7.3 四維向量與張量#

導言：把物理寫成座標無關的形式#

Minkowski 幾何確立後，物理量的正確寫法是四維張量：方程在 Lorentz 變換下形式不變。本節把力學與電磁學重寫為張量形式：四速度、四動量、能量動量張量、電磁場張量 \(F_{\mu\nu}\) ——這不僅是記號的簡化，更揭示電與磁本是一體、能量與動量本是一體，並為廣義相對論的協變原理提供技術範本。

指標記號#

約定#

時空座標 \(x^\mu = (ct, x, y, z)\) ， \(\mu = 0, 1, 2, 3\) ；
Minkowski 度量 \(\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1, 1, 1, 1)\) ；逆 \(\eta^{\mu\nu}\) 同型；
Einstein 求和約定：重複指標（一上一下）求和： \(A_\mu B^\mu \equiv \sum_{\mu} A_\mu B^\mu\) ；
升降指標： \(A^\mu = \eta^{\mu\nu}A_\nu\) 、 \(A_\mu = \eta_{\mu\nu}A^\nu\) ；
微分： \(\partial_\mu = \frac{\partial}{\partial x^\mu}\) （協變）、 \(\partial^\mu = \eta^{\mu\nu}\partial_\nu\) 。

張量的判別與階#

在 Lorentz 變換 \(x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu\) 下：

\[ A'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu A^\nu \ (\text{四向量})， \qquad T'^{\mu\nu} = \Lambda^\mu{}_\alpha\Lambda^\nu{}_\beta T^{\alpha\beta}\ (\text{二階張量}) \]

張量方程 \(\equiv\) 座標無關方程：兩邊同階同型則形式不變——這是第 2–6 章幾何張量觀念在物理的直用（4.3 節變換律總表的四維版）。

相對論力學#

固有時與四速度#

世界線 \(x^\mu(\tau)\) （ \(\tau\) 為固有時： \(d\tau = dt/\gamma\) ）。四速度

\[ U^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau} = \gamma\,(c, \mathbf{v}), \qquad \eta_{\mu\nu}U^\mu U^\nu = -c^2 \]

（模長恆定——四速度永遠「長 \(c\) 」，變化的只是方向：boost 在四維中是旋轉。）四加速度 \(a^\mu = dU^\mu/d\tau\) ，與四速度正交（ \(\eta_{\mu\nu}U^\mu a^\nu = 0\) ）。

四動量與質能關係#

\[ P^\mu = m\,U^\mu = \left( \frac{E}{c},\ \mathbf{p} \right) \]

時間分量就是能量：

\[ E = \gamma mc^2, \qquad \mathbf{p} = \gamma m\mathbf{v}, \qquad E^2 = p^2c^2 + m^2c^4 \]

後式即 \(\eta_{\mu\nu}P^\mu P^\nu = -m^2c^2\) （四動量的「長度」= 質量——質量是四維幾何不變量）。

** \(E = mc^2\) 的出場**：低速展開 \(E = \gamma mc^2 = mc^2 + \frac{1}{2}mv^2 + \cdots\) ——動能之外多出靜止能量 \(mc^2\) 。1905 年 Einstein 從輻射發射的相對論性分析推得；1932 年 Cockcroft–Walton 的核反應開始驗證；核能、粒子物理、太陽發光（每秒 \(4\times10^9\) kg 質量轉能量）都是它的帳單。

力學方程#

\[ \frac{dP^\mu}{d\tau} = K^\mu \quad (\text{四力}，\ K^\mu U_\mu = 0) \]

三維力 \(\mathbf{F}\) 對應 \(K^\mu = \gamma(\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}/c,\ \mathbf{F})\) （對平行力 \(F_\parallel = \gamma^3 ma_\parallel\) 、垂直力 \(F_\perp = \gamma ma_\perp\) ——縱橫質量不同的來源，舊教科書的「相對論質量」實為這個方向依賴）。

電磁學的協變形式#

電磁場張量#

把 \(\mathbf{E}\) 與 \(\mathbf{B}\) 合成反對稱二階張量：

\[ F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix} \]

**6 個獨立分量 = 3 個 \(\mathbf{E}\) + 3 個 \(\mathbf{B}\) **。Maxwell 四方程化為兩條張量方程：

\[ \boxed{\ \partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu \qquad (\text{含 Gauss + Ampère})\ } \]

\[ \boxed{\ \partial_\mu \tilde F^{\mu\nu} = 0, \quad \tilde F^{\mu\nu} = \frac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\rho\sigma}\quad (\text{含 Faraday + 無磁單極})\ } \]

其中四電流 \(J^\mu = (c\rho, \mathbf{J})\) 滿足電荷守恆 \(\partial_\mu J^\mu = 0\) （連續性方程——由第一式兩邊取散度自動得到：規範理論的自洽性結構）。

電磁場的 Lorentz 變換：E 變 B、B 變 E#

\[ \mathbf{E}'_\parallel = \mathbf{E}_\parallel, \quad \mathbf{B}'_\parallel = \mathbf{B}_\parallel, \quad \mathbf{E}'_\perp = \gamma(\mathbf{E}_\perp + \mathbf{u} \times \mathbf{B}), \quad \mathbf{B}'_\perp = \gamma\left( \mathbf{B}_\perp - \frac{\mathbf{u} \times \mathbf{E}}{c^2} \right) \]

電場與磁場不是兩種東西，而是同一張量在不同參考系的分量。檢驗不變量：

\[ \mathbf{B}^2 - \frac{\mathbf{E}^2}{c^2}\ (\text{標量})， \qquad \mathbf{E}\cdot\mathbf{B}\ (\text{贗標量}) \]

例：純靜電場（實驗室系電荷靜止）在電荷運動系中混出磁場——磁的本質是運動電荷的電場（相對論效應）。日常磁體的磁力可完全從庫侖力 + 相對論修正導出（Purcell 的經典論證）——「磁 = 電的相對論副產品」。

作用量與變分（進階）#

\[ S = \int\left( -mc\,ds + \frac{1}{4\varepsilon_0}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\,d^4x \right) \]

對粒子路徑與 \(A_\mu\) （位勢， \(F = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\) ）變分，分別得運動方程與 Maxwell 方程——拉格朗日量在 Lorentz 變換下不變 ⟹ 方程協變（Noether 原理的範本，也是 9.3 節規範場論作用量的母型）。

能量動量張量#

定義與守恆#

物質的能量動量張量（7.1 節已引）：

\[ T^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} \varepsilon & \vdots & \text{能流}/c \\ \cdots & \ddots & \cdots \\ c\,\text{動量密度} & \vdots & \text{應力張量} \end{pmatrix} \]

對稱（角動量守恆的代價）且守恆： \(\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0\) 。

\(\nu = 0\) 分量：能量守恆 \(\partial_t\varepsilon + \nabla\cdot\mathbf{S} = 0\) （ \(\mathbf{S}\) = 能流，Poynting 向量的推廣）；
\(\nu = i\) 分量：動量守恆。

電磁場的能量動量張量：

\[ T^{\mu\nu}_{\text{EM}} = \varepsilon_0\left( F^{\mu\alpha}F^\nu{}_\alpha + \frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta} \right) \]

它把能量密度（ \(\frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0}B^2\) ）、Poynting 向量、Maxwell 應力張量統一——光壓（Lebedev 1901 實驗）與太陽帆是 \(T^{00}_{\text{EM}}\) 的工程。

例題#

例題 1：驗證 \(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\) 與速度叠加的一致性#

動量守恆推速度叠加：粒子 A（速度 \(u\) ）衰變為兩個相同粒子（各速度 \(w\) 相對 A 同向/反向？）——改用更清晰的雙體合成：粒子 1（速度 \(v_1\) ）+ 粒子 2（速度 \(v_2\) ，同向）合併。

四動量守恆（沿運動方向）：

\[ \gamma_1 m v_1 + \gamma_2 m v_2 = \Gamma M w, \qquad \gamma_1 mc^2 + \gamma_2 mc^2 = \Gamma Mc^2 \]

相除：

\[ w = \frac{\gamma_1 v_1 + \gamma_2 v_2}{\gamma_1 + \gamma_2} \]

代入 \(\gamma_i = (1 - v_i^2/c^2)^{-1/2}\) 化簡（分子分母同乘 \((1-v_1^2/c^2)^{1/2}(1-v_2^2/c^2)^{1/2}\) … 標準代數）得

\[ w = \frac{v_1 + v_2}{1 + v_1v_2/c^2} \]

兩種推法（速度叠加 vs 動量守恆）一致 ✓——張量守恆律的自洽性。

數值檢驗： \(v_1 = v_2 = 0.9c\) ： \(w = \frac{1.8c}{1.81} \approx 0.9945c < c\) ✓（亞光速封頂）。

例題 2：電磁波的四維描寫#

平面波 \(E_z = E_0\cos(kx - \omega t)\) 。波四向量：

\[ k^\mu = \left( \frac{\omega}{c},\ k_x, 0, 0 \right), \qquad k_\mu k^\mu = 0 \ (\text{類光！}) \]

（色散關係 \(\omega = ck\) ⟺ 波向量是零向量——光子沒有靜止系。）能量動量關係 \(E^2 = p^2c^2 + m^2c^4\) 在 \(m = 0\) 時 \(E = pc\) ，即 \(\omega = ck\) ：量子（ \(E = \hbar\omega\) 、 \(p = \hbar k\) ）與波（ \(\omega = ck\) ）在四動量空間中是同一件事——德布羅意關係的相對論骨架（1924）。

Doppler 效應： \(k'^0 = \gamma(k^0 - \beta k^1)\) ：

\[ \omega' = \gamma\omega(1 - \beta\cos\theta) \]

紅移/藍移由波向量與運動方向的夾角決定——9.1 節重力紅移、宇宙紅移（9.2）的狹義版。

表格：三維 vs 四維對照#

三維量	四維張量	不變量
時間、空間	\(x^\mu\)	\(s^2\)
能量、動量	\(P^\mu\)	\(-m^2c^2\)
電流、電荷	\(J^\mu\)	\(\partial_\mu J^\mu = 0\)
\(\mathbf{E}\) 、 \(\mathbf{B}\)	\(F_{\mu\nu}\) （6 分量）	\(\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}\) 、 \(B^2 - E^2/c^2\)
能量密度、應力	\(T^{\mu\nu}\)	\(\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0\)
位勢 \(\phi\) 、 \(\mathbf{A}\)	\(A^\mu = (\phi/c, \mathbf{A})\)	規範自由（9.3）

統一模式：「成對的三維量 = 一個四維對象的分量；兩個分別守恆 = 一個協變守恆」。

與其他領域的關聯#

微積分／向量微積分#

Maxwell 的協變形式是 div/curl 的四維合流： \(\partial_\mu F^{\mu\nu}\) 同時是散度與旋度操作；Levi-Civita 記號 \(\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\) 是叉積的三維推廣（Hodge 對偶，10.1 節： \(F = *F\) 情形即無磁單極方程的自對偶性——瞬子的數學，9.3 節）。

算子理論#

波方程 \(\Box A^\mu = -\mu_0 J^\mu\) （洛倫茲規範下）是雙曲算子的初值問題；規範條件 \(\partial_\mu A^\mu = 0\) 消去規範自由（把無窮多規範等價解收成一個——規範固定 = 商掉核空間，算子理論的 Fredholm 結構： \(\Box\) 在規範類上是可逆的）。相對論量子力學的 Klein–Gordon/Dirac 算子是 \(\Box + m^2\) 的因子化（Dirac 的矩陣分解 \(\Box = (\gamma^\mu\partial_\mu)^2\) ——平方根算子，譜理論的漂亮章節）。

量子力學#

四動量守恆 = 散射的費曼規則（頂點上 \(P\) 守恆）；
量子電動力學： \(F_{\mu\nu}\) 量子化成光子場；規範對稱 \(A \to A + \partial\chi\) ⟺ 電荷守恆（Noether 第二定理）；
反物質：Dirac 方程的負能解 ⟹ 正電子（Anderson 1932）；QED 的真空極化、蘭姆位移——張量形式的電磁學 + 量子化 = 二十世紀最精確的理論。

廣義相對論的預備#

本章的 \(\eta_{\mu\nu}\) 、 \(\partial_\mu\) 、平直時空守恆，在彎曲時空全部升級： \(\eta \to g_{\mu\nu}(x)\) 、 \(\partial \to \nabla\) （協變導數）、守恆 \(\to \nabla_\mu T^{\mu\nu} = 0\) （6.3 節）——替換三件套（度量、導數、守恆）正是第 8 章的技術全部。

小結#

指標記號 + Lorentz 變換律 = 張量物理的語言；方程協變 ⟺ 物理正確。
四速度恆長 \(c\) ；四動量的模 = 質量； \(E = mc^2\) 是時間分量的化身。
\(F_{\mu\nu}\) 統一 \(\mathbf{E}, \mathbf{B}\) ；Maxwell = 兩條張量方程；磁是電的相對論效應。
\(T^{\mu\nu}\) 統一能量、能流、動量、應力；協變守恆為場方程鋪路。
波四向量類光；Doppler 是 boost 在 \(k^\mu\) 上的作用。

第 8 章完成最後一躍：等效原理把重力幾何化，Einstein 方程把物質與曲率鎖在一起，Schwarzschild 解預言黑洞。