是配位場理論（第 2.3 節）的核心。
A.6 使用特徵標表的標準流程#
- 定點群：找出分子的對稱元素，查分類樹。
- 寫下可約表示 \(\Gamma\) ：對每個類計算操作後「不變向量數」（特徵標）。
- 約化：
\[ a_i = \frac{1}{h}\sum_R \chi_i^*(R)\,\chi_\Gamma(R)\,N_R \]
其中 \(h\) 為群階、 \(N_R\) 為該類元素個數。 4. 解讀：判斷 IR/Raman 活性、軌域混合可行性。
小結#
特徵標表是「分子的代數身分證」：只要知道點群，即可不求解薛丁格方程而預測光譜選擇定則與軌域交互作用——這是群論賦予化學最實用的禮物。