2.2 正合方程#

本章導言#

考慮方程

\[ M(x, y)\, dx + N(x, y)\, dy = 0. \]

如果左端恰是某個二元函數 \(\varphi(x, y)\) 的全微分：

\[ d\varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x} dx + \frac{\partial \varphi}{\partial y} dy, \]

那麼方程就是 \(d\varphi = 0\) ，積分得隱式解 \(\varphi(x, y) = C\) 。這樣的方程稱為正合方程（exact equation）。它是「位能」概念的數學搖籃：一個力場沿任意路徑作功與路徑無關（保守場），正是正合性的物理化身。本節講述正合性的判準、解法、以及當方程「差一點正合」時的積分因子救援。

歷史起點：Clairaut 與 Euler 的判準#

1739–1740 年，Alexis Clairaut（克萊羅，1713–1765） 與 Euler 幾乎同時發現正合性判準：

定理（正合性判準）：設 \(M, N\) 在單連通區域上有連續一階偏導數。方程 \(M\, dx + N\, dy = 0\) 正合（即存在 \(\varphi\) 使 \(\varphi_x = M, \varphi_y = N\) ）當且僅當

\[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}. \]

必要性由混合偏導相等（Clairaut 定理，即 Schwarz 定理的前身： \(\varphi_{xy} = \varphi_{yx}\) ）立得：

\[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y\, \partial x} = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x\, \partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}. \]

充分性則要建構 \(\varphi\) ：對 \(M\) 關於 \(x\) 積分，「積分常數」其實是 \(y\) 的函數 \(g(y)\) ，再用 \(\varphi_y = N\) 定出 \(g\) 。這個「積分 + 剩餘定函數」的兩段式建構，就是標準解法。

Clairaut 發現此判準時年僅二十六歲，同年在月球理論上成名（他正確計算月球近地點的長期變化，推翻了 Newton 的初算與 Euler 的懷疑——三人為此通信致歉與致賀，是科學史上罕見的溫馨插曲）。

位能與保守場：正合性的物理身份#

若 \(\varphi_x = M = P\) 、 \(\varphi_y = N = Q\) ，向量場 \(\mathbf{F} = (P, Q)\) 滿足 \(\mathbf{F} = \nabla \varphi\) —— \(\mathbf{F}\) 是保守場， \(\varphi\) 是其位能（勢函數）。正合性條件 \(\partial_y P = \partial_x Q\) 就是「旋度為零」。

數學	物理
\(M dx + N dy\) 正合	力場可由位能導出
\(\partial_y M = \partial_x N\)	旋度為零（無旋場）
\(\varphi = C\) 為解	等位線；質點沿等位線無淨作功
積分與路徑無關	能量守恆

由此看，正合方程的解 \(\varphi = C\) 就是等位線族。重力場、靜電場、理想流體的速度場都是正合的——微分方程的解法與物理守恆律在此合一。

積分因子：把「非正合」修成「正合」#

若 \(\partial_y M \neq \partial_x N\) ，可以找因子 \(\mu\) 使 \(\mu M\, dx + \mu N\, dy\) 正合，即

\[ \frac{\partial (\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial (\mu N)}{\partial x}. \]

這是關於 \(\mu\) 的一階偏微分方程，一般難解；但有兩個可解的特殊情形（可用偏微分展開驗證）：

** \(\mu\) 只依賴 \(x\) **：若 \(\dfrac{M_y - N_x}{N}\) 只是 \(x\) 的函數，則

\[ \mu(x) = \exp\!\left(\int \frac{M_y - N_x}{N}\, dx\right). \]

** \(\mu\) 只依賴 \(y\) **：若 \(\dfrac{N_x - M_y}{M}\) 只是 \(y\) 的函數，則 \(\mu(y) = \exp\!\left(\int \frac{N_x - M_y}{M}\, dy\right)\) 。

注意 2.1 節一階線性方程 \(y' + p y = q\) ，改寫為 \((p y - q)\, dx + dy = 0\) 後， \(\frac{M_y - N_x}{N} = p\) 恰只依賴 \(x\) ，故 \(\mu = e^{\int p}\) ——積分因子法是正合理論的特例，這就是 Leibniz 1694 年想法的全貌。

齊次方程的另一條路#

1.3 節的齊次方程 \(M dx + N dy = 0\) （ \(M, N\) 為同次齊次多項式）可以證明有積分因子

\[ \mu = \frac{1}{M x + N y}, \]

使方程正合。於是「代換法」與「積分因子法」是同一問題的兩條路——數學中，同一對象常有多個入口，入口不同、風景互補。

一個具體例題#

例題 2.2.1：解

\[ (2xy + 3x^2)\, dx - x^2\, dy = 0. \]

解：先驗正合性。 \(M = 2xy + 3x^2\) ， \(N = -x^2\) ：

\[ M_y = 2x, \qquad N_x = -2x, \qquad M_y \neq N_x \quad\Rightarrow\quad \text{非正合}. \]

找積分因子。試 \(\mu = \mu(x)\) ：計算

\[ \frac{M_y - N_x}{N} = \frac{2x - (-2x)}{-x^2} = \frac{4x}{-x^2} = -\frac{4}{x}, \]

只依賴 \(x\) ，✓。故

\[ \mu(x) = \exp\!\left(\int -\frac{4}{x}\, dx\right) = x^{-4}. \]

乘上後新方程：

\[ \left(\frac{2y}{x^3} + \frac{3}{x^2}\right) dx - \frac{1}{x^2}\, dy = 0. \]

驗證： \(M' = \frac{2y}{x^3} + \frac{3}{x^2}\) ， \(N' = -\frac{1}{x^2}\) ， \(M'_y = \frac{2}{x^3} = N'_x\) ，✓ 正合。

**建構 \(\varphi\) **： \(\varphi_x = \frac{2y}{x^3} + \frac{3}{x^2}\) ，對 \(x\) 積分：

\[ \varphi = -\frac{y}{x^2} - \frac{3}{x} + g(y). \]

再求 \(\varphi_y = -\frac{1}{x^2} + g'(y)\) ，與 \(N' = -\frac{1}{x^2}\) 比對得 \(g'(y) = 0\) ， \(g =\) 常數。故解為

\[ \boxed{\;\frac{y}{x^2} + \frac{3}{x} = C\;} \]

回顧：讀者可驗證，令 \(v = y/x\) 走 1.3 節齊次代換路線，會得到同一答案（整理後）——兩條路確認彼此，也提示「解的形式反映方法」。

歷史啟示#

判準先於解法：Clairaut–Euler 條件讓我們「先檢查、後動手」——可解性在動筆前就知道。這種「理論先行」的風格，是十八世紀分析學走向成熟的標誌。
物理概念內建於方程：正合性 = 保守性。學微分方程同時在學力學，兩者從來不是兩門課。
積分因子是「修補術」：世界不總是正合的，但常「差一點」——找到 \(\mu\) 就能把缺陷修好。這種「透過變換拯救結構」的精神，貫穿線性代數（相似對角化）、幾何（座標變換）與本書全部章節。

與其他章節及領域的關聯#

2.1 節：一階線性方程的積分因子是正合理論的特例。
1.3 節：齊次方程的積分因子 \(\frac{1}{Mx + Ny}\) 提供第二解法。
2.3 節：Riccati 方程的非線性結構使其一般無積分因子可用——正合理論的邊界。
8.3 節：向量分析與正合性的三維推廣（ \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\) 與位場）在電磁學中全面展開。
熱力學：熱力學第一定律 \(dU = \delta Q - \delta W\) 中， \(dU\) 正合（ \(U\) 是態函數）而 \(\delta Q, \delta W\) 非正合——「正合與否」竟區分了態函數與過程量，是熱力學第二定律表述的數學前提（Carathéodory 1909 的公理化即由此切入）。
偏微分方程：一階 PDE 的特徵線法（Charpit, 1784；Lagrange）是「找積分因子」的高維版本。

練習#

判斷下列方程是否正合： (a) \((2x + y)\, dx + (x + 2y)\, dy = 0\) ；(b) \(y\, dx - x\, dy = 0\) ；(c) \((x^2 + y)\, dx - x\, dy = 0\) 。
解 \((2xy^2 + 2y)\, dx + (2x^2 y + 2x)\, dy = 0\) ，寫出 \(\varphi(x, y)\) 與通解。
對 \(y\, dx - x\, dy = 0\) 找一個只依賴 \(x\) 的積分因子（若存在），或證明不存在並改用其他方法求解。
用積分因子 \(\mu = \frac{1}{Mx + Ny}\) 解齊次方程 \((x + y)\, dx - (x - y)\, dy = 0\) ，並與 1.3 節例題 1.3.1 的結果比對。
思考題：為什麼單連通性在正合性判準中是必要的？考慮 \(\mathbf{F} = \left(\frac{-y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}\right)\) ，驗證 \(\partial_y P = \partial_x Q\) 處處成立（除原點），但 \(\mathbf{F}\) 沿單位圓的環積分為 \(2\pi \neq 0\) ——這說明什麼？

進階研讀：正合理論的五個深化場景#

場景一：單連通與拓撲。練習 5 的向量場是「局部正合、全局不正合」的經典：在挖掉原點的區域上，旋度為零不保證保守。修復方法是定義多值位能 \(\theta = \arg(x + iy)\) ，或把區域切開。這個現象在十九世紀由 Riemann（1826–1866） 的曲面理論系統化，是代數拓撲（同調群）的起源之一——一階微分方程的正合性，竟孕育了現代拓撲。

場景二：Pfaff 與高維推廣。三維 Pfaff 型 \(P\, dx + Q\, dy + R\, dz = 0\) 何時有積分因子？答案（Pfaff 問題，1814–1815）出乎意料地依賴維數：三維以上「一個積分因子」不夠，需要接觸幾何（contact geometry）的語言。Sophus Lie（1842–1899）的李群理論，正是從「對稱性如何產生積分因子」的問題生長出來的——微分方程是李群的搖籃。

場景三：Carathéodory 的熱力學公理化。1909 年 Constantin Carathéodory（1873–1950） 以「不可達原理」（在任一態的任意近旁，存在經絕熱過程不可達的態）公理化熱力學，並證明它等價於存在積分因子使 \(\delta Q\) 變正合。熱力學第二定律 = 積分因子的存在性定理——這是微分方程理論對物理學最深的一次改造之一。

場景四：數值觀點。正合方程的解 \(\varphi = C\) 是等位線，畫等位線（等高線圖）就是「解方程」。現代科學計算中的水平集方法（level set method, Osher–Sethian 1988）反其道而行：讓曲線成為某函數的等位線、追蹤其演化——正合方程的「等位線思維」在影像分割與介面追蹤中每天運轉。

場景五：正合性與微分形式。 \(M dx + N dy\) 是1-形式， \(d\varphi\) 是「恰當形式」。二十世紀微分幾何把「正合/閉合」推廣為 de Rham 上同調（1931）：閉而不恰當的形式測量空間的「洞」。本節的判準 \(M_y = N_x\) 是這座大廈的地基磚——每一個初等技巧，都可能是某個大理論的第一層。

補充：Clairaut 的月球插曲#

1747 年前後，Clairaut 計算月球近地點進動，初算結果約為觀測值的一半，他一度考慮修改平方反比律（加 \(1/r^3\) 項）；Euler 也公開懷疑平方反比律。1750 年代初，Clairaut 改進攝動計算（保留更高階項）後，理論值與觀測吻合——平方反比律得救。他與 Euler 各自致函承認早先的懷疑是倉促的。這段插曲說明：當理論與觀測不符，先懷疑自己的近似階數，再懷疑定律本身——這一優先順序，是十八世紀留給所有計算科學的遺產。

補充：如何快速記憶兩種積分因子公式#

用「對角線法」記：對 \(M dx + N dy = 0\) ，

想「 \(\mu(x)\) 」時，算 \(\dfrac{M_y - N_x}{N}\) ——分子是「 \(y\) 對 \(M\) 減 \(x\) 對 \(N\) 」的差，分母是不含 \(x\) 微分的那個 \(N\) ；
想「 \(\mu(y)\) 」時，反過來 \(\dfrac{N_x - M_y}{M}\) 。

若比值混有兩個變數，表示 \(\mu\) 依賴組合（如 \(xy\) 、 \(x/y\) 、 \(x^2 + y^2\) ），此時換代換或換方法。教科書公式易忘，但「檢查比值是否單變數」的動作不會忘——記動作，不記公式。

名詞速查表（本節出現的核心術語）#

正合方程： \(M dx + N dy = 0\) 左端為全微分 \(d\varphi\) 。
正合性判準： \(M_y = N_x\) （單連通區域上充要）。
位能（勢函數）： \(\varphi\) 使 \(\nabla \varphi = \mathbf{F}\) 。
保守場：作功與路徑無關的向量場。
旋度：二維中 \(\partial_x N - \partial_y M\) ；零旋度 = 無旋場。
積分因子：使方程化為正合的乘法因子 \(\mu\) 。
單連通：任何閉路可連續收縮為一點的區域；無「洞」。
等位線： \(\varphi = C\) 的曲線族，即正合方程的解曲線。
1-形式：微分形式的最低階； \(M dx + N dy\) 是其範例。
Carathéodory 不可達原理：熱力學第二定律的幾何公理化。

年表速查（本節涉及的關鍵年份）#

1694：Leibniz 積分因子思想。
1739–1740：Clairaut 與 Euler 各自建立正合性判準。
1747–1752：Clairaut 月球近地點爭議與修正。
1784：Charpit 特徵線法（一階 PDE）。
1814–1815：Pfaff 問題。
1842–1899：Lie 對稱性與李群。
1909：Carathéodory 熱力學公理化。
1931：de Rham 上同調。
1988：水平集方法。

深化問答三則#

問：正合性判準與「混合偏導相等」是什麼關係？ 答：必要性就靠它（ \(\varphi_{xy} = \varphi_{yx}\) ，歷史上稱 Clairaut 定理或 Schwarz 定理）；充分性反過來由 \(M_y = N_x\) 建構出 \(\varphi\) 。所以正合性判準是「混合偏導定理的雙向應用」：一個方向免費，一個方向要積分勞動。這種「一個定理的兩個方向 = 判準的兩半」的結構，在數學中隨處可見（如 4.1 節 Wronskian 與線性無關的關係）。

問：為什麼積分因子 \(\mu\) 的條件是「比值只依賴單一變數」？ 答：因為 \(\mu(x)\) 時條件化為 \(\dfrac{d\mu/\mu}{dx} = \frac{M_y - N_x}{N}\) ——左端只含 \(x\) ，右端必須也只含 \(x\) 才能積分。條件不是數學家的偏好，而是「分離變數能否進行」的反映。又一次：一切技巧的深處都站著分離變數（1.3 節）。

問：正合方程的解是「等位線」，那非正合方程的解曲線族是什麼？ 答：它們仍是某個函數的等位線——只是找不到那個函數的初等表達式（或根本不存在全域位能，如練習 5 的向量場）。解曲線族 \(\Phi(x, y) = C\) 總是「局部」存在的（流函數論證），差別在於 \(\Phi\) 是否可及。解不是有無的問題，而是可否寫下的問題——這是 1.3 節「隱式解哲學」的向量場版本。

（本節完）