1.3 可分離變數與齊次方程#

本章導言#

1691 年，Leibniz 在給 Huygens 的信中寫下一個簡單到近乎頑皮的觀察：如果方程可以寫成「 \(y\) 的部分 \(= x\) 的部分」，那麼把 \(\dfrac{dy}{dx}\) 當分數、兩邊各自積分，方程就解開了。這就是變數分離法（separation of variables）——微分方程史上第一個系統解法，也是今日每一個初學者學會的第一招。本節講述這個方法的原理、它所依賴的「非法操作」如何被嚴格化、以及它的兄弟方法——齊次方程的代換法。

Leibniz 的洞察：把導數當分數#

一階方程

\[ \frac{dy}{dx} = f(x)\, g(y) \]

稱為可分離方程。Leibniz 的操作是：把 \(dy\) 與 \(dx\) 拆開（「非法」地移項），

\[ \frac{dy}{g(y)} = f(x)\, dx, \]

兩邊積分：

\[ \int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\, dx + C. \]

嚴格地說， \(\dfrac{dy}{dx}\) 不是一个分數， \(dy\) 與 \(dx\) 不是可以單獨搬移的實體——這正是 Berkeley 攻擊微積分的同一軟肋。但操作可以嚴格化：把方程兩邊同乘 \(dx\) 、除以 \(g(y)\) （設 \(g(y) \neq 0\) ），得

\[ \frac{1}{g(y)} \frac{dy}{dx} = f(x). \]

對 \(x\) 積分，左端用鏈鎖律換元 \(y = y(x)\) ：

\[ \int \frac{1}{g(y)}\, dy = \int \frac{1}{g(y(x))}\, y'(x)\, dx = \int f(x)\, dx + C. \]

可見「分離變數」的合法性來自鏈鎖律的逆運算，而非分數魔術。三百年後，微積分教育仍在向學生解釋這件事——Leibniz 的「非法記號」太好用，以至於我們寧願替它補證明，也不願放棄它。

隱式解：不是每個解都解得出來#

分離後得到的是 \(H(y) = F(x) + C\) 的形式。有時可解出 \(y\) （如 \(y^2 = 2x + C \Rightarrow y = \pm\sqrt{2x + C}\) ），有時不能（如 \(y + e^y = x + C\) ）。後者稱為隱式解（implicit solution）——曲線仍然完全確定，只是不能用初等函數的顯式表達。十七、十八世紀數學家對「解不出顯式」深感不安；十九世紀之後，隱式、級數、數值三條出路並存，「解」的觀念隨之擴容（見 5.1、10.1 節）。

恆定解與除法的陷阱#

分離時除以 \(g(y)\) 的動作，悄悄排除了 \(g(y) = 0\) 的情形。例如

\[ \frac{dy}{dx} = y^2 - 1 = (y-1)(y+1) \]

中， \(y \equiv 1\) 與 \(y \equiv -1\) 是恆定解（constant solutions），它們不會出現在「除以 \((y^2 - 1)\) 」後的通解中，必須另外撿回。這個「除法陷阱」是初學者最常犯的錯誤，也是 1.2 節「奇解」現象的最簡單實例。規矩：每除一次，檢查被除式為零的情況。

齊次方程：換元的力量#

定義：若函數 \(f\) 滿足 \(f(\lambda x, \lambda y) = f(x, y)\) 對一切 \(\lambda\) 成立（零次齊次），則方程

\[ \frac{dy}{dx} = f(x, y) \]

稱為齊次方程（homogeneous equation）。等價地， \(f\) 可寫成只依賴比值 \(\frac{y}{x}\) 的函數： \(f(x, y) = \varphi\!\left(\frac{y}{x}\right)\) 。

判別例： \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x + y}{x - y}\) 是齊次的，因為右端分子分母都是一次齊次多項式； \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x + y^2}{x^2}\) 不是。

解法：令 \(v = \dfrac{y}{x}\) ，即 \(y = v x\) ，鏈鎖律給 \(\dfrac{dy}{dx} = v + x \dfrac{dv}{dx}\) 。代入：

\[ v + x \frac{dv}{dx} = \varphi(v) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{\varphi(v) - v} = \frac{dx}{x}, \]

這是可分離方程。齊次方程經一個代換降格為可分離方程——這個「代換化歸」策略，是解微分方程的中心思想，將在 2.3 節（Bernoulli 方程）再次登場。

歷史舞台：從 Leibniz 到 Euler 的技巧積累期#

年份	人物	貢獻
1691	Leibniz	變數分離法（致 Huygens 信）
1691	Leibniz	齊次方程代換 \(y = vx\) 的思想
1694	Leibniz	提出「積分因子」的原始概念（2.1 節）
1720s	Euler	系統整理一階方程解法，統一分離、齊次、線性諸法
1734–1735	Euler	齊次函數定理 \(f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n f(x, y)\) 及 Euler 恆等式

Euler 齊次函數定理：若 \(f\) 為 \(n\) 次齊次函數（ \(f(\lambda x, \lambda y) = \lambda^n f(x,y)\) ），則

\[ x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = n f. \]

這個恆等式在 2.2 節判別正合方程時會以「 \(n = 0\) 」版本出現。Euler 在 1734–1735 年的論文中證明它時，用的正是「對 \(\lambda\) 求導」的聰明把戲——把代數性質轉譯為微分恆等式，這一風格貫穿其全部著作。

一個具體例題#

例題 1.3.1：解初值問題

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x - y}, \qquad y(1) = 0. \]

解：右端是一次齊次式之商，為齊次方程。令 \(y = vx\) ：

\[ v + x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + v}{1 - v}. \]

移項：

\[ x \frac{dv}{dx} = \frac{1 + v}{1 - v} - v = \frac{1 + v - v + v^2}{1 - v} = \frac{1 + v^2}{1 - v}. \]

分離：

\[ \frac{1 - v}{1 + v^2}\, dv = \frac{dx}{x}. \]

積分（左端拆成 \(\frac{1}{1+v^2} - \frac{v}{1+v^2}\) ）：

\[ \arctan v - \frac12 \ln(1 + v^2) = \ln|x| + C. \]

代回 \(v = y/x\) ，並用 \(1 + \frac{y^2}{x^2} = \frac{x^2 + y^2}{x^2}\) ：

\[ \arctan\frac{y}{x} - \frac12 \ln\frac{x^2 + y^2}{x^2} = \ln|x| + C \quad\Longrightarrow\quad \arctan\frac{y}{x} - \frac12 \ln(x^2 + y^2) = C. \]

（利用 \(\frac12\ln\frac{x^2+y^2}{x^2} = \frac12\ln(x^2+y^2) - \ln|x|\) 與右端 \(\ln|x|\) 相消。）

幾何解讀：這是極座標下的自然表述—— \(\arctan\frac{y}{x} = \theta\) ， \(\frac12\ln(x^2 + y^2) = \ln r\) 。解曲線族滿足

\[ \theta - \ln r = C, \qquad \text{即 } r = C' e^{\theta}, \]

等角螺線（logarithmic spiral）！初值 \(y(1) = 0\) 即 \(\theta = 0, r = 1\) ，故 \(C' = 1\) ，解為 \(r = e^\theta\) 。

歷史評註：等角螺線是 Jacob Bernoulli 的至愛——他稱之「spira mirabilis」（奇妙的螺線），發現它放大、縮小、旋轉後與自身全等，遺囑要求把它刻在墓碑上並刻銘文「Eadem mutata resurgo」（縱使改變，我將重生）。一個齊次微分方程的解，成了十七世紀數學家的人生墓誌——微分方程的解不僅描述運動，也承載美感與信仰。

歷史啟示#

記號先行：沒有 Leibniz 的 \(dy/dx\) 分數記號，就沒有分離法。記號的「過度解釋」（把導數真的當分數）反而是發現的引擎。
化歸是第一策略：齊次→可分離、Bernoulli→線性、Riccati→線性（已知特解時）——三百年解方程史就是不斷「把新問題化為舊問題」的歷史。
代換背後是幾何： \(v = y/x\) 的代換在極座標下是「從笛卡兒視角切換到徑向視角」。好的代換幾乎總是對應一次座標系或觀點的切換。

與其他章節及領域的關聯#

1.2 節：可分離方程 \(y' = g(y)\) 是自治方程的最簡型，其平衡解（ \(g(y) = 0\) ）是 6.2 節相平面分析的原材料。
2.1 節：一階線性方程 \(y' + p y = q\) 當 \(q = 0\) 時可分離；一般情形需要積分因子——分離法的自然推廣。
2.2 節：齊次方程的另一路解法是把 \(M dx + N dy = 0\) 化為正合方程，兩條路殊途同歸。
9.1 節：偏微分方程的「分離變數法」與本節同名但深刻得多——把 PDE 拆成多個 ODE，是熱方程理論的引擎；名稱的承襲正是因為思想相同：把多變數問題拆成單變數問題。
人口動力學： \(y' = ky\) （馬爾薩斯）與 \(y' = ky(1 - y/K)\) （Verhulst 1838 邏輯斯蒂方程）都可分離；後者的 S 形曲線是 10.2 節生物應用的基石。
放射性衰變與考古：碳-14 定年就是解 \(y' = -\lambda y\) ——分離變數法每年都在為博物館定年代。

練習#

解 \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x} \cdot \ln y\) （ \(y > 0\) ），並指出你在哪一步用了分離法、是否漏掉恆定解。
解初值問題 \(\dfrac{dy}{dx} = e^{x - y}\) ， \(y(0) = 1\) ，並求顯式解 \(y(x)\) 。
判別下列方程是否齊次： (a) \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x + 3y}{x}\) ；(b) \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2 + y^2}{xy}\) ；(c) \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x + y + 1}{x - y + 2}\) 。（(c) 提示：平移座標消去常數項後可化為齊次。）
解 \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2 + y^2}{xy}\) ，並把答案化為 \(x^2\) 與 \(y^2\) 的關係式。
思考題：邏輯斯蒂方程 \(\dfrac{dy}{dt} = ky(1 - y/K)\) 用分離變數法求解，並說明為什麼 \(y \equiv 0\) 與 \(y \equiv K\) 兩個恆定解在生物學上分別對應「滅絕」與「環境承載力」。

進階研讀：從分離法望向深水的五個場景#

場景一：為什麼「可分離」如此稀少？ 一般方程 \(y' = f(x, y)\) 不可分離—— \(x\) 與 \(y\) 纏結在函數 \(f\) 中。可分離方程在所有一階方程中是測度零的特例，正如可積分的函數在所有函數中是特例。數學教育先教特例是合理的（建立直覺），但讀者應知道：你學會的第一招，覆蓋率其實很低；這正是需要積分因子（2.1）、級數（5.1）與數值法（10.1）的原因。

場景二：奇解與包絡線。方程 \(y = x y' + (y')^2\) （Clairaut 方程，1734 由 Alexis Clairaut 研究）有通解直線族 \(y = Cx + C^2\) ，還有一個奇解 \(y = -\frac{x^2}{4}\) 恰是直線族的包絡線（envelope：與每條直線相切的曲線）。Lagrange 1774 年系統研究奇解，發現奇解常是解族的包絡。這個幾何現象在光學中對應焦散線（caustics：咖啡杯底的光弧）——微分方程的奇解，就是光的亮線。

場景三：分離法的失效與正交軌跡。已知一曲線族 \(F(x, y, C) = 0\) ，求與之處處正交的曲線族（正交軌跡問題，1694 年由 Leibniz 提出）：先由 \(F\) 消去 \(C\) 得微分方程，再以 \(-\frac{dx}{dy}\) （斜率取負倒數）取代 \(\frac{dy}{dx}\) 求解。此技術在靜電學（等位線與電力線互相正交）中是標準工具——一階方程的代數，竟編織出電磁場的幾何骨架。

場景四：隱式解的哲學。 \(y + e^y = x\) 的解存在（因左端對 \(y\) 嚴格遞增）卻不可初等表達。十九世紀以前這被視為「解不出來」；今天我們說：由隱函數定理， \(y\) 是 \(x\) 的良定義光滑函數，可求導、可數值計算、可級數展開。「解」的定義從「寫出公式」演變為「刻畫存在性 + 提供計算途徑」——這個觀念轉變是全書第 3、10 章的主旋律。

場景五：向偏微分方程的分離變數投影。熱方程 \(\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\) 設 \(u = X(x)T(t)\) 後拆成 \(X'' + \lambda X = 0\) 與 \(T' = -\alpha \lambda T\) ——後者正是本節的 \(y' = ky\) ！可見一階可分離方程是偏微分方程理論的細胞。Fourier 1807 年的大發現（9.1 節）就建立在這個細胞上。

補充：Leibniz 1691 年信件的歷史細節#

Leibniz 在 1691 年致 Huygens 的信中，以「quand la équation est telle que...」的口吻展示分離技巧，但並未發表。系統的公開表述見於他 1693 年的論文與 Euler 的教科書式整理。分離法的遲到發表是當時常態：學者先在通信網絡中散布想法，等競爭者無法搶先後才付印——優先權之爭塑造了十七、十八世紀數學的傳播節奏，牛頓—萊布尼茲優先權戰爭（1699–1716 前後達到頂點）甚至使英歐兩陣營停止交流十餘年。

補充：放射性定年——分離法的一百七十萬次應用#

碳-14 衰變： \(\dfrac{dN}{dt} = -\lambda N\) ， \(\lambda = \frac{\ln 2}{5730}\) （半衰期 5730 年）。分離積分得 \(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\) ，反解 \(t = \frac{1}{\lambda}\ln\frac{N_0}{N}\) 。Libby（1908–1980）1949 年建立此法，1960 年獲諾貝爾化學獎。每一次碳定年，都是本節那個 1691 年技巧的一次執行——一個三百年前的代數操作，如今決定一件文物的年齡。

名詞速查表（本節出現的核心術語）#

可分離方程： \(y' = f(x)g(y)\) 型方程。
分離變數法：把 \(x\) 與 \(y\) 分居等號兩側後各自積分。
隱式解：以 \(H(x, y) = C\) 形式給出、未解出 \(y\) 的解。
恆定解（平衡解）： \(y \equiv\) 常數的解，對應 \(g(y) = 0\) 。
齊次方程：右端為零次齊次函數 \(f(\lambda x, \lambda y) = f(x, y)\) 的方程。
代換化歸：經變數代換把方程化為已知類型。
等角螺線： \(r = C e^{a\theta}\) ，與半徑交角恆定的螺線。
包絡線：與曲線族中每一條都相切的曲線；常為奇解。
正交軌跡：與給定曲線族處處正交的曲線族。
Euler 齊次函數定理： \(x f_x + y f_y = n f\) （ \(f\) 為 \(n\) 次齊次）。

年表速查（本節涉及的關鍵年份）#

1691：Leibniz 分離變數法與齊次代換（通信中）。
1693：Leibniz 首次公開闡述微分方程解法。
1694：Leibniz 正交軌跡問題與積分因子思想。
1734：Clairaut 方程與奇解現象。
1734–35：Euler 齊次函數定理。
1774：Lagrange 系統研究奇解與包絡線。
1798：Malthus 人口模型 \(y' = ky\) 。
1838：Verhulst 邏輯斯蒂方程。
1949：Libby 碳-14 定年法。

深化問答三則#

問：分離法中「除以 \(g(y)\) 」何時會出事？ 答：兩種情況。其一， \(g(y_0) = 0\) 的恆定解被排除——須另行撿回（如 \(y' = y^2 - 1\) 的 \(y = \pm 1\) ）。其二，若初值恰好落在 \(g(y_0) = 0\) ，解唯一地就是恆定解（在良好條件下）；這是 3.2 節存在唯一性定理的直接推論。除法不是技術小節，而是「平衡態與非平衡態的分水嶺」。

問：齊次方程與「線性齊次」的「齊次」是同一個詞，為何意義不同？ 答：這是數學術語的歷史重疊。線性齊次方程（ \(g \equiv 0\) ）的「齊次」指右端為零；本節的齊次指次數一致（零次齊次函數）。兩者無邏輯關聯，純屬詞彙撞車。讀者應靠上下文分辨：談「齊次線性方程」是前者，談「齊次方程 \(y' = f(y/x)\) 」是後者。術語的歧義提醒我們：數學名詞是歷史沉積層，不是邏輯分類樹。

問：等角螺線為何出現在齊次方程的解中？ 答：因為齊次方程的向量場在「縮放 \((x, y) \to (\lambda x, \lambda y)\) 」下不變，而縮放不變的幾何正是螺線幾何（放大即旋轉）。這是「代數性質決定解的形狀」的漂亮實例：方程對縮放的對稱性，被解曲線原封不動地繼承。第 4 章中，常係數方程對平移的對稱性，將以指數函數解的形式再次登場——對稱性決定解的形態，這條原理貫穿微分方程三百年。

（本節完）