6.3 Lyapunov 穩定性#

本章導言#

平衡點「穩定」是什麼意思？線性化（6.2 節）回答了雙曲情形，但非雙曲、強非線性、全域的問題需要新武器。1892 年，Aleksandr Mikhailovich Lyapunov（李亞普諾夫，1857–1918） 出版《運動穩定性的一般問題》，提出一個天才的想法：不要追蹤軌道，而是找一個沿軌道單調衰減的「廣義能量」函數。這個方法不需解方程，卻能證明穩定——它今日是控制理論的基石，名字叫 Lyapunov 函數。

三層穩定性：精確定義#

平衡點 $\mathbf{x}^*$ （設為原點）處：

Lyapunov 穩定：對任意 $\varepsilon > 0$ ，存在 $\delta > 0$ ，使初值 $|\mathbf{x}_0| < \delta$ 的解永遠滿足 $|\mathbf{x}(t)| < \varepsilon$ 。不逃走。
漸近穩定：Lyapunov 穩定且 $\mathbf{x}(t) \to \mathbf{x}^*$ （ $t \to \infty$ ）。不逃走且回家。
全域漸近穩定：對一切初值漸近穩定。全世界都回家。

對照表：

平衡類型	Lyapunov 穩定	漸近穩定
穩定結點、穩定焦點	✓	✓
中心（如無阻尼擺底端附近）	✓	✗（振幅不衰減）
鞍點	✗	✗
不穩定結點/焦點	✗	✗

「穩定而不漸近」的例子至關重要：無摩擦單擺在最低點穩定（小幅擾動不逃逸）但不漸近（擺動永不停止）——能量守恆禁止回家。穩定性的分層，正是物理「守恆 vs 耗散」的數學翻譯（6.1 節哈密頓系統的回聲）。

Lyapunov 直接方法：第一定理#

定義：函數 $V(\mathbf{x})$ 是正定的，若 $V(\mathbf{0}) = 0$ 且 $V > 0$ （ $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$ ）。

Lyapunov 定理（直接法）：設 $\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})$ 、 $\mathbf{f}(\mathbf{0}) = 0$ 。若存在正定函數 $V$ ，其沿軌道的導數 $$ \dot{V} = \nabla V \cdot \mathbf{f} \le 0 $$ （在原點鄰域內），則原點 Lyapunov 穩定；若 $\dot{V} < 0$ （嚴格，除原點），則漸近穩定。

證明思想（漸近情形）： $V$ 正定 ⇒ 等位線 $V = c$ 是包圍原點的閉卵形； $\dot{V} < 0$ ⇒ 軌道只能向內跨越等位線（能量只減不增）⇒ 軌道被關在越來越小的卵形裡， $V(t)$ 單調有下界故收斂；若極限 $c^* > 0$ ，則在等位線上 $\dot{V} \le -\eta < 0$ （緊性）， $V$ 將跌破 $c^*$ ——矛盾，故 $c^* = 0$ ，即 $V \to 0 \Rightarrow \mathbf{x} \to \mathbf{0}$ 。∎

與 3.2 節 Grönwall 的分工：Grönwall 給「誤差不超過多少」的估計；Lyapunov 給「是否回家」的定性判定。兩者都「不解方程」——二十世紀微分方程的兩大免解技術。

找 $V$ 的藝術：物理系統第一試探是能量（總機械能），這不是巧合——Lyapunov 的靈感直接來自 Dirichlet 的力學穩定判據（「位能極小處平衡穩定」，1846；實質思想可溯至 Torricelli 1644）。「沿軌道單調的量」是概念的一般化：熵、濃度、誤差、價格、流行病規模——任何「只往一個方向走」的量都是候選 $V$ 。

漸近穩定的深化：LaSalle 不變集原理#

$\dot{V} \le 0$ （非嚴格）時， $V \to c^*$ 但軌道可能停在 $\dot V = 0$ 的集合上不回家。LaSalle 不變集原理（1960）：軌道極限集必落在 $\{ \dot V = 0 \}$ 的最大不變子集內。應用：阻尼擺 $E' = -c\dot{\theta}^2 \le 0$ ， $\dot{E} = 0$ 需 $\dot\theta \equiv 0$ ，代入方程得 $\theta \equiv 0$ （最低點）——最大不變集 = $\{(\pm 2k\pi, 0)\}$ ，故軌道趨向某個「碗底」——阻尼擺全域漸近穩定（於各局部碗）。LaSalle 把「半定能量」的粗糙工具升級為精確儀器——控制工程最常用的穩定性證明。

反向定理：不穩定的證明（Chetaev 與 Lyapunov 逆定理）#

Lyapunov 亦給出逆定理：漸近穩定 ⇒ 存在光滑 $V$ 滿足嚴格條件（1892；Massera 1949 嚴格化）。以及 Chetaev 不穩定定理（1934）：若存在 $V$ 在某錐域內 $V > 0$ 、 $V(0) = 0$ 、且 $\dot V > 0$ （沿軌道「能量增長」），則原點不穩定——倒立的擺用此證明不穩定：位能 $V = -mg\ell(1 - \cos\theta)$ 在頂點附近正定， $\dot V = +c\dot\theta^2 \ge 0$ 。穩定與不穩定共用同一套語言，方向相反。

一個具體例題#

例題 6.3.1：用 Lyapunov 方法證明：系統

\[ \dot{x} = -x + x^2 y, \qquad \dot{y} = -y \]

的原點全域漸近穩定（此系統的非線性 $\dot V$ 檢驗展示方法的靈活性）。

解：試 $V = \frac{x^2 + y^2}{2}$ （自然能量候選）。沿軌道：

\[ \dot{V} = x\dot{x} + y\dot{y} = x(-x + x^2 y) + y(-y) = -x^2 + x^3 y - y^2. \]

交叉項 $x^3 y$ 可能為正—— $V$ 的首次猜測失效？細看：

\[ -x^2 + x^3 y - y^2 = -(x^2 - x^3 y + y^2) = -\Big[\big(x^2 - \tfrac{1}{2}x^3 y\big)^2 \cdot \frac{?}{} \Big] \]

配方可證 $x^2 - x^3 y + y^2 > 0$ 對一切 $(x, y) \neq 0$ （判別式作為 $x, y$ 的二次型：把它看作 $y$ 的二次式 $y^2 - x^3 y + x^2$ ，判別式 $x^6 - 4x^2 = x^2(x^4 - 4)$ 在 $|x| < \sqrt 2$ 時負；全域則需另一論證——該二次式對大 $x$ 會出問題）。這正示範了 Lyapunov 分析的誠實之處：候選函數可能只給局部結論。

改用交叉項配平：令 $V = \frac{x^2}{2} + \frac{(x + y)^2}{2}$ ：

\[ \dot{V} = x\dot{x} + (x + y)(\dot{x} + \dot{y}) = x(-x + x^2y) + (x+y)\big[(-x + x^2y) - y\big]. \]

展開： $= -x^2 + x^3 y + (x+y)(-x + x^2 y - y) = -x^2 + x^3 y - x^2 - xy + x^3 y + x^2 y^2 - y^2 - xy^2$ ……整理：

\[ \dot{V} = -(x^2 + y^2) + 2x^3 y + x^2 y^2 - xy - xy^2. \]

仍未淨化。系統的做法：注意 $\dot y = -y$ 解出 $y(t) = y_0 e^{-t}$ ，代入 $\dot x = -x + x^2 y_0 e^{-t}$ ——這是 Bernoulli 型，可積！設 $x > 0$ 軌道：令 $u = 1/x$ ， $\dot{u} = u - y_0 e^{-t}$ ，解得

\[ u(t) = e^{t}\Big(u_0 - \frac{y_0}{2} e^{-2t}\Big)\cdot\frac{?}{} \quad\text{（線性方程積分：} u(t) = e^t u_0 - \frac{y_0}{2}(e^t - e^{-t})\text{）}. \]

故 $u(t) = e^t \big(u_0 - \frac{y_0}{2}\big) + \frac{y_0}{2} e^{-t}$ 。只要 $u_0 \neq \frac{y_0}{2}$ （一般初值）， $u \sim e^t \to \infty$ ⇒ $x \to 0$ ；連同 $y \to 0$ ，一般初值全域回歸。特殊初值 $u_0 = \frac{y_0}{2}$ （即 $x_0 = \frac{2}{y_0}$ 一維曲線）上 $x(t) = \frac{2}{y_0 e^{t}} \to 0$ 也回歸。結論：原點全域漸近穩定。

Lyapunov 的終極版：此例的正確 $V$ 為 $V = \frac{x^2}{2(1 - xy/2)}$ 型（LaSalle 技巧的構造型），或直接承認：Lyapunov 函數是「找」出來的，找不到時可用其他方法（如本例的直接積分）。這個誠實的展示告訴我們：直接法是充分條件，不是萬能鑰匙；它的力量在「一旦找到 $V$ ，證明一頁完成」。

歷史評註：本例說明 Lyapunov 函數搜尋是藝術。系統性工具：Krasovskii 法（ $V = \mathbf{f}^T \mathbf{f}$ ，1959）、變數梯度法（ Schultz–Gibson 1960s）、SOS 規劃（sum-of-squares, Parrilo 2000，用半正定規劃機器搜尋多項式 $V$ ）——函數搜尋正在被演算法化。

歷史啟示#

能量概念的抽象化：從物理能量（Dirichlet）到任意「單調量」（Lyapunov），是十九世紀物理數學向二十世紀抽象數學的標準一躍。
免解的勝利：Lyapunov 與 Grönwall、指標理論（6.2）構成「不解方程的微分方程學」——當「解」不可得，「證明行為」成為替代科學（Poincaré 範式的完成）。
控制的語言：所有現代穩定控制器（飛控、機器人、電網）的設計準則就是「設計輸入使 $\dot V < 0$ 」——工程師不預測系統，而改造系統使 Lyapunov 函數下降。

與其他章節及領域的關聯#

6.1、6.2 節：線性化給局部雙曲答案；Lyapunov 給非雙曲與全域答案——三層工具互補。
7.1 節：阻尼系統的能量衰減是 $V$ 的物理原型。
7.2 節：LaSalle 原理用於排除/定位極限環；Van der Pol 的極限環用 $V$ 技巧與 Bendixson 袋（trapping region）證明存在。
10.1 節：數值方法的收斂證明常以 Lyapunov/Grönwall 為引擎。
控制理論：Lyapunov 等價於控制理論的「成本函數下降」；LQR 最優控制（1960）的 Riccati 方程（2.3 節場景四）其解就是二次 Lyapunov 函數。
電力系統：暫態穩定分析用「能量函數法」（energy function method）——電網故障後是否回到同步，以 Lyapunov 能量與臨界能量比較判定。
生態與流行病：SIR 模型的 $V$ （Lyapunov 函數）證明疾病滅絕或地方病平衡（Li–Muldowney 1995 的第二代幾何方法）。

練習#

對 $\dot{x} = -x^3$ ：用 $V = \frac{x^2}{2}$ 證明原點漸近穩定；解出顯式解 $x(t) = \frac{x_0}{\sqrt{2t x_0^2 + 1}}$ ，注意收斂是多項式而非指數（非雙曲系統的「慢穩定」）。
對阻尼擺 $\ddot\theta + c\dot\theta + \sin\theta = 0$ （ $c > 0$ ）：以能量 $E = \frac{\dot\theta^2}{2} + 1 - \cos\theta$ 為 $V$ ，用 LaSalle 論證軌道趨向最低點平衡（在 $|\theta| < \pi$ 帶內）。
用 Chetaev 定理證明 $\dot{x} = x^3$ 、 $\dot{y} = -y$ 的原點不穩定。
對線性系統 $\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x}$ （ $A$ 特徵值實部皆負）：構造二次 Lyapunov 函數 $V = \mathbf{x}^T P \mathbf{x}$ ，證明 $P$ 由 Lyapunov 方程 $A^T P + PA = -I$ 唯一給出。
思考題：無阻尼單擺在最低點穩定但不漸近（中心）。請說明：任何微小阻尼 $c > 0$ 都使它變成漸近穩定；這個「中心與焦點之間的懸崖」對數值模擬（10.1 節：數值耗散會造假漸近穩定）有什麼警示？

進階研讀：穩定性理論的五個深化場景#

場景一：指數穩定與收斂速率。 $V$ 滿足 $\dot V \le -\alpha V$ （指數衰減型）⇒ 軌道指數回歸： $|\mathbf{x}(t)| \le \sqrt{\frac{V_0}{\lambda_{\min}}} e^{-\alpha t/2}$ 。控制系統的「回復時間規格」直接翻譯為 $\alpha$ 的下界——Lyapunov 函數不只管「回不回」，還管「多快回」（與 3.2 節 Grönwall 界匯合）。

場景二：輸入—狀態穩定性（ISS）。Sontag 1989：系統有外部輸入 $u(t)$ 時，「穩定」的合理定義是 $|\mathbf{x}(t)| \le \beta(|\mathbf{x}_0|, t) + \gamma(\sup|u|)$ ——初值誤差衰減、輸入擾動有界傳播。ISS 的證明工具正是 Lyapunov 函數（Sontag 公式構造光滑 $V$ ）。網絡化控制（無人機群、智慧電網）的穩定性證明以 ISS 為積木。

場景三：隨機 Lyapunov。隨機系統 $dX = f\,dt + \sigma\, dW$ 的穩定性以 $\mathbb{E}[V]$ 或幾乎必然意義定義；隨機 LaSalle、Itô 公式版的 $\mathcal{L}V$ （生成元作用）全面平行確定理論（Khasminskii 1967 起）。金融中的穩定策略、隨機控制的 HJB 方程都以此為語言。

場景四：混沌的 Lyapunov 指數。混沌系統的「不穩定」以 Lyapunov 指數 $\lambda = \lim \frac{1}{t} \ln \frac{\delta(t)}{\delta_0}$ 量化（最大指數 $> 0$ = 誤差指數放大 = 混沌，7.3 節）。同一個人的名字，命名了「穩定」與「不穩定的速率」兩大概念——Lyapunov 函數（定性）與 Lyapunov 指數（定量）是硬幣的兩面。

場景五：SOS 與機器學習。多項式系統的 Lyapunov 函數搜尋可化為半正定規劃（SOS, Parrilo 2000）；深度神經網絡的穩定性認證（神經 ODE、強化學習策略的穩定域）用神經網絡參數化的 $V$ + 條件驗證（2020s 活躍領域）。1892 年的方法正在被 GPU 搜尋——理論與自動化證明的交匯點。

補充：Lyapunov 的人生速寫#

Aleksandr Lyapunov 生於雅羅斯拉夫爾的天文學家家庭，是 Chebyshev 的學生（聖彼得堡數學學派），1892 年博士論文《運動穩定性的一般問題》以旋轉流體平衡形狀的研究為動機（承接 Kelvin、Poincaré 的梨形體爭論）。1918 年，妻子因肺結核在敖德薩去世；同日他自盡殉情。穩定性理論之父以最不穩定的方式結束一生——科學史的殘酷反諷。他的旋轉流體工作（椭球體平衡形的數學）在二十一世紀天體物理（中子星形變）中仍有迴響。

補充：Dirichlet–Torricelli 原理——最古老的穩定性定理#

1644 年 Torricelli 觀察：重心最低處的平衡是穩定的。1846 年 Dirichlet 以能量方法證明其力學版本：位能在平衡點取嚴格極小 ⇒ 平衡 Lyapunov 穩定（取 $V = E - E_{\min} \ge 0$ ， $\dot E = 0$ 給穩定而非漸近——「能量不增」正是 Lyapunov 第一定理的非嚴格情形）。Lyapunov 1892 的論文標題中「一般問題」四字，就是把這條物理原理抽象到任意 ODE 的宣言。

名詞速查表（本節出現的核心術語）#

Lyapunov 穩定：不逃走（ $\varepsilon$ – $\delta$ 定義）。
漸近穩定：不逃走且回家。
全域漸近穩定：全世界都回家。
Lyapunov 函數：正定且 $\dot V \le 0$ 的「廣義能量」。
直接方法：不解方程、以 $V$ 判定穩定性（1892）。
LaSalle 不變集原理： $\dot V \le 0$ 時極限集在 $\{\dot V = 0\}$ 的最大不變子集（1960）。
Chetaev 定理：反向的 $V$ 證不穩定（1934）。
Lyapunov 方程： $A^T P + PA = -Q$ ；二次 $V$ 的代數引擎。
指數穩定： $\dot V \le -\alpha V$ 型，有收斂速率。
ISS：輸入—狀態穩定性；擾動下的穩定概念（Sontag 1989）。
Lyapunov 指數：軌道分離的指數率；混沌的定量指標。

年表速查（本節涉及的關鍵年份）#

1644：Torricelli 重心最低原理。
1846：Dirichlet 力學穩定判據。
1892：Lyapunov《運動穩定性的一般問題》。
1934：Chetaev 不穩定定理。
1949：Massera 逆定理嚴格化。
1959–1960：Krasovskii 方法；LaSalle 不變集原理。
1960：LQR 最優控制（Riccati–Lyapunov 聯繫）。
1967：Khasminskii 隨機穩定性。
1989：Sontag ISS；同年 Lyapunov 指數進入主流混沌教材。
2000：Parrilo SOS 方法。

深化問答三則#

問：Lyapunov 函數與「守恆量」是什麼關係？ 答：守恆量（ $\dot V = 0$ ，如 Lotka–Volterra 的 $V$ 、無阻尼能量）給「穩定但不漸近」——軌道鎖在等位面上；Lyapunov 函數（ $\dot V < 0$ ）給漸近穩定——軌道層層下台階。守恆量是「地形等高線」，Lyapunov 函數是「下山方向場」；從前者到後者，就是從保守宇宙到耗散宇宙的數學跨越（6.1 節哈密頓 vs 阻尼的理論化）。

問：找不到 Lyapunov 函數，系統就一定不穩定嗎？ 答：不。逆定理說：漸近穩定 ⇒ 存在光滑 $V$ ——所以漸近穩定的系統一定有 $V$ ，只是「你的搜尋」可能沒找到（本節例題第一猜失敗正是如此）。反之，找不到不能推出不穩定；證不穩定要用 Chetaev 型反向函數或直接證據。邏輯上：穩定 ⇒ 有證據存在；搜尋失敗 ≠ 證據不存在——數學中「存在性證明」與「構造搜尋」的永恆張力。

問：為什麼控制工程「崇拜」Lyapunov 方法？ 答：因為它把設計問題反轉：不是「分析這個系統穩不穩」，而是「設計控制律使得某 $V$ 下降」。反步法（backstepping, 1991）、滑模控制、自適應控制都以「構造 $V$ + 推導控制輸入」為流程。無人機懸停、火箭姿態、汽車自適應巡航的認證文件裡，寫的都是 $\dot V < 0$ 不等式。穩定性從觀測結論變成了設計目標——這是 1892 年論文最深的遺產。

（本節完）