9.1 熱方程與分離變數#

本章導言#

1807 年，Joseph Fourier（傅立葉，1768–1830） 向巴黎科學院提交關於熱傳導的論文，斷言：任意函數都可以展開為三角級數——

\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n \ge 1} \Big(a_n \cos\frac{n\pi x}{L} + b_n \sin\frac{n\pi x}{L}\Big). \]

評審（Lagrange、Laplace、Legendre）認為此說對「任意」函數過於大膽，論文未獲出版。但這個斷言最終改變了數學：為了弄清「什麼樣的函數可展開、級數何時收斂」，Dirichlet（1829） 建立收斂判準、Riemann（1854） 重造積分、Cantor（1872） 走向集合論——一個物理方程的解法，是十九世紀分析的火車頭。本節講述熱方程

\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]

的分離變數解法與傅立葉級數的誕生。

分離變數：把 PDE 拆成 ODE#

設桿長 \(L\) 、兩端固定溫度零（Dirichlet 邊界 \(u(0, t) = u(L, t) = 0\) ）。設解為乘積

\[ u(x, t) = X(x)\, T(t). \]

代入熱方程：

\[ X T' = \alpha X'' T \quad\Longrightarrow\quad \frac{T'}{\alpha T} = \frac{X''}{X} = -\lambda \qquad \text{（兩邊是不同變數的函數，必為常數）}. \]

拆開：

\[ T' = -\alpha \lambda\, T \quad\Longrightarrow\quad T = e^{-\alpha\lambda t} \qquad \text{（1.3 節的 } y' = ky\text{！）} \]

\[ X'' + \lambda X = 0, \qquad X(0) = X(L) = 0 \qquad \text{（邊界條件）}. \]

這個 ODE 的初值問題我們全會（4.2 節）： \(X = A\sin\sqrt\lambda\, x + B\cos\sqrt\lambda\, x\) ；邊界 \(B = 0\) 、 \(\sin\sqrt\lambda\, L = 0\) ⇒ \(\sqrt\lambda L = n\pi\) 。參數被邊界條件量子化：

\[ \lambda_n = \Big(\frac{n\pi}{L}\Big)^2, \qquad X_n = \sin\frac{n\pi x}{L}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots \]

本徵值 / 本徵函數——5.2 節 Legendre 的 \(\lambda = n(n+1)\) 在這裡以最簡形式重現。疊加（每個 \((X_n, T_n)\) 都是解，線性方程允許組合）：

\[ u(x, t) = \sum_{n \ge 1} b_n\, e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t} \sin\frac{n\pi x}{L}. \]

最後一步：匹配初值 \(u(x, 0) = f(x)\) ：

\[ f(x) = \sum b_n \sin\frac{n\pi x}{L} \qquad \Longrightarrow \qquad b_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin\frac{n\pi x}{L}\, dx. \]

（係數公式由正交性 \(\int_0^L \sin\frac{m\pi x}{L}\sin\frac{n\pi x}{L}\, dx = \frac{L}{2}\delta_{mn}\) 兩邊乘 \(\sin\frac{m\pi x}{L}\) 積分而得——5.2 節正交性證明的直系親戚。）

物理解讀：模式的死亡競賽#

解是指數死亡的振動模式之疊加：第 \(n\) 模式按 \(e^{-\alpha (n\pi/L)^2 t}\) 衰減——頻率越高死得越快（ \(n\) 倍頻率 = \(n^2\) 倍衰減率）。後果：

長期行為由最低模式主導： \(t \to \infty\) 時 \(u \approx b_1 e^{-\alpha\pi^2 t/L^2} \sin\frac{\pi x}{L}\) ——高頻細節（初始形狀的稜角）秒死，光滑的基本形態存活最久。熱傳導是天然的「低通濾波器」。
平滑化：無論初值多麼不連續， \(t > 0\) 瞬間 \(u\) 就無窮光滑（ \(C^\infty\) ）——熱方程的瞬時平滑性。這與波方程（9.2 節：奇異性永久傳播）形成 PDE 理論的兩極。「熱方程健忘，波方程長記性」。
時間反演不可能： \(t \to -t\) 的解通常不存在（ \(e^{+\lambda t}\) 爆炸）——熱力學第二定律的數學表現：你無法從「現在的溫度分布」唯一回推「過去」（信息已被高頻死亡摧毀）。

傅立葉級數的誕生與爭論#

Fourier 的斷言激起的爭論（1.2 節已預告）：

d'Alembert / Euler：疊加只能產生「解析」或「分段」的光滑函數，怎能覆蓋任意 \(f\) ？（他們的概念裡「函數 = 公式」）
Fourier 的實戰回答：他計算了不連續函數（如方波）的展開，級數照樣「工作」——計算的證據壓過概念的偏見。
Dirichlet 1829：證明分段光滑函數的傅立葉級數逐點收斂於 \(\frac{f(x^+) + f(x^-)}{2}\) ——不連續點處級數收斂到平均值（方波在跳點取 ½ 的著名圖像）。
Du Bois-Reymond 1876：連續函數的傅立葉級數可以在一點發散——「任意連續函數逐點收斂」的夢破滅。
Kolmogorov 1926：存在 \(L^1\) 函數的傅立葉級數處處發散。
Carleson 1966（菲爾茲 1966）： \(L^2\) 函數的傅立葉級數幾乎處處收斂——一百五十九年的收斂問題以最優形式解決。

「熱方程的初值展開」這一個物理問題，餵養了分析學一百五十九年——這是數學史最長的一次單一問題回報。

一個具體例題#

例題 9.1.1：桿 \(0 < x < \pi\) ，兩端溫度零，初溫 \(f(x) = x(\pi - x)\) 。求溫度分布 \(u(x, t)\) （ \(\alpha = 1\) ），並估計長期行為。

解：展開 \(f\) 為正弦級數：

\[ b_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x(\pi - x) \sin nx\, dx. \]

計算（分部積分兩次； \(\int x \sin nx = -\frac{x\cos nx}{n} + \frac{\sin nx}{n^2}\) ， \(\int x^2 \sin nx\) 類推）：

\[ b_n = \frac{2}{\pi}\Big[\pi \int_0^\pi x\sin nx\, dx - \int_0^\pi x^2 \sin nx\, dx\Big]. \]

\(\int_0^\pi x \sin nx\, dx = \frac{\pi (-1)^{n+1}}{n}\) （因 \(\cos n\pi = (-1)^n\) ）； \(\int_0^\pi x^2 \sin nx\, dx = \frac{2\pi^2 (-1)^{n+1}}{n} - \frac{4\big(1 - (-1)^n\big)\cdot 0}{n^3}\cdot\frac{?}{}\) ——標準結果：

\[ b_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{2\big(1 - (-1)^n\big)}{n^3}\cdot\frac{\pi}{?} \]

直接給出（經兩次分部積分整理）：

\[ b_n = \frac{8}{\pi n^3} \quad (n \text{ 奇}), \qquad b_n = 0 \quad (n \text{ 偶}). \]

** \(b_n \sim n^{-3}\) 的來源： \(f\) 光滑且滿足端點條件 ⇒ 係數快速衰減（一般規律： \(f\) 有 \(k\) 階連續導數 ⇒ \(b_n = O(n^{-k-1})\) 級）——函數的光滑度寫在係數的衰減率裡**（這就是譜方法的收斂原理，5.2 節場景三）。

解：

\[ \boxed{\;u(x, t) = \sum_{n \text{ 奇}} \frac{8}{\pi n^3}\, e^{-n^2 t} \sin nx\;} \]

長期行為： \(n = 1\) 項衰減 \(e^{-t}\) ， \(n = 3\) 項 \(e^{-9t}\) （快 8100 倍！）—— \(t > 0.5\) 後實際只剩基本模式：

\[ u \approx \frac{8}{\pi} e^{-t} \sin x. \]

數值快照： \(t = 0\) 時級數給出拋物線 \(x(\pi - x)\) ； \(t = 0.1\) ： \(b_1 e^{-0.1} \approx 2.29\) 、 \(b_3 e^{-0.9} \approx 0.020\) ——第三模式已衰減 100 倍，曲線已是乾淨的單峰正弦形。熱方程「銼平」初值的速度是 \(n^2\) 級的。∎

歷史啟示#

物理問題養育純數學：傅立葉級數→收斂理論→實數完備性→集合論——應用與基礎的雙向饋送在熱方程上達到歷史巔峰。
函數概念的擴容：從「公式」到「任意對應關係」（Dirichlet 1837 定義）——方波也是函數。這一步解鎖了現代分析。
正交性是萬能鎖：從 5.2 的 Legendre、本節的三角、到 9.2 的波方程——「本徵函數展開」是線性問題的萬能解法，Sturm–Liouville 理論（4.1 節場景二）是其憲法。

與其他章節及領域的關聯#

5.1 節：級數解的另一章——冪級數（局部、連續譜）vs 傅立葉級數（全域、離散譜由邊界決定）。
8.1 節：時間因子 \(e^{-\alpha\lambda t}\) 的變換視角；熱方程的 Laplace 變換解法。
5.2 節：球面上的同構（球諧 = 三角 × Legendre）。
9.2、9.3 節：波方程（記憶型）與 Laplace 方程（靜態極限）。
量子力學：無限深勢阱的 Schrödinger 方程與本節數學逐字相同（ \(\lambda_n = n^2\) ，能級 \(E_n \propto n^2\) ）——一個加熱的桿與一個被囚禁的電子共享同一譜。
影像處理：JPEG = 二維餘弦變換壓縮（丟棄高頻 = 利用「高頻衰減快 + 人眼不敏感」的雙重事實）——熱方程的衰減規律成為壓縮的理論根據。
偏微分方程理論：熱核（heat kernel）、Sobolev 空間、拋物正則性——本節是整座大廈的地基。

練習#

桿 \(0 < x < 1\) 、絕熱端（Neumann 條件 \(u_x(0,t) = u_x(1,t) = 0\) ）：求本徵值與本徵函數（提示： \(\cos\) 族，含常數模式 \(\lambda_0 = 0\) ），並解釋為何絕熱桿的溫度總量守恆。
解初邊值問題： \(u_t = u_{xx}\) 、 \(u(0,t) = u(\pi,t) = 0\) 、 \(u(x,0) = \sin x + \frac{1}{3}\sin 3x\) （係數已給，直接疊加）。
計算 \(f(x) = x\) （ \(0 < x < \pi\) ）的正弦係數 \(b_n\) ，寫出級數，並指出 \(n\) 大時的衰減率——討論 \(f\) 的端點跳躍（奇延拓）如何減緩衰減（Gibbs 現象的伏筆）。
證明正交關係 \(\int_0^\pi \sin mx \sin nx\, dx = \frac{\pi}{2}\delta_{mn}\) （積化和差）。
思考題：熱方程的「瞬時平滑」與波方程的「永久傳播」形成對照。請從「高頻衰減率 \(e^{-n^2 t}\) vs 相位旋轉 \(e^{inct}\) 」的角度解釋這個對照，並說明為什麼現實中的熱流不可逆、而（理想）波動可逆。

進階研讀：熱方程的五個深化場景#

場景一：熱核與基本解。無界桿的解由捲積給出：

\[ u(x, t) = \int_{-\infty}^{\infty} K(x - \xi, t)\, f(\xi)\, d\xi, \qquad K(x, t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi \alpha t}}\, e^{-x^2/4\alpha t}. \]

** \(K\) 是熱方程的脈衝響應（8.3 節 \(\delta\) 的 PDE 版： \(K_t = \alpha K_{xx}\) 、 \(K(x, 0) = \delta\) ）——高斯核隨時間「胖化」：初始點滴稀釋為鐘形。布朗運動（Einstein 1905、Wiener 1923）： \(K\) 恰是擴散步子的位置分佈——熱方程 = 擴散 = 隨機行走，三位一體**（費曼–Kac 公式 1948 把它接到金融期權定價）。

場景二：最大值原理與唯一性。熱方程的最大值原理：解的最大值在初始或邊界取得（內部不會「無中生熱」）。由它一步證明唯一性（兩解之差零初邊值 ⇒ 恆零）與穩定性（初值小差 ⇒ 解小差）。9.3 節 Laplace 方程的極值原理是其靜態親戚——「PDE 的良態性由極值原理保證」。

場景三：譜方法的計算威力。本節的分離變數在數值上就是譜方法：空間離散為 \(\sin nx\) 基，PDE 變為 \(n\) 個解耦 ODE \(\dot{u}_n = -\alpha n^2 u_n\) ——每個模式一步積分、指數精確。對光滑解， \(N\) 個基達 \(e^{-cN}\) 誤差（vs 有限差分 \(h^p\) ）——譜方法的「無限階」源於 \(n^2\) 衰減結構（Trefethen 2000 教科書化）。

場景四：非線性熱方程與爆破。 \(u_t = u_{xx} + u^p\) （反應擴散）：初值夠大時解在有限時間爆破（3.3 節場景二的 PDE 版）；臨界指數 \(p_c\) 分隔爆破與全域解（Sobolev 臨界指數理論）。線性熱方程的溫馴（全域平滑）在非線性下可能翻臉——正則性與爆破的邊界是現代 PDE 的主戰場。

場景五：從 Fourier 到小波。傅立葉基（全域正弦）擅長平穩信號、不擅局部化；小波（Daubechies 1988）用「有限支撐 + 多解析度」的基兼顧時頻——JPEG2000、去噪、壓縮感知（Candès–Tao 2006）的基石。「用什麼基展開」是表示論的工程學——從 Fourier 到小波是表示方法的第二次革命，而兩者都是「熱方程初值展開」的子孫。

補充：Fourier 的傳奇人生#

Joseph Fourier 是裁縫之子、孤兒，差點死於恐怖統治（1794 年羅伯斯比爾倒台前夕入獄），後隨拿破崙遠征埃及（1798，任科學團首腦），編纂《埃及記述》。約 1804–1807 年在 Grenoble（伊澤爾省長任內，兼管道路與沼澤排水——行政官員兼職業數學家）研究熱傳導。1811 年科學院大獎（論文獲獎仍被評「嚴格性不足」未刊）；1822 年《熱的解析理論》出版，傅立葉級數正式面世。他晚年似患有（傳聞的）甲狀腺疾病——一種調侃的說法說他因熱研究而「愛暖懼寒」，室溫穿大衣。他的名字如今在每台電腦的 FFT 中每秒執行億萬次。

補充：Gibbs 現象#

方波 \(f(x) = \begin{cases}1 & 0<x<\pi\\ -1&\text{其他}\end{cases}\) 的傅立葉部分和在跳躍點附近過衝約 9%（ \(\frac{2}{\pi}\int_0^\pi \frac{\sin s}{s} ds \approx 1.17898\) ，Wilbraham 1848、Gibbs 1899 解釋），且過衝不隨項數增多而消失（只是變窄）。部分和收斂到函數值，但不一致收斂——「逐點收斂」與「一致收斂」的鴻溝之最佳教材（5.1 節「級數收斂分級」的具體面孔）。數位示波器重建方波時的「耳朵」，就是 Gibbs 現象。

名詞速查表（本節出現的核心術語）#

分離變數： \(u = XT\) 把 PDE 拆成 ODE。
本徵值 / 本徵函數： \(\lambda_n = (n\pi/L)^2\) 、 \(\sin\frac{n\pi x}{L}\) ；邊界條件量子化參數。
傅立葉級數：三角函數正交展開。
正交性： \(\int \sin mx \sin nx = \frac{L}{2}\delta_{mn}\) ；係數公式的根據。
高頻快衰減： \(e^{-\alpha n^2 t}\) ；熱方程的低通行為。
瞬時平滑性： \(t > 0\) 立即 \(C^\infty\) 。
熱核 / 基本解：高斯核捲積；擴散與布朗運動的橋。
最大值原理：極值在初邊界取得；唯一性的引擎。
Dirichlet 收斂定理：分段光滑 ⇒ 收斂到半和（1829）。
Gibbs 現象：跳點 9% 過衝的不一致收斂。
譜方法：以本徵函數為基的數值方法。

年表速查（本節涉及的關鍵年份）#

1807：Fourier 首篇熱傳導論文（遭評審質疑）。
1811：科學院大獎（仍未刊）。
1822：《熱的解析理論》。
1829：Dirichlet 收斂定理。
1837：Dirichlet 函數的現代定義。
1854：Riemann 積分（為三角級數而造）。
1876：du Bois-Reymond 反例（連續函數級數發散點）。
1905：Einstein 布朗運動。
1926：Kolmogorov \(L^1\) 處處發散反例。
1966：Carleson 幾乎處處收斂定理。
1988：Daubechies 小波。

深化問答三則#

問：為什麼邊界條件能「量子化」參數 \(\lambda\) ？ 答：因為邊界條件是非平凡線性約束：一般 \(\lambda\) 下，滿足 \(X(0) = 0\) 的解 \(X = \sin\sqrt\lambda x\) 在 \(x = L\) 處自動不為零——除非 \(\sin\sqrt\lambda L = 0\) 。「邊界上必須為零」是兩個方程，「兩個積分常數」只有有限自由——過剩約束只對離散 \(\lambda\) 可滿足。這與 5.2 節 Legendre 的 \(n(n+1)\) （兩極正則）同一機制：離散譜 = 過剩約束的代價與禮物。

問：熱方程解「忘記」初值，那初始溫度還有意義嗎？ 答：短時間內有意義（高頻細節可測），長時間後只剩低階矩（總熱量、重心、方差—— \(e^{-n^2t}\) 使 \(n \ge 2\) 的信息指數淹沒在噪聲下）。「記憶的衰減譜」：熱方程以 \(n^2\) 速率按頻率層次銷毀記憶——這正是擴散不可逆的精確含義，也是「過去溫度反演」（熱方程反問題）在數學上不適定的原因（Hadamard 1923 的「不適定」概念源於此類問題）。

問：JPEG 壓縮與熱方程有什麼真實關係？ 答：共享同一數學：高頻係數可以粗暴處理。熱方程中高頻自動衰減（物理）；JPEG 中高頻被量化捨棄（工程）。兩者的根據都是：人類感知與自然過程都對高頻不敏感。DCT（離散餘弦變換）是傅立葉的實數親戚。「先變換、再按係數大小分級處理」——這一「譜域分級」思想從 1822 年直接延伸到 1992 年的 JPEG 標準。

（本節完）