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2.2 第一基本形式#

導言：在曲面上量長度#

給定參數化 \(r(u,v)\) ，如何計算曲面上一條曲線的長度？答案引出第一基本形式——曲面的內蘊度量。這一節是全書的樞紐：Gauss 絕妙定理、Riemann 幾何、廣義相對論的度量張量，全部從這裡出發。

歷史線索#

Gauss 在 1827 年的論文中以 \(E, F, G\) 記號書寫（沿用至今）；而「度量決定幾何」的思想，在 1854 年被 Riemann 推廣到任意維（第 5 章），最終成為 1915 年廣義相對論中「物質告訴時空如何彎曲」的數學載體。

弧長元素與度量係數#

推導#

曲面上的曲線 \(\gamma(t) = r(u(t), v(t))\) ，速度

\[ \gamma' = u' r_u + v' r_v \]

故速率平方

\[ |\gamma'|^2 = |\gamma' \cdot \gamma'| = u'^2 |r_u|^2 + 2u'v' (r_u \cdot r_v) + v'^2 |r_v|^2 \]

記

\[ E = \langle r_u, r_u\rangle, \qquad F = \langle r_u, r_v\rangle, \qquad G = \langle r_v, r_v\rangle \]

得第一基本形式：

\[ \boxed{\ I = E\, du^2 + 2F\, du\, dv + G\, dv^2\ } \]

即線元素 \(ds^2 = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2\) 。矩陣形式

\[ g = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \]

是對稱正定矩陣（ \(E > 0\) 、 \(EG - F^2 > 0\) 由 Cauchy–Schwarz 與正則性保證）。

三個基本量#

  1. 曲線長度： \(L = \int \sqrt{E u'^2 + 2F u'v' + G v'^2}\; dt\) 。
  2. 面積元素： \(dA = |r_u \times r_v|\, du\, dv = \sqrt{EG - F^2}\; du\, dv\) （由 Lagrange 恆等式 \(|a\times b|^2 = |a|^2|b|^2 - (a\cdot b)^2\) ）。
  3. 角度：兩方向 \((du, dv)\) 與 \((\delta u, \delta v)\) 的夾角由 \(E, F, G\) 完全決定：
\[ \cos\theta = \frac{E\,du\,\delta u + F(du\,\delta v + dv\,\delta u) + G\,dv\,\delta v}{\sqrt{Edu^2+2Fdudv+Gdv^2}\,\sqrt{E\delta u^2+2F\delta u\delta v+G\delta v^2}} \]

長度、角度、面積——曲面內蘊幾何的三要素全部由 \(E, F, G\) 決定。

座標變換律#

在 \(\tilde r(\tilde u, \tilde v) = r(u, v)\) 之下：

\[ \tilde E = E u_{\tilde u}^2 + 2F u_{\tilde u}v_{\tilde u} + G v_{\tilde u}^2, \quad \ldots \]

緊湊寫法：

\[ \tilde g = J^T g\, J, \qquad J = \frac{\partial(u, v)}{\partial(\tilde u, \tilde v)} \]

這是二階協變張量的變換律；面積元素滿足 \(d\tilde A = \sqrt{|\tilde g|}\, d\tilde u d\tilde v = \sqrt{|g|}\, du\, dv\) （Jacobi 行列式相消）——積分是座標不變的。

內蘊與外蘊：鍍金層與毛蟲#

兩種觀點#

  • 外蘊觀點：曲面放在 \(\mathbb{R}^3\) 中，用 \(n\) 、第二基本形式描述彎曲。
  • 內蘊觀點：只允許在曲面上生活與測量（如毛蟲爬行、如二維生物無法離開紙面），只用 \(E, F, G\) 。

Gauss 的偉大發現（3.2 節）：Gauss 曲率 \(K\) 是內蘊量——毛蟲可以測出它的世界是否彎曲。這一思想經 Riemann 推廣，成為愛因斯坦「重力 = 時空內蘊幾何」的哲學基礎（8.1、8.2 節）。

正交座標與等溫座標#

  • 正交座標： \(F = 0\) （參數曲線族互相垂直），線元素簡化為 \(ds^2 = E\,du^2 + G\,dv^2\) 。
  • 弧長參數推廣——等溫座標：局部總可取座標使 \(ds^2 = \lambda^2 (du^2 + dv^2)\) （Gauss, 1825）。此時 Laplace 算子有優美形式 \(\Delta = \lambda^{-2}(\partial_u^2 + \partial_v^2)\) ，與複分析的解析函數理論直接相通。

例題#

例題 1：球面的第一基本形式#

取 \(r(\theta, \phi) = (R\sin\theta\cos\phi, R\sin\theta\sin\phi, R\cos\theta)\) ，已知

\[ r_\theta = (R\cos\theta\cos\phi, R\cos\theta\sin\phi, -R\sin\theta), \qquad r_\phi = (-R\sin\theta\sin\phi, R\sin\theta\cos\phi, 0) \]

計算：

\[ E = |r_\theta|^2 = R^2(\cos^2\theta\cos^2\phi + \cos^2\theta\sin^2\phi + \sin^2\theta) = R^2 \]
\[ F = r_\theta \cdot r_\phi = -R^2\cos\theta\sin\theta\cos\phi\sin\phi + R^2\cos\theta\sin\theta\sin\phi\cos\phi + 0 = 0 \]
\[ G = |r_\phi|^2 = R^2\sin^2\theta(\sin^2\phi + \cos^2\phi) = R^2\sin^2\theta \]

故

\[ ds^2 = R^2\, d\theta^2 + R^2\sin^2\theta\; d\phi^2 \]

應用——面積： \(dA = \sqrt{EG - F^2}\,d\theta d\phi = R^2\sin\theta\, d\theta d\phi\) ，全域積分

\[ A = \int_0^{2\pi}\int_0^\pi R^2\sin\theta\, d\theta\, d\phi = 4\pi R^2 \]

應用——緯線長度：緯度 \(\theta = \theta_0\) 的緯線 \(v(\phi) = \theta_0, u = \phi\) ： \(L = \int_0^{2\pi} \sqrt{G}\,d\phi = 2\pi R\sin\theta_0\) ——赤道最長，向兩極收縮為零。✓

例題 2：Mercator 海圖的奧秘#

Mercator 投影（1569）把球面映到平面上， \(u = \phi\) 、縱座標 \(v\) 滿足 \(dv = d\theta / \sin\theta\) ，即 \(v = \ln\tan(\theta/2)\) 。球面度量在此座標下：

\[ ds^2 = R^2\sin^2\theta\,(du^2 + dv^2) \]

（驗證： \(d\theta = \sin\theta\,dv\) ，代入 \(R^2 d\theta^2 + R^2\sin^2\theta d\phi^2\) 即得。）這是等溫座標形式！其幾何後果：

  • 度量是純量因子乘以歐氏度量，故保角：海圖上量出的方向角與球面實際方向角一致——航海羅盤航向（等角航線）在海圖上是直線。這就是 Mercator 圖五百年不衰的原因。
  • 純量因子 \(\lambda = R\sin\theta\) 說明高緯度被放大——格陵蘭看似比非洲大，面積失真的數學根源。

這個例題展示：座標選擇本身就是幾何工具——好的座標揭露結構（保角性），正如好的規範揭露物理（9.3 節）。

面積與積分：向量微積分的銜接#

曲面積分#

向量場 \(F\) 過曲面的通量：

\[ \iint_S F \cdot n\; dA = \iint_U F(r(u,v)) \cdot \left( r_u \times r_v \right) du\, dv \]

其中 \(dA = |r_u \times r_v|du\,dv = \sqrt{EG-F^2}\,du\,dv\) 。第一基本形式給出 \(dA\) ，是 Gauss 散度定理與 Stokes 定理（向量微積分三大定理）的計算基礎。

極小曲面的面積泛函#

面積 \(A = \iint\sqrt{EG - F^2}\, du\, dv\) 對參數化的變分導出極小曲面方程（Lagrange 1762、Meusner 1776、Plateau 實驗 1873）：肥皂膜的形狀使面積極小。這是變分法與幾何分析的誕生地之一，現代以算子理論（最小特徵值的變分刻畫）與 PDE 技術研究。

表格總結：第一基本形式給出什麼#

幾何量 公式 使用的係數
曲線長 \(\int\sqrt{Eu'^2+2Fu'v'+Gv'^2}\,dt\) \(E,F,G\)
面積元素 \(\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv\) \(EG-F^2\)
夾角 上述 \(\cos\theta\) 公式 \(E,F,G\)
參數曲線夾角 \(\cos\omega = F/\sqrt{EG}\) \(F\)
等距/保角檢驗 比較兩曲面的 \(I\) \(E,F,G\) 的關係

映射的兩大類型#

  • 等距映射（isometry）：保持第一基本形式 ⟹ 保持長度、角度、面積、（將證）Gauss 曲率。例：圓柱面與其展開的平面（剪開攤平）。
  • 保角映射（conformal）：保持角度（ \(\tilde I = \lambda^2 I\) ）。例：Mercator 投影、球極投影。

判別方法（Gauss, 1822 保角映射定理）：兩曲面的度量可同時化為等溫形式 \(\lambda^2(du^2+dv^2)\) 與 \(\mu^2(du^2+dv^2)\) ⟺ 可保角映射。

內蘊距離#

內蘊度量#

兩點的內蘊距離定義為曲面上連接它們的最短曲線長：

\[ d(p, q) = \inf_{\gamma \subset S} L(\gamma) \]

這只用到第一基本形式。局部上最短曲線存在，即測地線（3.1 節）；全域上可能不存在（如球面上對蹠點之間有無窮多最短線）。

度量空間觀點#

\((S, d)\) 是完備度量空間當且僅當曲面作為 Riemann 流形完備（Hopf–Rinow 定理, 1931）。這條定理把「內蘊距離」與「測地線的存在性」聯繫起來，是 Riemann 幾何基礎定理之一，也是廣義相對論中奇點定理（Penrose–Hawking, 1960 年代）的分析工具之一。

歷史與新問題#

解決了什麼#

\(E, F, G\) 使長度、角度、面積的計算擺脫外在座標的任意性；Mercator 等製圖問題的數學本質（保角性）被 Gauss 澄清；面積泛函開啟極小曲面研究。

引發的新問題#

  1. \(E, F, G\) 的六個（實則三個）函數能否在平面上任意給定？哪一組對應同一張曲面？→ 度量的可積分性與 Riemann 幾何的出發點（5.2 節）。
  2. 內蘊量之中，哪一個量度「彎」？→ Gauss 曲率（3.2、3.3 節），並證明它只依賴 \(E, F, G\) （絕妙定理）。
  3. 高維推廣： \(n\) 維流形上的對稱正定二次形式 → Riemann 度量（5.2 節）。
  4. 不定號度量（ \(-\) 號出現）→ Lorentz 度量與狹義相對論（7.2 節）。

與其他領域的關聯#

  • 線性代數： \(g\) 是對稱正定雙線性型；內積的抽象化。不定號版本是 Lorentz 內積。
  • 微積分／向量微積分： \(dA\) 、通量積分、Stokes 定理的直接工具。
  • 算子理論：等溫座標下的 \(\Delta = \lambda^{-2}\partial^2\) 是橢圓算子；譜幾何（特徵值問題 \(\Delta f = -\lambda f\) ）把「聽音辨形」變成數學問題。
  • 量子力學：量子態的統計距離（Fubini–Study 度量）是射影希爾伯特空間上的 Riemann 度量——本節的概念在量子資訊（量子 Fisher 資訊）中直接重現。
  • 資料科學：機率流形上的 Fisher 度量是第一基本形式的統計版本（10.3 節）。

小結#

  1. 第一基本形式 \(I = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2\) 由 \(r_u, r_v\) 的內積構成。
  2. 它決定曲面上曲線的長度、兩方向的夾角、面積元素——內蘊幾何的三要素。
  3. 座標變換律 \(\tilde g = J^T gJ\) 是張量變換律的原型。
  4. 等溫座標 \(ds^2 = \lambda^2(du^2+dv^2)\) 連結保角幾何、複分析與 Laplace 算子。
  5. 內蘊距離 \(d(p,q)\) （最短路長）開啟測地線問題與 Hopf–Rinow 定理。

下一節我們離開「怎麼量」的問題，轉向「怎麼彎」：第二基本形式與主曲率，並在 Gauss 1827 年的絕妙定理處見證內蘊幾何的獨立誕生。

深入研習：度量的計算技術與應用細節#

  1. ** \(E, F, G\) 的計算策略：正交參數（ \(F = 0\) ）大幅簡化：長度 \(= \int\sqrt{E u'^2 + G v'^2}\,dt\) 、面積 \(= \int\int\sqrt{EG}\,dudv\) 。旋轉面永遠可取正交參數（ \(u\) = 旋轉角、 \(v\) = 母線參數）——「找正交座標」是計算的第一步**；等溫座標（ \(E = G = \lambda^2\) ）更強但存在性是定理（Gauss 1825）而非常識。

  2. Clairaut 參數與測地量的實際：地理座標（經緯度）在球面上 \(ds^2 = R^2 d\theta^2 + R^2\sin^2\theta\,d\phi^2\) ；航海的漸長緯度法（Mercator sailing）正是用等溫座標 \(v = \ln\tan(\theta/2)\) 把等角航線化為直線： \(\tan\psi = \Delta\phi/\Delta v\) ——五百年航海術是第一基本形式的應用程式。

  3. 面積公式的變分推廣： \(A = \iint\sqrt{EG - F^2}\,dudv\) 對度量本身的變分（ \(\delta g\) ）給出 \(\delta A = -\frac{1}{2}\int H\,\delta\lambda\,dA\) 型公式——這是 3.3 節極小曲面變分、以及廣義相對論中「面積 = 黑洞熵」（8.3 節）變分的共同技術。

  4. 共形不變性與 Dirac 算子：二維中， \(dA\) 與 Dirac 算子的譜在共形變換 \(g \to e^{2u}g\) 下的行為是共形幾何的核心；Polyakov 作用量（弦論的世界面面積 + 撓率項）以二維度量的共形不變性為基石——弦論本質上是二維曲面論（世界面），本節的工具直接進入弦論。

  5. 內蘊距離的計算例：圓柱上兩點的內蘊距離 \(= \min\left(\sqrt{(a\Delta u)^2 + \Delta v^2},\ \text{繞另一方向的版本}\right)\) ——多重像原理（展開圓柱取最短）。推廣：平面上帶恆等 \((x, y) \sim (x + 2\pi a, y)\) 的商（圓柱的內蘊模型），商流形 + 提升技巧是計算內蘊距離的通用方法（4.1 節環面宇宙的同一技術）。

  6. 第一基本形式決定什麼、不決定什麼：決定長度、角度、面積、測地線、Gauss 曲率（3.2 節）；不決定：平均曲率 \(H\) （3.3 節）、在空間中的位置與朝向（剛體運動自由度）、嵌入的「彎法」（圓柱 vs 部分平面同度量）。「內蘊資料 vs 外在資料」的清單是理解曲面論結構的關鍵表格。

  7. 度量空間的收斂：度量序列 \(g_n \to g\) 的收斂有不同強度（ \(C^0\) 、 \(C^\infty\) 、Gromov–Hausdorff）。Gromov–Hausdorff 收斂（1981）允許「度量空間的極限」甚至降維（塌縮定理，Cheeger–Fukaya–Gromov）——幾何可以「消失」成更低維的空間（例如扁環面塌縮成圓），這是現代幾何分析的語言基礎，也是宇宙學中「額外維度捲曲」的數學模板。

  8. 物理中的度量變換：廣義相對論中座標選擇 = 度量的分量選擇（Schwarzschild 座標 vs 各向同性座標 vs Kruskal 座標，8.3 節——同一內蘊幾何的不同 \(g_{\mu\nu}\) 分量）。讀懂度量的第一步：算出內蘊不變量（曲率純量），不受座標表象迷惑——本節的變換律訓練正是為此。

  9. 離散度量與網格：三角網格的「離散第一基本形式」= 每條邊的長度；面積 = 三角形面積和。離散共形等價（兩網格邊長比結構一致）與離散測地距離（圖上最短路）是 10.3 節 Isomap/網格處理的基礎——** \(E, F, G\) 的離散化身是邊長表**。

  10. 歷史補遺：Lambert 與製圖學的數學化：Lambert（1772）《製圖學的註記與改進》先於 Gauss 提出保角映射的系統研究（Lambert 保角圓柱投影）；Gauss 1822 的保角存在性定理（任意曲面局部可保角映到平面）統一了製圖學。製圖需求 → 幾何定理的因果鏈，與大地測量 → Gauss 曲率（2.3 節）平行——應用數學的黃金模式。

習題與詳解#

習題 1：計算環面 \(r(u,v) = ((a+b\cos v)\cos u,\ (a+b\cos v)\sin u,\ b\sin v)\) 的第一基本形式與面積。

解： \(r_u = (-(a+b\cos v)\sin u,\ (a+b\cos v)\cos u,\ 0)\) ⟹ \(E = (a+b\cos v)^2\) 。 \(r_v = (-b\sin v\cos u,\ -b\sin v\sin u,\ b\cos v)\) ⟹ \(G = b^2\) 。 \(F = r_u\cdot r_v = 0\) （正交參數 ✓）。面積 \(= \int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} b(a+b\cos v)\,dv\,du = 2\pi\cdot b\cdot 2\pi a = 4\pi^2 ab\) 。驗證：Pappus 定理（面積 = 母線長 × 質心周長 \(= 2\pi b\times 2\pi a\) ）✓——古典定理與積分計算互相印證。

習題 2：在球面（半徑 \(R\) ）上，兩點的經度差 \(\Delta\phi = \pi/2\) 、同緯度 \(\theta_0 = \pi/3\) 。比較「沿緯線走」與「內蘊最短」的距離。

解：沿緯線： \(L_1 = \int\sqrt{G}\,d\phi = R\sin(\pi/3)\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\sqrt{3}\pi R}{4} \approx 1.360 R\) 。內蘊最短（大圓）：兩點與球心構成的三角，中心角 \(\gamma\) 由球面三角（或內積）： \(p_1 = R(\sin\theta_0, 0, \cos\theta_0)\) 、 \(p_2 = R(0, \sin\theta_0, \cos\theta_0)\) ， \(\cos\gamma = \frac{p_1\cdot p_2}{R^2} = \sin^2\theta_0 + \cos^2\theta_0\cos(\pi/2) = \frac{3}{4}\) ， \(\gamma = \arccos 0.75 \approx 0.7227\) ， \(L_2 = R\gamma \approx 0.723 R\) 。大圓航線節省 47% 距離——航空路線偏離緯線的定量理由（3.1 節例題 1 的數值版）。

習題 3：證明：若兩曲面的第一基本形式在對應參數下相同（ \(\tilde E = E\) 等），則對應點的內蘊距離相等。

解：任一曲面曲線 \(\gamma(t) = r(u(t), v(t))\) 在 \(\phi\) 對應下變為 \(\tilde\gamma(t) = \tilde r(u(t), v(t))\) ，長度 \(L = \int\sqrt{E u'^2 + 2Fu'v' + Gv'^2}\,dt\) 只依賴 \(E, F, G\) 與參數曲線 \((u(t), v(t))\) ——兩曲面完全相同。取下確界： \(d = \tilde d\) 。✓ 「第一基本形式相同 ⟹ 等距」的簡單充分條件；反向（等距 ⟹ 可取參數使 \(E,F,G\) 相同）需要更多工作（Minding 1836 的經典論證）。