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2.1 切線與速度兩大起源#

導言#

導數有兩個幾乎獨立誕生的源頭：幾何的（曲線的切線斜率）與物理的（運動的瞬時速度）。Fermat 在 1630s 為了求極值發展切線法；Galileo、Descartes 與 Mersenne 學派為了彈道與鐘擺研究瞬時速度。兩條路線在十七世紀中葉匯流，最終由 Newton 與 Leibniz 統一為「導數」。本節從這兩大起源出發，建立導數的嚴格定義。

起源一：切線問題#

給定曲線 \(y = f(x)\) 與其上一點 \(P(a, f(a))\) ，什麼是「切線」？

古希臘的定義是靜態的：切線是「只接觸曲線一點的直線」。這個定義對圓成立，卻對拋物線、螺線失效（切線可再交曲線於他處）。Fermat（1638）與 Descartes（1637《幾何學》）各自給出動態定義：

切線是割線的極限位置——當第二點 \(Q\) 沿曲線滑向 \(P\) 時，割線 \(PQ\) 的極限。

具體計算：取 \(Q(a + h, f(a+h))\) ，割線斜率為

\[ m_{\text{sec}} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}. \]

當 \(h \to 0\) （ \(Q \to P\) ），割線的極限斜率就是切線斜率。

起源二：速度問題#

物體沿直線運動，位置函數 \(s = s(t)\) 。平均速度是

\[ v_{\text{avg}} = \frac{s(t + h) - s(t)}{h}. \]

但「瞬時速度」是什麼？速度定義為「位移除以時間」，而瞬時 \(\Delta t = 0\) ，除法失去意義。這是 Zeno 悖論的現代版：運動在單一瞬間似乎無速度可言。

Newton 的洞見（1665–1666，瘟疫年間在 Woolsthorpe 的思考）：瞬時速度是平均速度在 \(h \to 0\) 時的最終比（ultimate ratio）——不是「 \(0\) 時刻的速度」，而是「無限縮短的時間段內平均速度的極限」。數學上：

\[ v(t) = \lim_{h \to 0} \frac{s(t+h) - s(t)}{h}. \]

兩大起源的統一：切線斜率與瞬時速度是同一個數學結構——「差商的極限」。這種跨領域的結構同一性，正是微積分力量的泉源。

導數的定義#

定義 2.1.1：函數 \(f\) 在 \(a\) 處可導，若極限

\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]

存在（為有限實數）。此極限值稱為 \(f\) 在 \(a\) 的導數。等價記法：

\[ f'(a) = \left.\frac{df}{dx}\right|_{x=a} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}. \]

若 \(f\) 在區間上每一點可導， \(x \mapsto f'(x)\) 是新函數，稱為導函數。

Leibniz 記號的深意： \(\dfrac{dy}{dx}\) 表面上是「 \(dy\) 除以 \(dx\) 」，歷史上它是無窮小的商；現代詮釋中它是極限算子 \(\dfrac{d}{dx}\) 作用於 \(y\) 。這個記號的價值在於可操作代數性：鏈鎖律寫成 \(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}\) ，如同分數相消（其嚴格證明見 2.2 節）。

例題一：用定義求 \(x^2\) 的導數#

例題 2.1.2：求 \(f(x) = x^2\) 在 \(x = 3\) 的導數與切線方程。

解：

\[ f'(3) = \lim_{h\to 0} \frac{(3+h)^2 - 9}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{6h + h^2}{h} = \lim_{h\to 0} (6 + h) = 6. \]

切線方程： \(y - 9 = 6(x - 3)\) ，即 \(y = 6x - 9\) 。

一般地， \(f(x) = x^n\) 時：

\[ \frac{(x+h)^n - x^n}{h} = \frac{\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} h^k}{h} = n x^{n-1} + \sum_{k=2}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} h^{k-1} \xrightarrow{h\to0} n x^{n-1}, \]

得到冪法則 \(\dfrac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}\) 。Fermat 1638 年求極值時已實質使用此法則（對整數 \(n\) ）。

例題二：三角函數的導數#

例題 2.1.3：用定義證明 \((\sin x)' = \cos x\) 。

解：

\[ \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h} = \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}. \]

由 1.2 節的兩個基本極限 \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} = 1\) 、 \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{\cos h - 1}{h} = 0\) ，得

\[ (\sin x)' = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x. \qquad \blacksquare \]

同法得 \((\cos x)' = -\sin x\) 。歷史註：這兩個公式是 Newton 流數法的首項成果——他正是為了驗證圓周運動的加速度（向心力）而需要 \(\sin\) 的導數，進而推導出萬有引力定律的雛形。

例題三：指數函數與 \(e\) 的必然性#

例題 2.1.4：設 \(a > 0\) ，求 \(f(x) = a^x\) 的導數。

解：

\[ \frac{a^{x+h} - a^x}{h} = a^x \cdot \frac{a^h - 1}{h}, \]

故 \((a^x)' = a^x \cdot c_a\) ，其中 \(c_a = \lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}\) 是只依賴於 \(a\) 的常數。**存在一個特殊的底數 \(e\) **，使得 \(c_e = 1\) ，此時

\[ (e^x)' = e^x. \]

Napier（1614）發明對數時已隱約接觸這個常數；Bernoulli（1683）研究複利 \(\left(1+\frac1n\right)^n\) 得到 \(e \approx 2.71828\) ；Euler（1748《無窮分析引論》）確立記號 \(e\) 並證明其超越性質。 \(e\) 的特殊性在於：它是唯一使指數函數成為自身導數的底——這使它成為微積分、複利、放射性衰變、正態分布的天然基礎（見 5.2 節 \(e^x\) 的冪級數）。

不可導的三種方式#

導數是極限，極限可以不存在。函數在 \(a\) 不可導的典型方式：

方式 例子 幾何解釋
尖點 $f(x) = x
垂直切線 \(f(x) = \sqrt[3]{x}\) 於 \(0\) ：差商 \(\to \infty\) 切線垂直
振盪 \(f(x) = x\sin\frac{1}{x}\) （ \(f(0)=0\) ）於 \(0\) 無限抖動

重要定理：若 \(f\) 在 \(a\) 可導，則 \(f\) 在 \(a\) 連續。證明：

\[ f(x) - f(a) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \cdot (x - a) \xrightarrow{x\to a} f'(a) \cdot 0 = 0. \]

逆命題不成立： \(|x|\) 處處連續卻在 \(0\) 不可導。連續是可導的必要而非充分條件——而 Weierstrass 1872 年的函數（1.2 節）更是處處連續處處不可導，粉碎了「連續曲線必有切線」的百年直觀。

單側導數與 Darboux 性質#

單側導數： \(f'_+(a) = \lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) ， \(f'_-(a)\) 同理。 \(f'(a)\) 存在 \(\iff\) 兩單側導數存在且相等。

Darboux 定理（1875）：導函數即使不連續，也必滿足中間值性質（IVT 型質）。因此導函數不可能有跳躍不連續——若 \(f'\) 在某點附近左右極限不等，它必然振盪（如 \(\frac{x^2 \sin(1/x)}{}\) 的導數在 \(0\) 附近振盪）。這是 1.3 節 IVT 的深刻延伸：積分能還原的函數、導數的像都有中間值結構。

兩大起源匯流的歷史圖景#

Fermat 的「準等式」法（1638）：欲求 \(y = x^3 - 2x^2\) 的極值，他設 \(x\) 增加無窮小量 \(e\) 後函數值「準相等」：

\[ (x+e)^3 - 2(x+e)^2 \approx x^3 - 2x^2 \implies 3x^2 e + 3xe^2 + e^3 \approx 4xe + 2e^2, \]

除以 \(e\) 、再捨去含 \(e\) 的項： \(3x^2 = 4x\) ，得極值點 \(x = 0, \dfrac43\) 。這正是 \(f'(x) = 0\) 的原始形式。Descartes 為此與 Fermat 筆戰（他認為方法不嚴格），但最終承認其效力——這場爭論是「極限方法」對「代數方法」的第一次勝利。

導數高階化：從速度到加速度#

若位置 \(s(t)\) 的導數 \(v(t) = s'(t)\) 是速度，速度的導數 \(a(t) = v'(t) = s''(t)\) 是加速度。二階導數的記號： \(f''(x) = \dfrac{d^2y}{dx^2}\) 。Newton 的力學體系正建立於此：

\[ F = m \ddot{s} \quad \text{（Newton 第二定律的微分形式）} \]

《自然哲學的數學原理》（1687）全書就是一部「已知力求位置」的二階微分方程求解史。這條線索延伸至今日：微分方程論（常微分、偏微分）是導數概念的直接繼承者，凡是「變化率決定狀態」的科學問題——量子力學的 Schrödinger 方程、廣義相對論的 Einstein 方程、ML 中的梯度流——本質上都在解微分方程。

為什麼導數是「局部」概念#

導數 \(f'(a)\) 只依賴 \(f\) 在 \(a\) 的任意小鄰域的值。這「局部性」有三重後果：

  1. 兩個函數若在 \(a\) 附近相等，則在 \(a\) 的導數相同——這是分部化簡的依據。
  2. 導數不「看見」遠處： \(f\) 在別處的行為與 \(f'(a)\) 無關；全局性質（極值、單調）需要更多定理（見 4.2、5.3 節）。
  3. 線性化的哲學：可導 \(\iff\) 函數在局部可以「很好的直線」逼近（微分 \(df = f'(a)\,dx\) ，見 2.3 節）。多變數版本（6.1 節）：可微 \(\iff\) 可以「很好的平面」逼近；流形版本（微分幾何）：可微映射的「推前（pushforward）」正是這一思想的無限維推廣。

與其他章節及領域的關聯#

  • 2.2 節：本節的定義配上求導法則，構成完整的微分代數系統。
  • 2.3 節：微分 \(dy = f'(x)\,dx\) 與線性近似、誤差傳播。
  • 4.2 節：導數與積分透過微積分基本定理互逆。
  • 6.1 節：偏導數是「凍結其他變數」的導數；梯度是導數的向量化。
  • 5.3 節：高階導數與 Taylor 展開： \(f^{(n)}(a)\) 決定函數在 \(a\) 附近的形狀。
  • 微分方程：任何 ODE 都是「導數之間的關係式」；導數定義是其解析基礎。
  • 控制論與機器學習：梯度下降法 \(\theta \leftarrow \theta - \eta \nabla L\) 是「沿負導數方向走」的數值實現；反向傳播是鏈鎖律（2.2 節）的自動化。

練習#

  1. 用定義求 \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) 在 \(x = 2\) 的導數。
  2. 用定義證明 \((\cos x)' = -\sin x\) 。
  3. 證明 \(f(x) = x|x|\) 在 \(x=0\) 可導，並求 \(f'(0)\) 。
  4. 求曲線 \(y = x^3 - 3x\) 上斜率等於 \(9\) 的所有切線。
  5. 一球自塔頂落下， \(s(t) = 4.9t^2\) （公尺）。求 \(t=2\) 秒時的瞬時速度與前 2 秒平均速度，並解釋兩者關係。
  6. 思考題：構造函數使其在 \(0\) 連續、 \(f'_+(0)\) 與 \(f'_-(0)\) 都存在但不相等；再構造一個在 \(0\) 不可導、但其導函數極限為 \(0\) 的例子（考慮 \(x^2\sin\frac1x\) 型），並討論 Darboux 定理如何限制這類構造。

名詞速查表（本節核心術語）#

  • 割線斜率： \(\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\) ，導數是它當 \(h \to 0\) 的極限。
  • 切線：割線在第二點滑向第一點時的極限位置。
  • 流數（fluxion）：Newton 的導數稱呼，源於「流動的量」。
  • 流量（fluent）：Newton 的原函數稱呼，即隨時間流動的量。
  • 單側導數：僅從一側取極限的差商極限；兩側相等才有導數。
  • 尖點：左右單側導數存在但不相等的點（如 \(|x|\) 於原點）。
  • Darboux 性質：導函數滿足中間值性質，即使它不連續。
  • 線性化：用切線近似曲線的思想，2.3 節正式展開。
  • 高階導數：導數的導數，加速度為二階的典型。
  • 微分幾何的推前：導數概念的流形推廣（切映射）。

導數定義的變形速查#

  • 標準形式： \(f'(a) = \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\) 。
  • 對稱形式： \(f'(a) = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\) ，適合「代點驗證」。
  • 雙參數形式： \(f'(a) = \lim_{s,t\to0^+}\frac{f(a+s)-f(a-t)}{s+t}\) ，中心差分的理論版。
  • 對稱差分在數值計算中精度為 \(O(h^2)\) ，是一階形式（ \(O(h)\) ）的升級（3.2 節取樣表對照）。
  • 反函數形式： \(\left(f^{-1}\right)'(f(a)) = \frac{1}{f'(a)}\) ，2.2 節證明。
  • 積分定義（反觀）： \(f'(x) = \frac{d}{dx}\int\) 型的操作在 4.2 節 FTC1 中出現。
  • 記住：所有形式在導數存在時等價，但在奇點附近各「看見」不同的病態。
  • 分析病態時，對稱形式可能「假裝」存在（如 \(|x|\) 於原點給出 0），務必以標準形式為準。

例題補充：從定義出發的三個經典計算#

補一： \(\sqrt{x}\) 的導數。 有理化差商：

\[ \frac{\sqrt{a+h} - \sqrt{a}}{h} = \frac{h}{h(\sqrt{a+h} + \sqrt{a})} = \frac{1}{\sqrt{a+h} + \sqrt{a}} \to \frac{1}{2\sqrt{a}}, \]

故 \((\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) ——這是冪法則 \(n = \frac12\) 的情形，Wallis 1656 年以插值猜想、Newton 以二項級數證實的結果在此用初等代數直接得到。

補二： \(\frac{1}{x}\) 的導數。 通分：

\[ \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} = \frac{x - (x+h)}{h\,x(x+h)} = \frac{-1}{x(x+h)} \to -\frac{1}{x^2}, \]

與冪法則 \(n = -1\) 一致。注意 \(x = 0\) 處差商的分母出現 \(x\) ，導數無定義——雙曲線沒有「過原點的切線」。

補三：分段線性函數。 \(f(x) = |x|\) ：右側差商恆為 \(1\) 、左側恆為 \(-1\) ，極限不等，導數不存在。但考慮 \(f(x) = x|x|\) ：右側差商 \(\to 0\) 、左側 \(\to 0\) ，導數存在且為 \(0\) ——乘上一個「消除跳變」的因子可以把不可導點修復，這是構造 \(C^1\) 但非 \(C^2\) 函數的標準手法。

深化問答三則#

問：切線的「靜態定義」（接觸一點）與「動態定義」（割線極限）為何後者勝出？ 答：因為前者無法處理拐點處的切線（三次曲線的切線可以穿過曲線再交於他處）。動態定義不承諾「只碰一次」，它只承諾「局部最佳直線近似」——這一承諾（2.3 節微分的誤差 \(o(\Delta x)\) ）可以嚴格證明，並且推廣到多變數（切平面）與流形（切空間）。

問：可導必連續的證明用了什麼「結構」？ 答：把增量分解為「差商 × 步長」： \(f(x) - f(a) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)\) 。第一因子趨於有限值 \(f'(a)\) ，第二因子趨於零，乘積歸零。這是「有界 × 無窮小 = 無窮小」的典範用法，之後在隱函數定理、積分收斂估計中反覆出現。

問：為什麼說導數是「局部」的，而原函數是「全局」的？ 答： \(f'(a)\) 只看 \(a\) 的任意小鄰域（改變 \(f\) 在遠處的值不影響 \(f'(a)\) ）；但積分 \(\int_a^b f\) 累積全域資訊。FTC（4.2 節）把兩者連接：「全域的累積 = 端點的原函數差」。局部量與全局量的這種配對，是微積分乃至現代數學（上同調）的深層結構。

（本節完）