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4.3 切叢與餘切叢#

導言：把所有切空間縫成一個整體#

每個流形點 \(p\) 都有切空間 \(T_pM\) （向量空間）。把所有 \(T_pM\) 收集成一個新空間——切叢 \(TM\) ——流形上的向量場、微分、聯絡才有了嚴格的家。餘切叢 \(T^*M\) （線性泛函的叢）則是微分形式、動量、與辛幾何的舞台。本節建立這兩個叢，它們是 Riemann 幾何（第 5–6 章）與相對論（第 7–8 章）的語言基礎。

切向量：三種等價定義#

定義一：曲線的速度#

\(p \in M\) 的切向量是等價類：通過 \(p\) 的曲線 \(\gamma\) （ \(\gamma(0) = p\) ），按「在卡中導數相同」分類：

\[ \gamma_1 \sim \gamma_2 \iff (\varphi \circ \gamma_1)'(0) = (\varphi \circ \gamma_2)'(0) \]

\(T_pM\) = 全部等價類，向量空間運算由卡中的分量運算定義。**維數 \(= \dim M\) **（變換律保證卡無關：鏈式法則）。

定義二：方向導數（切向量 = 微分算子）#

切向量 \(v\) 作用在光滑函數上：

\[ v(f) = \left.\frac{d}{dt}\right|_{0} f(\gamma_v(t)) \]

在卡中 \(v = \sum_i v^i \partial/\partial x^i\) ，且

\[ v(fg) = v(f)g(p) + f(p)v(g) \quad (\text{Leibniz 律}) \]

反過來也成立： \(T_pM\) 上滿足 Leibniz 律的線性泛函必是方向導數。切向量 = 點上的「一階微分算子」——這個觀點是向量場 = 「一階偏微分算子」的來源，也是李代數（10.2 節）中向量場的括積 \([X, Y] = XY - YX\) 成為算子交換子的原因。

定義三：物理的「位移微元」#

卡中座標的無窮小改變 \((dx^1, \ldots, dx^n)\) ，按變換律

\[ \tilde v^i = \sum_j \frac{\partial \tilde x^i}{\partial x^j} v^j \]

這正是張量的變換律（與 2.1 節 Jacobi 律、7.3 節四維向量同一公式）。古典張量分析以此為定義；現代幾何以曲線速度為定義、變換律為定理——定義升級，結論不變。

切叢與向量場#

切叢#

\[ TM = \bigsqcup_{p \in M} T_pM = \{\, (p, v) \mid p \in M,\ v \in T_pM \,\} \]

配以自然拓樸與光滑結構（由卡的乘積結構縫合），成為 \(2n\) 維流形。投影 \(\pi : TM \to M\) ， \(\pi(p, v) = p\) 。纖維 \(\pi^{-1}(p) = T_pM\) 是 \(n\) 維向量空間—— \(TM\) 是向量叢的原型。

向量場#

向量場 \(X\) 是光滑截面： \(X : M \to TM\) ， \(\pi \circ X = \mathrm{id}\) （每點選一個切向量，且選得光滑）。卡中 \(X = \sum X^i(p)\, \partial_i\) 。

向量場的三重身分：

  1. 幾何：每點的箭頭；
  2. 分析：一階線性微分算子 \(X(f) = df(X)\) ；
  3. 動力系統： \(X\) 的積分曲線是 ODE \(\dot\gamma = X(\gamma)\) 的解。

例子： \(\mathbb{R}^2\) 上 \(X = -y\,\partial_x + x\,\partial_y\) ，積分曲線 \(x = r\cos(t + \theta_0)\) 、 \(y = r\sin(t + \theta_0)\) ——同心圓族。 \(X\) 生成旋轉流：向量場 = 無窮小變換，這是 Lie 理論的核心圖像（10.2 節）。

流（flow）#

向量場 \(X\) 的流 \(\phi_t\) ： \(\frac{d}{dt}\phi_t(p) = X(\phi_t(p))\) ，是單參數（局部）變換群。緊緻流形上流完備（ODE 解不會在有限時間逃逸）。力學中的時間演化、量子力學中的單參數酉群（Stone 定理： \(U_t = e^{-itH/\hbar}\) ，算子理論的基石）都是「單參數群」的具體表現。

餘切叢與微分形式#

餘切空間#

\(T_p^*M = (T_pM)^*\) ：切空間的對偶（線性泛函全體）。座標微元 \(dx^i\) 定義為 \(\partial_j\) 的對偶基： \(dx^i(\partial_j) = \delta^i_j\) 。

微分 \(df\) ：對 \(f \in C^\infty(M)\) ，

\[ df(v) = v(f) \]

是餘切向量（卡中 \(df = \sum \frac{\partial f}{\partial x^i} dx^i\) ——全微分，座標無關）。鏈式法則保證卡無關性：座標變換下 \(dx'^i = \sum_j \frac{\partial x'^i}{\partial x^j} dx^j\) ，協變變換律。

餘切叢與一形式#

\[ T^*M = \bigsqcup_p T_p^*M \]

一形式 \(\omega\) 是 \(T^*M\) 的截面： \(\omega = \sum \omega_i(x)\, dx^i\) 。物理對應：

切叢 餘切叢
速度 動量
位移 功的微元 \(F_i\, dx^i\)
Lagrange 力學的 \(\dot q\) Hamilton 力學的 \(p\)
\(TM\) \(T^*M\) （相空間）

Legendre 變換 \(TM \to T^*M\) （經由 Lagrangian）把速度語言轉為動量語言——古典力學的兩大框架分居切叢與餘切叢；量子化在 \(T^*M\) 上進行（幾何量子化）。

高階形式（預告）#

反對稱多線性形式 \(k\) -形式的叢 \(\Lambda^k T^*M\) ；外微分 \(d\) （10.1 節）。Stokes 定理 \(\int_M d\omega = \int_{\partial M}\omega\) 統一 Newton–Leibniz、Green、Gauss、Kelvin–Stokes 四大公式——向量微積分的終點、流形微積分的起點。

叢的一般概念#

向量叢#

向量叢 \((E, \pi, M)\) ：全空間 \(E\) 、底空間 \(M\) 、投影 \(\pi\) ，每根纖維 \(E_p = \pi^{-1}(p)\) 是向量空間，局部平凡化（「卡」）： \(E|_{U_\alpha} \cong U_\alpha \times \mathbb{R}^k\) ，轉移函數是 \(GL(k, \mathbb{R})\) 值。

轉移函數決定叢：同一底空間上的向量叢由 \(GL(k)\) 值轉移函數的分類（上同調類）決定——局部平凡 + 相容條件 = 全域對象，這與流形本身（卡 + 轉移）、規範理論（位勢 + 規範變換）完全同構。叢 = 幾何版的「局部座標 + 相容性」。

截面 = 「叢上的函數」#

向量場、微分形式、度量、曲率張量都是各叢的截面。聯絡（第 5–6 章）回答「截面如何微分」——因為不同點的纖維不同，無法直接相減，需要平行移動（6.1 節）作中介。

例題#

例題 1：驗證切向量的變換律#

設 \(M\) 有卡 \((U, x^i)\) 與 \((V, \tilde x^i)\) ，曲線 \(\gamma(t)\) ， \(p = \gamma(0)\) 。

卡 \(x\) 中： \(\gamma(t) = (x^1(\gamma(t)), \ldots)\) ，速度分量 \(v^i = \dot x^i(\gamma(0))\) 。

卡 \(\tilde x\) 中： \(\tilde v^i = \dot{\tilde x}^i(\gamma(0))\) 。由鏈式法則 \(\tilde x^i = \tilde x^i(x^1, \ldots, x^n)\) ：

\[ \tilde v^i = \sum_j \frac{\partial \tilde x^i}{\partial x^j}\bigg|_p \dot x^j(\gamma(0)) = \sum_j \frac{\partial \tilde x^i}{\partial x^j} v^j \]

變換矩陣是 Jacobi 矩陣在 \(p\) 的值：切向量按（反變）向量律變換。✓ 結構無涉「哪張卡」——切向量是流形自身的對象。

例題 2：球面切叢不平凡——毛髮定理#

定理（Poincaré–Hopf 毛髮定理）：緊緻流形上處處非零的向量場存在 ⟺ Euler 示性數 \(\chi(M) = 0\) 。

驗證：

  • \(\chi(\mathbb{S}^2) = 2 \neq 0\) ⟹ 球面切叢不平凡、球面上有「髮旋」（無處不梳平的髮型不存在）——直觀上球面切叢不能同構於 \(\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}^2\) 。
  • \(\chi(\mathbb{T}^2) = 0\) ⟹ 環面有非零向量場（如 \(\partial/\partial\theta\) ），切叢平凡： \(\mathbb{T}^2\) 可「梳平」。✓
  • \(\chi(SO(3)) = \chi(\mathbb{RP}^3) = 0\) ⟹ 三維旋轉群可梳（「梳椰子」：三維球面與旋轉群都有非零場；「梳毛球」不行——兩個古老謎題的統一解答）。

物理意義：球面上的連續向量場必有奇點——這正是磁單極問題的幾何根源（Dirac 1931：磁單極需要規範位勢的奇點/多張卡，9.3 節），也是 Bloch 球上態向量場的相約束（Berry 相位的拓樸來源）。

座標變換總表#

對象 變換律 類型
切向量分量 \(v^i\) \(\tilde v^i = \frac{\partial \tilde x^i}{\partial x^j} v^j\) 反變向量
餘向量分量 \(\omega_i\) \(\tilde\omega_i = \frac{\partial x^j}{\partial \tilde x^i}\omega_j\) 協變向量
度量 \(g_{ij}\) \(\tilde g_{ij} = \frac{\partial x^k}{\partial\tilde x^i}\frac{\partial x^l}{\partial\tilde x^j} g_{kl}\) 二階協變張量
函數 \(f\) \(\tilde f = f\) （不變） 標量
Christoffel \(\Gamma^k_{ij}\) 含二階導的額外項（非張量） 聯絡係數
Riemann 張量（6.2） 張量律 四階（1,3）張量

此表是全書座標計算的速查表；7.3 節把它重寫為相對論的指標記號。

與其他領域的關聯#

微積分#

  • \(df\) 是全微分的內蘊化；方向導數 \(v(f)\) 是多元導數；
  • Jacobi 矩陣從「計算工具」升級為「轉移函數」；
  • Stokes 定理統一四大積分公式（10.1 節）。

力學與辛幾何#

  • Lagrange 力學在 \(TM\) 、Hamilton 力學在 \(T^*M\) ；
  • 辛形式 \(\omega = \sum dp_i \wedge dq^i\) 使 \(T^*M\) 成為辛流形；Hamilton 方程 = 辛流上的流；
  • Noether 定理（1918）：對稱群作用 ⟹ 守恆量（動量映射）——對稱與守恆的幾何化。

算子理論與量子力學#

  • 向量場是一階微分算子，其交換子 \([X,Y]\) 對應李括積；量子化後對應算子交換子 \([\hat A, \hat B] = i\hbar\{\cdot,\cdot\}\) （Dirac 的洞見, 1930）——Poisson 括積 = 李括積的經典版。
  • Stone–von Neumann 定理：正則對易關係的表示唯一性（自由度有限時）——相空間 \(T^*\mathbb{R}^n\) 的量子化唯一；無窮維（場論）則有多種表示（粒子數表象分歧）。
  • 幾何量子化：在 \(T^*M\) （帶辛結構）上構造 Hilbert 空間，把「量化」變成幾何程序。

資料科學#

切叢的離散版本：資料流形上每點的局部切空間估計（局部線性嵌入 LLE、切空間近似）；「沿流形的梯度」= Riemann 梯度（10.3 節最佳化）。

小結#

  1. 切向量三種定義：曲線速度、Leibniz 算子、變換律等價類——變換律從定義降為定理。
  2. \(TM\) 、 \(T^*M\) 是向量叢的原型；截面 = 向量場 / 微分形式。
  3. 向量場 = 無窮小變換（流、單參數群）；餘切叢 = 相空間（動量、辛結構）。
  4. 毛髮定理： \(\chi \neq 0\) ⟹ 切叢不平凡；磁單極與 Berry 相位的幾何根源。
  5. 座標變換總表奠定張量分析的計算基礎。

第 5 章將在此語言上重建 Riemann 1854 的藍圖：度量、聯絡與曲率。