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8.2 解初值問題#

本章導言#

8.1 節備好了字典與性質；本節把它們裝配成完整的生產線：初值問題 → 變換域代數方程 → 部分分式 → 逆變換 → 解。這條流水線的效率驚人：二階非齊次 IVP 常在六行內解完，且每一步無需靈感。本節以完整案例展示流程、討論共振情形的極點處理，並用「極點—行為對照表」把變換域結果翻譯回物理。

流水線總覽#

解 \(y'' + a y' + b y = g(t)\) 、 \(y(0) = y_0\) 、 \(y'(0) = y_1\) ：

第一步：變換（微分律，8.1 節性質 2）：

\[ (s^2 + as + b)\, Y(s) = G(s) + (s + a)\, y_0 + y_1. \]

第二步：解出 \(Y\) ——純代數：

\[ Y(s) = \underbrace{\frac{(s + a) y_0 + y_1}{s^2 + as + b}}_{\text{初值響應（齊次模態）}} + \underbrace{\frac{G(s)}{s^2 + as + b}}_{\text{強迫響應}}. \]

注意結構：分母 \(s^2 + as + b\) 就是特徵多項式（4.2 節）！其根（極點）決定齊次模態； \(G\) 的極點決定強迫成分。通解 = 特解 + 齊次解的結構（4.3 節）在變換域中一目了然。

第三步：部分分式——把 \(Y\) 拆成查表項。

第四步：逆變換——逐項查表得 \(y(t)\) 。

極點—行為對照表（翻譯字典）#

\(Y(s)\) 的極點 \(y(t)\) 的成分 物理意義
\(r\) 單實極點 \(Ce^{rt}\) 指數模態
\(r\) 重極點（ \(k\) 重） \((C_1 + C_2 t + \cdots + C_k t^{k-1}) e^{rt}\) 共振（7.1 節）
\(\alpha \pm i\beta\) \(e^{\alpha t}(C\cos\beta t + D\sin\beta t)\) 阻尼振盪
\(s = 0\) 常數（階躍響應的終值成分） 直流/靜態
左半平面 衰減 穩定模態
右半平面 增長 不穩定（7.1 顫振）

工程師讀極點如讀病歷：極點位置就是系統的命運。這張表是 4.2 節三案例、6.1 節平衡分類、7.1 節共振在變換域的統一入口。

一個具體例題（完整流水線）#

例題 8.2.1：解初值問題

\[ y'' + 3y' + 2y = e^{-t} u(t), \qquad y(0) = 0, \quad y'(0) = 0. \]

解：

第一步： \(G(s) = \mathcal{L}\{e^{-t}\} = \frac{1}{s + 1}\) （ \(u(t)\) 只表示信號從 0 開始，單邊變換自動處理）。初值皆零，微分律乾淨落地：

\[ (s^2 + 3s + 2)\, Y(s) = \frac{1}{s + 1} \quad\Longrightarrow\quad Y(s) = \frac{1}{(s + 1)^2 (s + 2)}. \]

第二步：部分分式。設

\[ Y(s) = \frac{A}{s + 1} + \frac{B}{(s + 1)^2} + \frac{C}{s + 2}. \]

蓋住法（cover-up）： \(C = \lim_{s \to -2} (s + 2) Y = \frac{1}{(-2 + 1)^2} = 1\) 。 \(B = \lim_{s \to -1} (s+1)^2 Y = \frac{1}{-1 + 2} = 1\) 。 \(A\) ：通分比對 \(s\) 的一次係數（或取 \(s = 0\) ）： \(1 = A(s+1)(s+2)|_{\text{整理}} \cdots\) ，系統做法：兩邊乘 \((s+1)(s+2)\) 後展開

\[ 1 = A(s + 1)(s + 2) + B(s + 2) + C(s + 1)^2, \]

代入 \(C = 1, B = 1\) ： \(1 = A(s^2 + 3s + 2) + s + 2 + s^2 + 2s + 1\) 。比對 \(s^2\) 係數： \(0 = A + 1 \Rightarrow A = -1\) 。（驗證常數項： \(1 = 2A + 2B + C = -2 + 2 + 1 = 1\) ✓。）

故

\[ Y(s) = \frac{-1}{s + 1} + \frac{1}{(s + 1)^2} + \frac{1}{s + 2}. \]

第三步：查表逆變換（ \(t e^{at} \to \frac{1}{(s - a)^2}\) 型，此處 \(a = -1\) ）：

\[ \boxed{\;y(t) = -e^{-t} + t\, e^{-t} + e^{-2t}\;} \]

第四步：檢驗與解讀。 \(y(0) = -1 + 0 + 1 = 0\) ✓； \(y'(0) = (1 - 0) + 1 + (-2)\) ……細算： \(\frac{d}{dt}(t e^{-t}) = (1 - t)e^{-t}\) ，故 \(y'(0) = 1 + 1 - 2 = 0\) ✓。

行為解讀：強迫 \(e^{-t}\) 與系統的齊次模態 \(e^{-t}\) 同頻——這是共振（7.1 節）：響應含 \(t e^{-t}\) 項（重極點 \((s+1)^2\) 的時間域簽名，對照表第二行）。但阻尼（ \(+2\) 模態 \(e^{-2t}\) ）與強迫自身的衰減使振盪有界： \(t e^{-t} \to 0\) （指數壓過線性），峰值在 \(t = 1\) 附近 \(y \approx 0.37\) ，此後衰減歸零。「與衰減強迫共振」是暫時的放大而非災難——真正的災難需要持續的正頻率強迫（7.1 節 \(t\sin\omega_0 t\) ）。

歷史評註：本例的「蓋住法」部分分式技巧在 Heaviside 的運算微積分中已具雛形（他稱之「Heaviside expansion」）；今日的系統化表述歸功於二十世紀教科書。一個電報工程師的操作，成為全世界的標準技能。

共振情形的極點語言#

強迫頻率與齊次模態重合 ⇔ \(G(s)\) 的極點與特徵多項式的根重合 ⇔ 部分分式出現重極點 ⇔ 時間域出現 \(t e^{rt}\) 或 \(t\sin\omega_0 t\) 。4.3 節的「撞形修正乘 \(x^s\) 」在變換域中就是「重數相加」——兩種語言的精確互譯：

\[ \text{撞形 } s \text{ 次} \;\Longleftrightarrow\; \text{極點重數 } k = s + 1 \;\Longleftrightarrow\; t^{s} \text{ 因子}. \]

一個具體例題（工程型：階躍輸入）#

例題 8.2.2：RLC 電路 \(q'' + 4q' + 5q = 10 u(t)\) （ \(q(0) = q'(0) = 0\) ），求電荷 \(q(t)\) 與穩態值。

解： \(G(s) = \frac{10}{s}\) ，

\[ Y(s) = \frac{10}{s(s^2 + 4s + 5)} = \frac{A}{s} + \frac{Bs + C}{s^2 + 4s + 5}. \]

\(A = \frac{10}{5} = 2\) 。 \(1 = A(s^2 + 4s + 5) + (Bs + C) s\) ：比對 \(s^2\) ： \(0 = A + B \Rightarrow B = -2\) ； \(s\) ： \(0 = 4A + C \Rightarrow C = -8\) 。

\[ Y(s) = \frac{2}{s} - \frac{2s + 8}{s^2 + 4s + 5} = \frac{2}{s} - \frac{2(s + 2)}{(s+2)^2 + 1} - \frac{4}{(s+2)^2 + 1}. \]

逆變換（配平方完成， \(\alpha = 2, \beta = 1\) ）：

\[ q(t) = 2 - 2 e^{-2t}\cos t - 4 e^{-2t}\sin t \qquad (t \ge 0). \]

穩態： \(q(\infty) = 2 = CV\) 型靜態電荷 ✓（終值定理覆核： \(\lim_{s\to 0} sY = \frac{10}{5} = 2\) ✓）。行為：欠阻尼衰減振盪（ \(\alpha = 2, \beta = 1\) ，對數衰減率 \(4\pi\) ）叠加在靜態終值 2 之上——開關合上後，電荷以約 6.3% 的每週期衰減率「盪」到終值（7.1 節暫態/穩態語言）。∎

歷史啟示#

  • 代數化的極致：微分方程的求解被壓縮為「展開分式 + 查表」——可教、可查、可編程。1950 年代類比計算機與今日的符號軟體（Mathematica 的 InverseLaplaceTransform）都是這條流水線的機械化。
  • 極點視角的統一：4.2 節特徵根、6.1 節特徵值、本節極點、7.1 節共振——一個代數對象（多項式之根）穿四件衣服。學會極點視角，振動、控制、濾波、電路是同一門課。
  • 驗算文化：本例的初值檢驗與終值定理覆核成本極低、收益極高——變換域方法的一個隱藏優點是「檢查點多」（初值、終值、微分律、極點符號都可以獨立驗證）。

與其他章節及領域的關聯#

  • 8.1、8.3 節：工具與輸入信號（階躍、脈衝、方波）。
  • 4.2、4.3 節：特徵根與撞形修正的變換域對應。
  • 7.1 節：共振 = 重極點； \(Q\) = 極點靠近虛軸的程度。
  • 9.1 節：PDE 分離變數後的時間因子正是本節的 \(e^{-\alpha t}\) 模態。
  • 控制工程：閉環傳遞函數的極點配置 = 本節分母的設計；PID 控制器加入零點改變響應。
  • 藥物動力學：口服藥濃度 \(C(t)\) 的房室模型（一階鏈）經 Laplace 求解；「二室模型」的雙指數衰減就是本節兩極點結構——臨床藥理師每天都在做部分分式。
  • 電路暫態分析：SPICE 等模擬器的解析核就是這條流水線。

練習#

  1. 解 \(y'' - 3y' + 2y = 4e^{3t}\) 、 \(y(0) = 1\) 、 \(y'(0) = 0\) （全流程，並指出極點 3 與特徵根的關係）。
  2. 解 \(y' + 2y = u(t - 1)\) （延遲階躍）、 \(y(0) = 0\) ——用時移律（8.1 性質 5），並畫出解的示意圖。
  3. 求 \(q'' + 4q + 5q = 0\) 型電路的單位脈衝響應（ \(g(0)=0, g'(0) = 1\) 型）並驗證其 Laplace 變換 = \(\frac{1}{s^2 + 4s + 5}\) （傳遞函數！）。
  4. 用終值定理直接求練習 1 解的 \(\lim_{t\to\infty} y\) （驗證無右半平面極點後使用），再與顯式解核對。
  5. 思考題：若 \(G(s)\) 的極點恰在虛軸上（ \(g(t) = \cos\omega t\) ）而系統無阻尼，部分分式出現什麼結構？這與 7.1 節「無阻尼純共振」如何對應？再說明：為什麼實際工程永遠「有阻尼」，於是「純共振」是理想化概念？

進階研讀：初值問題的變換視角五場景#

場景一：零狀態與零輸入分解。 \(Y = \frac{\text{初值項}}{\text{特徵多項式}} + \frac{G}{\text{特徵多項式}}\) ——零輸入響應（由初值）與零狀態響應（由輸入）天然分解，且兩者對初值/輸入分別線性。系統理論（疊加的工程版）以這個分解為公理級結構。

場景二：脈衝響應是系統的完整描述。 \(\mathcal{L}\{h\} = G(s)\) （單位脈衝的響應 = 傳遞函數）：知道 \(h(t)\) 就知道系統的一切（任意輸入的響應 = 捲積 \(h * u\) ，Duhamel）。8.3 節將以 \(\delta\) 正式化；這裡只需知道：傳遞函數的時域化身是脈衝響應——測量工程師「敲一下看怎麼震」（modal testing）的理論根據。

場景三：剛性系統的變換視角。極點 \(-1\) 與 \(-10000\) 並存的系統（快慢模態混合，3.3 節場景四）：顯式數值法被快極點鎖死步長；變換域中，「剛性」就是極點模差距懸殊。隱式方法（10.1）的 A-穩定性在 \(s\) 域中一目了然（映射 \(z = \frac{1}{1 - s h}\) 把左半平面映入單位圓）。剛性是極點幾何，不是方程的道德缺陷。

場景四：離散時間的鏡像。採樣後的系統 \(Y(z) = G(z) U(z)\) ，極點在單位圓內外決定穩定（6.1 節場景五）。連續 \(s\) 平面 → 離散 \(z\) 平面的映射 \(z = e^{sT}\) ：左半平面映到單位圓內——兩個世界的穩定域互為鏡像。數位控制（飛控、馬達驅動）的穩定性證明都在 \(z\) 域完成。

場景五：從部分分式到譜分解。高階系統的傳遞函數 \(G(s) = \sum \frac{R_i}{s - p_i}\) （留數展開）：留數 \(R_i\) = 各模態的「權重」，由極點—零點幾何決定。留數理論（複分析，Cauchy 積分公式）是 Bromwich 積分的引擎——部分分式不是技巧，是 Cauchy 留數定理的初等化身。

補充：為什麼「蓋住法」有效#

\(\frac{A}{s + 1}\) 的係數 \(A = \lim_{s \to -1} (s + 1) Y(s)\) ——這正是留數（複分析語言）： \(A = \operatorname{Res}_{s = -1} Y\) 。蓋住法不是小聰明，是 Cauchy 積分公式的一次應用。中學代數技巧的底下埋著十九世紀最深定理——數學的分層結構常以這種方式咬合。

補充：終值定理的陷阱#

\(f(\infty) = \lim_{s \to 0} s F(s)\) 只在 \(F\) 的極點全在左半平面（除可能單極點在原點）時成立。反例： \(f(t) = \sin t\) ， \(F = \frac{1}{s^2 + 1}\) ， \(\lim_{s\to 0} sF = 0\) 但 \(f(\infty)\) 不存在（振盪不止）。定理的條件不是修辭，是防彈衣——工程考試與真實設計中，誤用終值定理的「穩態為零」結論曾導致真實事故。查極點，再用定理。

名詞速查表（本節出現的核心術語）#

  • 流水線：變換 → 代數 → 部分分式 → 逆變換。
  • 零輸入 / 零狀態響應：初值驅動與輸入驅動的分解。
  • 極點—行為對照：極點位置 ⇔ 時域模態。
  • 蓋住法（cover-up）：留數的一次性計算技巧。
  • 共振 = 重極點：撞形修正的變換域表述。
  • 終值定理： \(\lim_{s\to0} sF(s) = f(\infty)\) （需極點條件）。
  • 傳遞函數：零初值下 \(Y/G\) ；系統身份證。
  • 脈衝響應： \(h = \mathcal{L}^{-1}\{G\}\) ；系統的完整描述。
  • 剛性：極點模差距懸殊；數值步長的殺手。
  • A-穩定性：隱式方法對全部左半平面極點穩定。

年表速查（本節涉及的關鍵年份）#

  • 1880s–1890s：Heaviside 展開定理（部分分式運算化）。
  • 1916：Bromwich 嚴格逆變換。
  • 1932：Nyquist 判據（極點視角的穩定性）。
  • 1940s：伺服與控制理論的傳遞函數標準化。
  • 1952：藥物動力學房室模型（Teorell）。
  • 1963：Dahlquist A-穩定性（剛性問題）。
  • 1970s：SPICE 電路模擬器（解析核 + 數值積分）。

深化問答三則#

問：初值為零（零狀態）的問題，變換法與 4.3 節經典法哪個快？ 答：多數情況變換法快（無需猜特解、無需匹配常數），尤其輸入是 \(e^{-t}\) 、 \(u(t)\) 、 \(\sin\) 等查表族時。但若輸入複雜（如 \(\sec t\) ）， \(G(s)\) 本身難求，經典法（參數變異）反而可用。方法選擇的準則是「表示成本」：哪個空間裡問題更簡單，就在哪個空間工作（6.1 節的座標選擇哲學）。

問：為什麼「共振」在變換域中那麼顯眼（重極點）？ 答：因為變換域把「頻率匹配」從時間域的動態現象壓縮成代數的重合： \(G\) 的極點與分母的根重疊 → 部分分式分母的冪升高 → 時域多項式因子。時間域的「能量累積過程」在 \(s\) 域只是一次代數接觸——這就是變換視角的壓縮魔力（對比 7.1 節的能量收支敘事：同一現象，兩種解析度）。

問：變換法有解不了的情況嗎？ 答：有，且邊界清晰：（1） \(g\) 無指數階（如 \(e^{t^2}\) ）；（2）變係數方程（ \(t y'' + y' = 0\) 型——變換產生 \(s\) 域微分方程，只對 Euler 型（5.1 節場景）友好）；（3）非線性方程（乘積 \(y y'\) 變成 \(s\) 域捲積——換了形式沒換難度）。Laplace 是線性常係數的專屬武器；它的成功恰好丈量了「線性常係數」這個王國的面積。

（本節完）