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3.3 第二基本形式與主曲率#

導言：曲面的「彎法」#

第一基本形式回答「怎麼量」，第二基本形式回答「怎麼彎」。彎曲的方向性（凹凸、馬鞍）、極小曲面（肥皂膜）、常平均曲率曲面（液滴），都由它描述。本節建立第二基本形式、形狀算子、主曲率，並完成曲面幾何的全景圖。

歷史#

  • Meusnier（1776）：18 歲的學生向 Euler 指出極小曲面問題的解（螺旋面），並提出「法曲率與密切圓」的關係（Meusnier 定理）。
  • Rodrigues（1815）：法向量變化與主曲率。
  • Gauss（1827）：第二基本形式系統化， \(K = (LN - M^2)/(EG-F^2)\) 。
  • Gaspard Monge 學派：偏微分方程與曲面分類；Dupin 標線（1813）。
  • Delassus、Bianchi 等（19 世紀末）：基本定理（度量 + 第二形式決定曲面，至剛體運動）。

法曲率與第二基本形式#

曲面的曲線曲率拆解#

設曲面上的曲線 \(\gamma(s)\) （弧長參數）。其曲率向量 \(\ddot\gamma\) 分解為切平面內分量與法向分量：

\[ \ddot\gamma = (\ddot\gamma)^{\top} + (\ddot\gamma)^{\perp}, \qquad (\ddot\gamma)^{\perp} = \kappa_n\, n \]

法曲率定義為

\[ \kappa_n = \langle \ddot\gamma, n\rangle = II(\dot\gamma, \dot\gamma) \]

其中第二基本形式

\[ II = L\,du^2 + 2M\,du\,dv + N\,dv^2, \qquad L = \langle r_{uu}, n\rangle,\ M = \langle r_{uv}, n\rangle,\ N = \langle r_{vv}, n\rangle \]

Meusnier 定理（1776）#

同一點、同一切方向的曲面上所有曲線，法曲率相同；且

\[ \kappa = \cos\theta \cdot \frac{1}{\rho} \]

其中 \(\kappa\) 是曲線曲率、 \(\rho\) 是該方向的法截線曲率（曲面與法平面交線的曲率）、 \(\theta\) 是曲線密切面與法平面夾角。換言之：法曲率只依賴切方向——曲面在一個方向的「彎度」是內定值，個別曲線只按 \(\cos\theta\) 分攤。

幾何直觀#

把曲面沿某方向切開（用垂直於切平面的平面），看切口曲線的彎曲程度：那就是法曲率。球面各方向相同（ \(\kappa_n = 1/R\) ）；圓柱沿軸向為 0、橫向為 \(1/a\) ；馬鞍面有的方向正、有的負。

形狀算子與主曲率#

Weingarten 映射#

定義形狀算子（shape operator，又稱 Weingarten 映射）

\[ S_p = -dn_p : T_pS \to T_pS \]

由 Weingarten 方程 \(n_u, n_v\) 的展開式， \(S\) 在基 \(\{r_u, r_v\}\) 的矩陣為

\[ S = \frac{1}{EG - F^2}\begin{pmatrix} L\,G - M\,F & M\,E - L\,F \\ M\,G - N\,F & N\,E - M\,F \end{pmatrix} \]

關鍵事實： \(S\) 是自伴算子（ \(I(SX, Y) = I(X, SY)\) ，由 \(n\cdot r_u = 0\) 微分兩次的對稱性）。由譜定理：

  • \(S\) 有兩個實特徵值：主曲率 \(\kappa_1, \kappa_2\) ；
  • 特徵方向正交：主方向；
  • \(\kappa_n(\theta) = \kappa_1\cos^2\theta + \kappa_2\sin^2\theta\) （Euler 公式， \(\theta\) 為與第一主方向的夾角）。

不變量#

\[ K = \kappa_1\kappa_2 = \det S = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}, \qquad H = \frac{\kappa_1 + \kappa_2}{2} = \frac{1}{2}\mathrm{tr}\,S = \frac{EN - 2FM + GL}{2(EG - F^2)} \]

Gauss 曲率 = 形狀算子的行列式，平均曲率 = 跡之半。絕妙定理說：行列式內蘊（ \(K\) 只由 \(g\) 決定），但跡不然—— \(H\) 是真正的外在量（等距映射可改變 \(H\) ）。

點的分類#

點型 條件 \(S\) 的特徵 幾何 例
橢圓點 \(K > 0\) 同號特徵值 局部凸（同側） 球面、蛋面
雙曲點 \(K < 0\) 異號 馬鞍形 偽球面
拋物點 \(K = 0\) ，非零 一零一非零 單向彎 圓柱（處處）
臍點 \(\kappa_1 = \kappa_2\) \(S = \kappa I\) 各向同性 球面（處處）、球面點

Dupin 標線： \(II = \pm 1\) 在切平面的截線，橢圓／雙曲線／平行線——曲面的局部「指紋」。

極小曲面與常平均曲率曲面#

極小曲面#

定義： \(H \equiv 0\) 的曲面。名稱來源：面積泛函的臨界點——任意小變形都使面積增加（局部極小）。

  • Lagrange（1762）提出方程；Meusnier（1776）給出兩個非平凡解：平面與螺旋面。
  • Plateau（1873）實驗：肥皂膜自然張成極小曲面（表面張力使能量 = 面積極小）。
  • Plateau 問題：給定閉曲線，求張在其上的極小曲面。Douglas 與 Radó（1930–31）解決（Douglas 獲 1936 首屆 Fields 獎）。
  • 經典例子：懸鏈面（兩個圓之間的旋轉極小面）、Enneper 曲面、Costa 曲面（1982，虧格 1 三端極小面）。

極小曲面方程#

圖形曲面 \(z = f(x, y)\) 的極小性條件：

\[ (1 + f_y^2)f_{xx} - 2f_x f_y f_{xy} + (1 + f_x^2)f_{yy} = 0 \]

這是非線性橢圓 PDE；用等溫座標可線性化為調和條件 \(\Delta f = 0\) 的共軛系統（Weierstrass 表示：極小曲面由解析函數對 \((\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3)\) 構造）——複分析成為極小曲面的引擎，顯示第一/第二形式與 Laplace 算子的深刻聯繫。

常平均曲率（CMC）曲面#

\(H\) 為常數的曲面是面積泛函在體積約束下的臨界點（液滴、細胞膜）：

  • 球面（Delaunay 1841 完整分類旋轉 CMC 面：球、圓柱、波狀面、懸鏈面夾層）；
  • Alexandrov 定理（1958）： \(\mathbb{R}^3\) 中緊緻嵌入 CMC 面只有球面——物理對應：肥皂泡是球形。

基本定理：兩形式決定曲面#

陳述（Bonnet, 1867）#

設區域上給定對稱正定 \(g = \begin{pmatrix} E & F \\ F & G\end{pmatrix}\) 與對稱 \(b = \begin{pmatrix} L & M \\ M & N\end{pmatrix}\) ，滿足

  • Gauss 方程（曲率相容）： \(K = \frac{LN-M^2}{EG-F^2}\) 且 \(K\) 由 \(g\) 計算一致；
  • Codazzi–Mainardi 方程（第二形式相容）： $$ L_v - M_u = L\Gamma^1_{12} + M(\Gamma^2_{12} - \Gamma^1_{11}) - N\Gamma^2_{11}\quad (\text{及另一條對稱式}) $$

則存在曲面（至剛體運動唯一）以之為兩基本形式。

意義#

曲面的「形狀密碼」是兩組量： \(g\) （內蘊）+ \(b\) （外在），共 6 個函數，受 3 條相容方程（1 Gauss + 2 Codazzi）約束。相容性方程 = 可積分條件，其代數結構正是「曲率張量」的一般模式（6.2 節：Riemann 張量是聯絡的相容性缺陷）。同構對比：量子力學中 Schrödinger 方程的相容性（波函數可積分）由規範對稱性保證（9.3 節）。

例題#

例題 1：球面的第二基本形式與主曲率#

球面 \(r(\theta, \phi) = R(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)\) ， \(n = r/R\) 。

二階偏導：

\[ r_{\theta\theta} = -r, \qquad r_{\theta\phi} = R\cos\theta(-\sin\phi, \cos\phi, 0), \qquad r_{\phi\phi} = -R\sin\theta(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, 0) + R\sin\theta\, n_{\text{radial 部分}} \]

直接計算法向分量：

\[ L = \langle r_{\theta\theta}, n\rangle = \langle -r, r/R\rangle = -R \]

（取向 \(n = r/R\) 向外， \(L = -R\) ；若取 \(n = -r/R\) 則 \(L = R\) ——符號取決於法向取向， \(K\) 不受影響。）

\[ M = \langle r_{\theta\phi}, n\rangle = 0 \quad (\text{切向向量與 } n \text{ 正交}), \qquad N = \langle r_{\phi\phi}, n\rangle = -R\sin^2\theta \]

主曲率：

\[ K = \frac{LN - M^2}{EG - F^2} = \frac{(-R)(-R\sin^2\theta)}{R^2\cdot R^2\sin^2\theta} = \frac{1}{R^2}\ \checkmark \]
\[ H = \frac{EN - 2FM + GL}{2(EG - F^2)} = \frac{R^2(-R\sin^2\theta) + R^2\sin^2\theta(-R)}{2R^4\sin^2\theta} = -\frac{1}{R} \]

故 \(\kappa_1 = \kappa_2 = \pm 1/R\) ：球面處處是臍點。✓

例題 2：圓柱面的兩形式#

圓柱 \(r(u, v) = (a\cos u, a\sin u, v)\) ， \(n = (\cos u, \sin u, 0)\) ， \(E = a^2, F = 0, G = 1\) 。

\[ r_{uu} = (-a\cos u, -a\sin u, 0) = -a\,n \Rightarrow L = -a; \quad r_{uv} = 0 \Rightarrow M = 0; \quad r_{vv} = 0 \Rightarrow N = 0 \]
\[ K = \frac{(-a)(0) - 0}{a^2} = 0, \qquad H = \frac{a^2\cdot 0 + 1\cdot(-a)}{2a^2} = -\frac{1}{2a} \]

主曲率 \(\kappa_1 = \pm 1/a\) （橫向）、 \(\kappa_2 = 0\) （縱向）。** \(K = 0\) 但 \(H \neq 0\) ：外在彎、內蘊平——與 2.3、3.2 節呼應。肥皂泡做成圓柱形（兩環之間）需要壓差（非極小），而肥皂膜**（兩面）才是 \(H = 0\) 。

與其他領域的關聯#

線性代數／算子理論#

形狀算子是自伴算子：譜定理給出主曲率與主方向； \(K = \det S\) 、 \(H = \frac{1}{2}\mathrm{tr} S\) 是譜不變量。特徵值問題（求 \(S\) 的譜）= 幾何問題，這是「譜幾何」最簡模型；Rayleigh–Ritz 變分原理（算子理論核心）對應極小曲面的面積變分。

向量微積分#

Weingarten 方程是方向導數 \(D_v n = -S(v)\) 的版本； \(\mathrm{div}\, n = \kappa_1 + \kappa_2 = 2H\) ——平均曲率是法向量場的散度！極小曲面 ⟺ \(\mathrm{div}\,n = 0\) ，這在流體力學（Young–Laplace 方程：壓差 \(\Delta p = 2\gamma H\) ， \(\gamma\) 為表面張力）直接出現：肥皂泡內外壓差與 \(H\) 成正比。毛細現象、肺泡生理學（肺表面張力）皆用此式。

量子力學#

  • 膜世界（braneworld）模型中物質附著於高維時空的類時極小超曲面；
  • 弦論中極小曲面的廣義化（極小極大面）用於鏡像對稱的驗證；
  • 二維量子引力以 \(\int K\, dA\) 為作用量（Liouville 理論）——Gauss 曲率成為量子場。

工程與科學#

  • 建築：薄殼結構（Sydney 歌劇院）以曲率分佈設計受力； \(K=0\) 可展面免應變。
  • 醫學影像：腦皮質的主曲率用於溝回識別。
  • 電腦圖學：網格平滑以離散平均曲率流（mean curvature flow）實現——PDE 在離散幾何上的模擬。

小結#

  1. 第二基本形式 \(II\) 量度法向加速度；法曲率只依賴切方向（Meusnier）。
  2. 形狀算子 \(S = -dn\) 自伴；主曲率是其特徵值，Euler 公式給出方向依賴。
  3. \(K = \det S\) （內蘊）、 \(H = \frac{1}{2}\mathrm{tr}\,S\) （外在）。
  4. \(H = 0\) 極小曲面（肥皂膜）、 \(H\) 常數 CMC（肥皂泡）；Alexandrov 定理。
  5. Gauss–Codazzi 方程是兩形式可積分的相容條件——曲率張量思想的曲面前身。

第 4 章將把「局部座標卡 + 相容條件」公理化為流形，脫離 \(\mathbb{R}^3\) 的搖籃。